Динамика системы. 
Прикладная физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

ОБЩИЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ СИСТЕМЫ

Импульс системы. Изменение импульса со временем

Всякую механическую систему (а механическая система — это любой материальный объект, рассматриваемый с точки зрения механики) можно представить как совокупность частиц (материальных точек). Динамика частицы определяется законами Ньютона, поэтому можно ожидать, что эти законы позволят получить содержательные утверждения и о поведении совокупности частиц. Оговоримся сразу, что далее речь будет идти только о движении частиц с нерелятивистскими скоростями, т. е. мы будем работать исключительно в рамках ньютоновской механики.

Что касается представления системы как совокупности частиц, то достаточно вспомнить, что все тела в конечном итоге состоят из атомов, а атомы вполне подпадают под понятие частицы. (Заметим, однако, что хотя атомы, в свою очередь, состоят из других частиц, их внутреннее устройство не может быть описано в рамках рассматриваемой теории.) Но не следует думать, что механика системы идейно связана с атомным строением вещества. Любую систему можно мысленно разбить на достаточно малые элементы, которые будут подпадать под понятие частицы.

Итак, пусть мы имеем систему из N частиц. Пронумеруем все частицы, и пусть т. — масса частицы с номером /, a v, — ее скорость. Второй закон Ньютона для этой частицы дает уравнение.

Здесь F — внешняя сила, действующая на частицу, F._k — сила, действующая на /-ю частицу со стороны к-й, сумма — по всем частицам кроме /-й. Эта сумма дает силу, действующую на нашу частицу со стороны всей остальной системы. (Заметьте, что система — это не есть какая-то особо организованная совокупность частиц.

Любую совокупность мы можем рассматривать как систему, и все остальное будет внешним миром. Деление на систему и остальной мир произвольно.).

Для каждой частицы системы можно написать уравнение вида (3.1). Всего будет N уравнений. Решая их совместно (зная, как зависят силы взаимодействия частиц от их координат), найдем, как меняются координаты каждой частицы со временем, т. е. полностью опишем поведение системы. Однако для систем из большого числа частиц решить такую систему уравнений практически невозможно, да и не нужно. Практически важные результаты получаются другими путями.

Сложим N уравнений вида (3.1). Получим.

(Массы частиц постоянны, производная суммы равна сумме производных.) Сумма в левой части равенства есть сумма импульсов частиц, составляющих рассматриваемую систему, и называется импульсом системы Р. Первая сумма в правой части есть сумма всех внешних сил, действующих на частицы системы. Это сила F_y с которой остальной мир действует на выбранную систему. Двойная сумма могла бы быть источником головной боли, так как в ней складываются силы взаимодействия каждой частицы со всеми остальными частицами системы, но эта сумма равна нулю! Действительно, эта сумма разбивается на пары типа F₃₇ + F_1V где F₃₇ — сила, с которой седьмая частица действует на третью, a F_n — третья на седьмую. Но по третьему закону Ньютона сумма этих двух сил равна нулю. Таким образом, равенство (3.2) принимает вид.

Скорость изменения импульса системы равна внешней сипе, действующей на систему. Еще раз подчеркнем, что внешняя сила — это результат взаимодействия всех частиц системы с остальным миром (со всем, что не вошло в систему).

Полученный закон похож на второй закон Ньютона, но следует понимать, что они относятся к разным объектам. Под системой мы можем понимать стаю собак в чистом поле, и закон (3.3) применим к этой стае, в то время как второй закон, очевидно, не применим. Но, с другой стороны, закон (3.3) применим к одной частице, и тогда он совпадает со вторым законом Ньютона.

Помимо формулы (3.3) мы получили еще один важный результат: внутренние силы не могут изменить импульс системы. Космонавт, парящий в кабине космического кррабля, может менять конфигурацию своего тела, но не может изменить своего импульса.

Задача 3.1. Канат длиной /, массой т и поперечным сечением S висит вертикально, удерживаемый за верхний конец. Найти распределение напряжения в канате. (Напряжением в данном контексте называется сила, действующая на единицу площади поперечного сечения каната.).

Решение. Ось х направим вертикально вниз, канат закреплен в начале координат. Рассмотрим два сечения каната в точках х и х + dx. Между этими сечениями окажется кусок каната массой 6т = (т/1)6х. Этот кусок рассматриваем в качестве системы, к которой применим формулу (3.3).

