Решение для неоднородного материала

Переход к задаче, в которой наряду с нелинейностью учитывается неоднородность материала, связан с заменой констант Е, А и а, входящих в соотношение (7.1), на функции Е (г), А (г) и, а (г). Учитывая формулы (7.13), две последние зависимости обусловлены изменением физических характеристик а_п(г) и s_n®. Для функции Е (г) будем использовать применявшуюся ранее зависимость (1.21), которую запишем в виде.

где введены обозначения k_E и т_Е, подчеркивающие, что данные коэффициенты относятся к функции неоднородности Е (г).

При рассмотрении задачи о концентрации напряжений вблизи сферической полости зависимость типа (7.21), учитывая ее локальный характер, может быть использована и для описания функций а_п(г) и е_п(г) с соответствующими константами:

Если подставить эти зависимости в формулы (7.13), то функции А (г) и а (г) будут настолько сложны, что получить решение можно только численно. Ниже рассматриваются некоторые частные случаи, когда удается получить аналитическое решение.

Если, например, s" = s_n0 = const, k_E = k_a и m_E = т_п, to a = E₀/(E₀eno — a_ll0) = const, а.

и уравнение (7.16) легко интегрируется.

Также просто можно найти решение, если, а = const, a A® = A₀[i + (k_A — 1 ){a/r)" «. Этот случай не соответствует определенным зависимостям ст_м(г) и е_п(г), но может быть получен путем аппроксимации кривой Л (г). Решение в безразмерных напряжениях при этом имеет вид.

где К = А₀р%~¹/Ец. Константы С, и С₂, как и прежде, определяются из граничных условий (7.18).

На рис. 7.7 приведена эпюра s₀ = о₀/р (нижняя кривая) для случая a = 3', k_E= к_л = 0,5; т_Е = т_л = 2 и граничных условий^, = 0; р_ь (b —* оо) = р = 0,5ст_м0. Для сравнения на том же рисунке представлены эпюры для линейно-упругих однородного и неоднородного материалов, а также для нелинейно;

Рис. 7.7. Эпюры напряжений «_е = ст_е/р в массиве со сферической полостью:

1 — линейно-упругий материал; 2 — нелинейно-упругий материал; пунктирные линии — однородный материал; сплошные линии — неоднородный материал упругого однородного материала. Можно отметить, что в данном примере учет и нелинейности, и неоднородности приводит в качественном отношении к одному и тому же эффекту — снижению напряжений вблизи контура полости. При других значениях констант неоднородности, например в случае k_E>, напряжения на контуре полости могут возрастать.

Полученное решение может применяться для расчетов полусферических элементов корпусов высокого давления, работающих в условиях высокого градиента температур, а также для определения напряжений при строительстве и проектировании подземных сферических полостей. В последнем случае неучег асимметрии давления отпора грунта не оказывает влияния на наибольшие напряжения, что было показано в гл. 4 и 5.