Преобразование системы отсчета

Рассмотрим две различные системы отсчета с началами координат в точках О, и О_г Очевидно, что одна из них может быть получена из другой параллельным переносом до совпадения начал координат и последующим поворотом. Как описать эти процедуры математически?

Рассмотрим сначала поворот (рис. 1.6). Пусть а — вектор в плоскости хОу, и пусть этот вектор претерпевает поворот на малый угол Дф вокруг оси Z- Вектор а получит при этом прирау щение Да, и это приращение ортогонально вектору а. Имеем: |Да| = |а|Дф.

Рис. 1.6.

Этот результат с помощью векторного произведения можно представить в следующем виде:

(действительно, формула (1.25) дает правильное направление и величину вектора Да).

Пусть г — радиус-вектор некоторой точки. Рассмотрим, как он ведет себя при повороте вокруг оси z? Имеем: г — xi + yj + zjc. Вектор xi + yj лежит в плоскости хОу и преобразуется как вектор Да по формуле (1.25). Вектор zk параллелен оси г и не преобразуется. Получим.

(Было учтено, что кхк= 0.) Формула (1.26) дает приращение радиуса-вектора г при повороте на малый угол вокруг оси z? Ясно, однако, что ось z ничем не выделена. Такая же формула будет справедлива и при повороте вокруг оси х с заменой вектора к на вектор /. Вообще, рассмотрим произвольную ось, проходящую через начало координат, направление которой задается единичным вектором Я. При повороте вокруг этой оси радиус-вектор получит приращение.

Важное уточнение. В формуле (1.27) направление вектора Я согласовано с направлением вращения: они образуют правый винт (ход винта при заданном вращении дает направление вектора Я).

Формула (1.27) дает вектор перемещения точки с координатами (х, у, г). Если все точки пространства подвергнуть одному и тому же повороту (с одной и той же осью и углом), формула (1.27) даст смещение всех точек.

Задача 1.17. Доказать, что при описанном выше повороте всего пространства расстояние между точками не изменяется.

Решение. Рассмотрим две точки с радиусами-векторами г_х и г₂. Вектор (r₂ -r_t) соединяет эти точки, и его модуль даст расстояние между ними. После поворота новые радиусы-векторы этих точек будут r_t+nxr,-Дер и г₂+пхг₂ д<�р, а соединяющий их вектор будет r₂ -F_t +Ях (т₂ -/^)д<�р. Видим, что приращение соединяющего точки вектора будет д (г₂ — ^) = «х (г₂ -/;)Д<�р. Этот результат важен сам по себе: любой вектор а, «вмороженный» в пространство (начинающийся и заканчивающийся в определенных точках), при повороте пространства как целого получает приращение.

Для квадрата модуля получившегося вектора будем иметь.

так как вектор Да ортогонален, согласно формуле (1.28), вектору а, а квадратом вектора Да можно пренебречь как величиной более высокого порядка малости. Тем самым доказано, что и расстояние между точками не меняется при описанном повороте.

Задача 1.18. Найти точки, неподвижные при повороте, о котором шла речь в задаче 1.17.

Решение. Полагая в уравнении (1.27) Дг = 0, получим «х г = 0. Этому уравнению должны удовлетворять радиусы-векторы интересующих нас точек. Таким образом, либо г = 0 (начало координат), либо г = т, г —- любое число (точки лежат на оси вращения).

Как следует из формулы (1.27), поворот на малый угол вокруг некоторой оси задается вектором «Дер. Обозначим Дер = «Д<�р, тогда формула (1.27) примет вид

Таким образом, вектор Дф полностью определяет поворот: его направление задает ось и направление вращения (правый винт!), а модуль определяет угол поворота.

Рассмотрим, во что переведут вектор г два последовательных поворота Дф, и Дф. При первом повороте вектор г перейдет в вектор ?' = г + Дф, х г. Второй поворот переведет этот новый вектор в вектор г* = F + Дф₃ х ?'. Подставляя сюда выражение для ?', получаем.