Импульс этого куска равен, очевидно, нулю и не изменяется. Внешние силы: сила тяжести 6 т gi, силы со стороны остальных частей каната — в сечении х сила натяжения Г (х)(-/), в сечении х + dx.

Тух + dx) / (натяжение — скалярная величина, направление силы задается единичным вектором внешней нормали к сечению). Уравнение (3.3) дает.

По определению производной Т (х+ dx)-T (x)=T'(x)dx. Уравнение (3.4) принимает вид.

Отсюда.

где С — постоянная интегрирования. Натяжение каната в нижнем конце (при х = I) должно равняться нулю, т. е. Т (1) = 0. Это дает С = mg, и окончательно находим

Для напряжения получим.

Напряжение вдоль каната линейно убывает.

Задача 3.2. Висящий канат из предыдущей задачи нижним концом касается чашки весов. Что будут показывать весы, если отпустить верхний конец каната?

Решение. Точки каната, не лежащие на весах, имеют одинаковую скорость и ускорение g. В качестве системы, к которой будет применяться уравнение (3.3), рассматриваем весь канат. Канат отпускают в момент времени / = 0. К моменту / кусок каната, лежащий на весах, имеет длину gt²/2 и импульс, равный нулю. Частицы оставшейся части каната имеют скорость v (/) = gt, они находятся в свободном падении. Импульс системы в момент времени t будет равен.

Внешние силы, действующие на канат, — это сила тяжести mgi и сила со стороны чашки весов F.

Уравнение (3.3) с учетом (3.7) принимает вид.

отсюда.

Сила направлена вертикально вверх и меняется от нуля до утроенного веса каната. Результат далеко не очевидный. Именно эту силу показывают весы.

Задача 3.3. Поток частиц с массой т и скоростью v падает по нормали на стенку и застревает в ней. Плотность числа частиц в потоке (число частиц в единице объема) постоянна и равна п. Найти силу, действующую на единицу площади стенки.

Решение. Выделим мысленно в потоке частиц цилиндр длиной /, поперечным сечением S и образующей, параллельной вектору скорости частиц. В качестве системы, к которой будем применять формулу (3.3), выберем все частицы потока, оказавшиеся в этом цилиндре в некоторый момент времени. Ясно, что и в последующие моменты времени они будут заполнять цилиндр, движущийся со скоростью v. Пусть переднее сечение этого цилиндра достигает стенки в момент времени / = 0. К моменту времени / частицы, оказавшиеся в передней части цилиндра длиной V/, застрянут в стенке. Импульс системы в этот момент времени равен импульсу оставшихся частиц. Имеем:

Формула (3.3) дает.

где F — сила, действующая на систему со стороны стенки (силу тяжести мы не учитываем), а п — единичный вектор в направлении вектора скорости. Для давления получим.

Здесь р — плотность (масса единицы объема). Формула (3.10) применима, в частности, для определения давления струи жидкости на стенку.

Задача 3.4. Жидкость плотностью р течет по трубе постоянного сечения S с постоянной скоростью v. Труба в одном месте делает изгиб, в результате чего ее направление меняется на угол а. Найти силу, действующую на трубу.

Решение. Рассмотрим два сечения трубы, одно — до изгиба, другое — после. В качестве механической системы будем рассматривать частицы жидкости, которые в момент времени t оказались между этими сечениями. За малое время dt выделенный объем жидкости сместится на расстояние vd/. Изменение импульса системы можно найти, заметив, что все изменение картины за время dt состоит в том, что у заднего конца выделенного объема исчезает малый объем жидкости dV = Svdfc массой dm = pdHn скоростью v, а у переднего конца появляется элемент жидкости с той же массой, но со скоростью v₂. В оставшейся части выделенного объема распределение импульса не меняется. Положим v = vx, где х — единичный вектор в направлении скорости. Для изменения импульса будем иметь.

Формула (3.3) дает для силы, действующей на систему,.

Это сила, действующая на выделенный объем жидкости со стороны трубы. Такая же сила, но противоположного направления, будет действовать на трубу. Для модуля силы получим.

Из геометрических соображений легко получить |т₂ — т,| = 2sin где, а — угол между веторами т, и т₂. Формально.

Обратите внимание на то, что резульгат зависит лишь от изменения направления трубы и не зависит от способа изгиба, будь хоть труба завязана узлом.