Частица в центрально-симметричном поле. 
Момент импульса

Для физики особо важный класс задач представляет движение частицы в центрально-симметричном поле сил. Если центр симметрии совпадает с началом координат, то потенциальная энергия частицы зависит только от модуля радиуса-вектора частицы (не зависит от его направления), а сила, действующая на частицу, направлена вдоль радиуса-вектора, и ее модуль зависит также только от модуля радиуса-вектора. Такое поле сил мы получим, например, если в начале координат находится массивное сферически-симметричное тело (гравитационное поле) или если речь идет о движении заряженной частицы в поле сферически-симметрично распределенного заряда.

Итак, пусть потенциальная энергия.

Для силы, действующей на частицу, получим.

(см. формулу (2.106)). Второй закон Ньютона дает уравнение.

Следствием этого уравнения, как мы видели, является сохранение энергии:

При одномерном движении этого уравнения было достаточно для определения всей кинематики движения, но в общем случае одного уравнения (2.165) мало. Закон сохранения энергии не определяет траекторию. Но при центральной симметрии имеет место еще один важный закон сохранения, который мы сейчас получим.

Умножим уравнение (2.164) слева векторно на радиус-вектор. Будем иметь.

Правая часть этого равенства обращается в нуль (для любого вектора а у. а = 0), а левую часть преобразуем следующим образом.

Имеем:

(первое слагаемое в правой части обращается в нуль), и равенство (2.166) приобретает вид.

Равенство (2.167) означает, что вектор

не изменяется с течением времени (хотя радиус-вектор и импульс меняются). Вектор L называется моментом импульса частицы.

Таким образом, при движении в центрально-симметричном поле сохраняется момент импульса частицы.

Рис. 2.7

Вектор L ортогонален плоскости, в которой лежат векторы г, v (рис. 2.7). Если в данный момент времени эти векторы лежат в плоскости хОу, постоянство момента импульса гарантирует, что и в следующий момент они будут лежать в этой же плоскости. Это означает, что при сохранении момента импульса траектория частицы лежит в плоскости, а это, в свою очередь, означает, что при движении в центральном поле сил частица не выходит из плоскости, в которой лежит центр симметрии поля сил. Факт вовсе не очевидный!

Известно, что рхЛ| = 25, где S — площадь треугольника, построенного на векторах а, Ь. Перемещение частицы за время dt будет dr = vd 1. Умножив равенство (2.168) Had?, получим.

откуда, беря модуль левой и правой части равенства, находим.

где dy — площадь треугольника, образованного векторами г, dr (площадь, заметаемая радиусом-вектором частицы за время d/).

Если момент импульса сохраняется,

При постоянном моменте импульса площадь, заметаемая радиусом-вектором частицы за единицу времени, постоянна.

Подведем промежуточные итоги. Мы обнаружили, что в центрально-симметричном поле сил траектория частицы лежит в плоскости, проходящей через центр симметрии, и помимо закона сохранения энергии (2.165) имеет место формула (2.169).

Пусть частица движется в плоскости хОу. Симметрия задачи такова, что удобнее ввести полярные координаты г, ф:

Здесь г — расстояние до частицы от начала координат, ф — угол между радиусом-вектором и осью х. Нетрудно убедиться, что расстояние Ау между точками с координатами (г, ф) и (г + dr, ф + ёф) таково, что.

Разделив это равенство на dI², получим.

где точкой обозначены производные по времени.

Закон сохранения энергии (2.165) примет вид.

С другой стороны, за время dt радиус-вектор частицы повернется на угол ёф, равный ёф = фё/, и площадь dS, заметаемая радиусом-вектором за это время, будет равна.

Сопоставляя это с формулой (2.169), находим.

Эта формула выражает закон сохранения момента импульса. Заметьте, что величина гф дает составляющую скорости, перпендикулярную радиусу-вектору, в то время как г есть составляющая вдоль радиуса-вектора. Выражая ф из равенства (2.174) и подставляя это выражение в (2.173), получим

Эти уравнения определяют траекторию частицы. Наглядно картину движения можно представить следующим образом: частица движется вдоль луча, идущего из начала координат, со скоростью dr/di, а луч вращается с угловой скоростью dcp/d/.

Из равенства (2.176) видно, что подкоренное выражение должно быть больше нуля. Значения г, при которых оно обращается в нуль, т. е. корни уравнения.

соответствуют максимальному или минимальному удалению частицы от начала координат (при этих значениях производная dr/dt обращается в нуль). Корни этого уравнения зависят от вида функции Щг). Если на бесконечности эта функция равна нулю и при уменьшении г возрастает (силы отталкивания), равенство (2.178) имеет один корень г — г, и он соответствует минимальному расстоянию. Частица приходит из бесконечности, сближается с центром до расстояния г, и уходит на бесконечность. Если при уменьшении г функция Щг) убывает (сила притяжения), равенство (2.178) может иметь два корня г, г₂, г_{ < г₂, и траектория лежит между двумя окружностями с радиусами г, г₂, касаясь поочередно то одной, то другой окружности.

Важное замечание. В общем случае, хотя при двух корнях частица и не уходит на бесконечность, ее траектория не является замкнутой кривой, движение не является периодическим, и с течением времени траектория заполнит всю область между указанными окружностями. Только в двух случаях траектория замкнута:

• 1) потенциальная энергия Щг) = —const/г, и в этом случае траектория — эллипс, один из фокусов которого совпадает с началом координат, а величина (г, + г₂)/2 дает большую полуось этого эллипса;
• 2) Щг) = const-(r²/2). В этом случае траектория — также эллипс с центром в начале координат, а величины г, г₂ дают малую и большую полуоси этого эллипса.