(Мы опустили слагаемое, содержащее произведение двух малых величин.) Как видно из этой формулы, приращение вектора г в результате двух последовательных поворотов равно Дг = (дф, + дф,)х г, т. е. будет таким же, как при одном повороте, равном Дф = Дф, + Дф₂. Это любопытный и не очевидный результат.

Важное замечание. Полученный результат справедлив лишь для достаточно малых поворотов. В общем случае два последовательных поворота эквивалентны одному, но находится он более сложным образом.

Задача 1.19. Какому повороту эквивалентны два последовательных поворота на 3° вокруг оси г и на 4° вокруг оси х ?

Решение. Прежде всего нужно выяснить, достаточно ли малы указанные углы. Критерием может служить известный факт — синус малого угла равен самому углу. Углу в 4° в радианной мере соответствует число 4я/180 = 0,07, и sin 0,07 = 0,0699. Будем считать, что совпадение достаточно хорошее. Имеем: Дф, = 3к, Дф₂ = 4/, так что.

Рис. 1.7.

(/¹ = к² = 1, / к = 0). Таким образом, угол поворота Дф = V25 = 5°, ось вращения лежит в плоскости xOz и образует с осью z угол, а = = arctg (4/3) = 53°.

Рассмотрим теперь две различные системы отсчета К и К' (рис. 1.7). Одну, неподвижную, с базисными векторами /, j, к

и другую, движущуюся, с базисными векторами j к'. Пусть, А — радиус-вектор начала координат системы К'. При движении системы К' радиус-вектор, А и ориентация базисных векторов /] к' изменяются. Рассмотрим некоторую точку в пространстве. Ее положение относительно системы К задается радиусом-вектором г, а относительно системы К' — радиусом-вектором г Имеем:

Если числа х у z' изменяются, точка движется относительно К'. Но даже если они не изменяются, вектор г' будет изменяться, если меняется ориентация векторов /к'. (Например, пусть система Ахвязана с Солнцем, векторы /, У, к сохраняют ориентацию относительно удаленных звезд, система К' жестко связана с Землей и ее начало находится в центре Земли, а радиус-вектор г' соединяет центр Земли с читателем этой книжки. Если читатель сидит неподвижно, вектор г’тем не менее меняется в системе А’за счет суточного вращения Земли.) Для малого изменения г' получим.

Первые три слагаемых в правой части (1.31) дают изменение г' за счет перемещения точки относительно К последнее учитывает поворот К' (см. формулу (1.29)).

Для радиуса-вектора этой же точки в системе К имеем (см. рис. 1.7): и для малого перемещения точки относительно К получим.

Задача 1.20. Читателю предлагается найти свое перемещение за 1 с в системе отсчета, связанной с Солнцем. Расстояние от Земли до Солнца 150 млн км.

Решение. Читатель представляется точкой с радиусом-вектором Г в системе, связанной с Землей. Будем считать, что координаты этой точки в этой системе не изменяются. Формула (1.32).

дает Дг = ДА + Дф х г Здесь ДА — перемещение центра Земли за одну секунду в ее орбитальном движении вокруг Солнца, Дф — поворот, связанный с суточным вращением Земли. Имеем:

Далее |дфхг'| =——sin а. Здесь, а — угол между осью вращения Земли и радиусом-вектором F. Примем, что читатель находится на широте 60°, тогда угол, а равен 30°. Учитывая, что длина земного экватора равна 40 000 км, получим |дфхг'| = 0,23 км. Чтобы найти вектор Дг, нужно знать ориентацию векторов, модули которых мы нашли. Она определяется моментом времени, но это уже задача для астрономов. Как видим, скорость орбитального движения Земли (30 км/с) значительно больше привычных скоростей тел на Земле, но скорость, связанная с вращением Земли, порядка скорости самолетов._.

