Элементарные представления о дифференциальных операторах и уравнениях математической физики

Оператор пространственного дифференцирования «пабла» V.

Не претендуя на математическую строгость, под оператором можно понимать некоторое правило, по которому одной функции /(х) ставится в соответствие другая функция g (;t):

где оператор А описывает, грубо говоря, что ‘'нужно сделать" с функцией /(*), чтобы превратить ее в функцию #(дг). Простейший пример такого рода — оператор дифференцирования функции одной переменной d/dx, ставящий в соответствие исходной функции f (x) ее производную.

8(х) = /'(*)?

Естественным обобщением оператора дифференцирования является следующий векторный оператор

где 1,7, к — единичные орты декартовых осей. С таким символом (набла) можно формально работать, как с обычным вектором, следя лишь за тем, чтобы справа от него стояла обычная функция, на которую этот оператор действует.

Введенный оператор очень широко применяется в квантовой физике, т.к. для описания квантовых систем обычных функций (даже комплексных) недостаточно. Фундаментальный принцип неопределенности требует, чтобы сохраняющиеся величины (энергия, импульс и т. д.) описывались операторами и операторными функциями, включающими V.

Градиент скалярного поля. Потенциальные (консервативные) поля.

Пусть мы имеем скалярное поле f (x, y, z) — скалярную функцию, дифференцируемую по каждой координате. Градиентом скалярного поля называют результат действия оператора V на f (x, y, z):

Таким образом, оператор V «превращает' скалярное поле в векторное F (x, y, z).

С другой стороны, векторное поле F (j, y, z), которое можно представить как градиент скалярного поля, называют консервативным или потенциальным, а f (x, y, z) — соответственно потенциалом. Криволинейный интеграл от такого поля по любой непрерывной траектории можно представить в виде

— разности потенциалов на концах траектории. Отсюда следуют все свойства консервативного поля, приведенные в разделах 4.1.6 и 6.4.1. Там же приведены физические примеры таких полей.