Задача 2.34. С Северного полюса под углом 45° стартует с первой космической скоростью ракета. На какую высоту она поднимется?

Решение. Вертикальный подъем такой ракеты мы уже рассматривали (см. задачу 2.33). Потенциальная энергия частицы в гравитационном поле Земли.

Момент импульса L определим из начальных условий:

Здесь а — угол между радиусом-вектором и вектором скорости в начальный момент времени. Учтено, что начальное значение /-равно радиусу Земли R. По условию задачи начальная скорость v₀ = -JgR. Подставляя полученные выражения в формулу (2.178), получим.

Энергия Е определяется также из начальных условий:

Обозначая х = R/r, окончательно получим уравнение.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 2.8.

откуда г, = r/{i + V2), г, = R/(2 — V2). Меньший корень соответствует минимальному расстоянию до начала координат, но оно недоступно, так как эта ветвь траектории лежит внутри Земли. Больший корень соответствует максимальному удалению и дает решение задачи.

На рис. 2.8 приведена восходящая ветвь траектории, изображенная в полярных координатах, полученная численным интегрированием уравнений (2.176), (2.177).

На этом графике окружность единичного радиуса соответствует поверхности Земли. По графику можно судить о дальности полета ракеты. Видим, что восходящей ветви траектории соответствует угловое перемещение в 60°, а всей траектории — в 120°. Таким образом, дальность полета ракеты равна 2nR/3, или около 13 000 км. Полное время полета порядка 2,2-jR/g = 1,76 -10³ с. В заключение отметим, что численное интегрирование указанной системы уравнений с помощью стандартной программы быстрее, проще и нагляднее «честного» аналитического решения.

Задача 2.35. В условиях предыдущей задачи определить скорость ракеты в верхней точке траектории.

Решение. Скорость находится из закона сохранения момента импульса. В верхней точке радиальная скорость равна нулю, и вектор скорости ортогонален радиусу-вектору. Для момента импульса в этой точке имеем: L = mv₂r₂ = mv₂ Л/(2 — -У2). Начальное значение L

было L = mv₀ Я/^2. Таким образом, v₂ = v₀(-/2 -1). Эту скорость можно было найти также из сохранения энергии, но это было бы сложнее.

Замечание. Формула (2.175) соответствует одномерному движению с потенциальной энергией.

Эта энергия для условий задачи 2.34 изображена на рис. 2.9. По вертикальной оси отложена функция /(х) = W^/mgR, по горизонтальной х = r/R. Такой вид потенциальной энергии называется потенциальной ямой. На этом же графике отображен уровень полной энергии Е = —mgR/2. Из графика усматриваются найденные в задаче два корня г, г₂. При заданной энергии Е радиальная координата должна была бы меняться в интервале от г, до г₂, и так оно и было бы, если бы радиус Земли оказался меньше наименьшего.

Рис. 2.9.

корня. Если полная энергия Е оказалась бы на уровне дна ямы, мы получили бы один корень, интервал изменения радиуса оказался бы равным нулю, и частица двигалась бы по окружности.

Должно быть понятно, что параболическая траектория брошенного с поверхности Земли камня на самом деле является маленьким фрагментом эллипса, большая часть которого пролегает внутри Земли и для камня недоступна.

Задача 2.36. На ядро атома с зарядом Ze налетает из бесконечности а-частица с энергией Е. Ядро находится в начале координат, траектория частицы лежит в плоскости хОу, ее скорость на бесконечности параллельна оси х, а координата у = b (эта величина называется прицельным параметром). Каково минимальное расстояние между частицей и ядром?

Решение. Заряд а-частицы равен 2е, и потенциальная энергия частицы в поле ядра равна Щг) = 2KZe ²/г, где К — размерная константа, зависящая от системы единиц. Скорость частицы на бесконечности v₀ = j2E/m. Для момента импульса получим.

Подставляя это выражение для момента в формулу (2.178), получаем уравнение.

Здесь мы ввели радиус ядра R. Величина W® = 2KZe ²/R есть потенциальная энергия а-частицы у поверхности ядра. Положим, а = Е/ ЩR). Разрешая полученное уравнение относительно г, находим.

Если второе слагаемое под корнем много меньше единицы (энергия Е мала, либо мал прицельный параметр), то, учитывая, что при малом х (1 + х)'^п = 1 + х/2, получим.

т. е. минимальное расстояние не зависит от прицельного параметра. Результат не очевидный. Наоборот, при большом прицельном параметре г* - Ь.

Из ядерной физики известно, что радиус ядра R ~ 1,3- Л^|/3 • 10^-15 м, где А — массовое число. Постоянная К в системе СИ равна 9 • 10⁹, масса а-частицы равна 4 а. е. м., или 4−1,7 • 10^-27 кг. Для рассеяния а;

частиц на ядрах золота Аи", получим R ~ 7,5 • 10^_IS, W® = 31 МэВ. Если энергия налетающей частицы 5 МэВ, а = 1/6 и при b ~ R получим г_тЫ = 6R. Именно в экспериментах Резерфорда по рассеянию а-частиц на атомах золота было обнаружено, что у атома имеется ядро размером на пять порядков меньше размера атома.