Если перемещения, фигурирующие в формуле (1.32), происходят за малое время At, то, полагая Дг = vAt, AR = VAt, Ax' = v'_xAt, Дф = 5>At, получим.

Здесь v — скорость некоторой точки в «неподвижной» системе К, г' — радиус-вектор (координаты) этой точки в системе К',

v' = —/' + — j' + —— скорость этой точки относительно К', d/ dr d/.

dip _ d (p.

величина ю = — = и— называется угловой скоростью вращения системы К'.

Формула (1.33) выражает закон сложения скоростей.

Дифференцируя равенство (1.33) по времени, найдем, как преобразуется ускорение:

Имеем: — = — (v'/' + Vi' + v'?') = ^-/' +… + v' — +… Многоточиdi d/^{1, yJ 1} ' dt ^x dr.

ями отмечены аналогичные слагаемые для остальных компонент.

Учитывая формулу (1.28), получим — = йхГ— = <5х/'. В результате будем иметь.

_ dv' - dv' - dv' ;

где a' = —r-i' + —r-j' + —r-k' — ускорение точки в системе К', at at at

Далее.

(При вычислении учтено, что —? = v' + ш х F. Этот результат получается аналогично тому, как получена формула (1.35).) Таким образом, формула (1.34) принимает вид.

Смысл этой формулы состоит в следующем. Движение точки описывается в двух системах отсчета К к К'. Если в некоторый момент времени в системе К' положение, скорость и ускорение точки задаются соответственно величинами f', v', а ускорение а этой точки в системе К определяется формулой (1.36). В этой формуле со — угловая скорость вращения в данный момент системы К', а V — скорость начала координат системы К' относительно К.

Задача 1.21. Мальчик сидит на лошадке на вращающейся карусели на расстоянии 5 м от оси вращения. Карусель делает 6 оборотов в минуту. Каково ускорение мальчика?

Решение. Мальчика, с некоторой натяжкой, моделируем точкой. Пусть система отсчета К связана с Землей, ось вращения карусели совпадает с осью z ? Радиус-вектор точки вращается вокруг оси z в плоскости хОу. Его приращение за малое время At (перемещение точки) будет Дг = k х г • Д<�р (см. формулу (1.27)). Для модуля перемещения получим As = |Дг| = гДср = гы At. Таким образом, скорость точки v = tor. Угловая скорость постоянна, тангенциальное ускорение равно нулю, нормальное ускорение равно полному и равно = v²/r = coV.

Рассмотрим теперь эту же ситуацию в системе К', связанной с каруселью. Ось z' совпадает с осью вращения карусели, поэтому вектор R равен нулю. В системе К' радиус-вектор точки (мальчика) постоянен (но вращается в системе А^-!), поэтому v' = 0, я' = 0. Формула (1.36) дает: я = со х [м х ?']. Учитывая известное тождество ях р> хс]= Ь (я с)-с -(я • b), получим для ускорения в системе К я = -сочто совпадает с полученным ранее. Численно.

Задача 1.22. Поезд движется вдоль меридиана на юг со скоростью 72 км/ч. Каково ускорение поезда при пересечении 60° северной широты в системе отсчета, начало которой совпадает с центром Земли, а оси сохраняют свою ориентацию относительно удаленных звезд (не вращаются)?

Решение. Система К — это описанная в задаче система отсчета. Начало координат системы К' совпадает с началом К, а координатные оси вращаются вместе с Землей. Оси z, z' совпадают с осью вращения Земли. Угловая скорость вращения системы К' будет.

Формула (1.36) дает для ускорения в системе К:

(Поезд движется с постоянной скоростью, поэтому я' = 0.) Пусть поезд находится на широте <�р = 60° Северного полушария. Будем считать, что меридиан лежит в плоскости x’O’z'- Вектор скорости поезда.

Имеем.

Как видим, этот вектор направлен на восток. Вектор ах[щх?| лежит в меридиональной плоскости и направлен перпендикулярно к оси вращения. Его модуль равен