Контрольные вопросы. 
Математическое моделирование нелинейных процессов

• 1. Что такое особые точки автономной системы ОДУ?
• 2. Что такое особые траектории автономной системы ОДУ?
• 3. Какая система называется грубой?
• 3. Какие негрубые особые точки системы ОДУ существуют на плоскости?

Задания для самостоятельной работы

• 3.1. Постройте качественно траектории в окрестностях особых точек в случаях, представленных на рис. 3.3, а — д_У ж, з.
• 3.2. Докажите негрубость особой точки (l/b k/a) системы «хищник — жертва» (3.8). Будет ли грубой точка (0; 0)? Почему?
• 3.3. Нарисуйте качественную картину бифуркации большой петли сеиаратриссы на фазовой плоскости (т.е. в случае, когда другие сеиаратриссы того же седла лежат внутри данной петли).
• 3.4. Покажите, что для системы

из примера 3.1 в случае а = 0 выражение S=x^{, i}y^[1](a_{A ]}a₂x+a₂₂Oiy + сх, а₂) есть интеграл системы. Существуют ли в этом случае замкнутые траектории исходной системы? Вычислите, чему равен индекс седлоузла на плоскости.

• 3.5. Проведите исследование системы (3.33) по следующему плану.
• 1. Исследуйте характер особых точек системы (3.33).
• 2. Определите существующие стационарные решения системы (3.33).
• 3. Численно решите систему (3.33) методами Рунге — Кутты 1 -го и 4-го порядков. Исследуйте изменение характера решения (возникновение периодического решения или появление хаотического решения) в зависимости от изменения параметра г. В качестве примера рассмотрите следующие значения параметров: a = 10, г = 28, b = 8/3, 10, 20. Используйте при этом ваш любимый пакет для решения систем ОДУ.
• 3.6. Упрощенная модель Лоренца — модель Мариока — Шумицу:

где параметры X, а связаны с параметрами модели Лоренца (3.33) следующим образом^[1]:

Проведите исследование системы по следующему плану.

• 1. Исследуйте характер особых точек системы.
• 2. Определите существующие стационарные решения системы.
• 3. Численно решите систему методами Рунге — Купы 1-го и 4-го порядков. Исследуйте изменение характера решения (возникновение периодического решения или появление хаотического решения) в зависимости от изменения параметров задачи. Почему для этой задачи несущественны начальные условия?

Используйте при этом ваш любимый пакет для решения систем ОДУ.

3.7. Одновременно с моделью Лоренца была предложена физическая модель — имитация больших вихрей в ядре Земли, известная сейчас как динамо Рикитаки. Она может быть описана следующей системой нелинейных дифференциальных уравнений^[3]:

Система Рикитаки менее знаменита, чем модель Лоренца, но демонстрирует подобные свойства. Значения параметров: v, e [0,002; 0,004], v₂ = 0,002, р е [0,2; 2]. Проведите исследование системы по следующему плану.

• 1. Исследуйте характер особых точек системы.
• 2. Определите существующие стационарные решения системы.
• 3. Численно решите систему методами Рунге — Кутты 1 -го и 4-го порядков. Исследуйте изменение характера решения (возникновение периодического решения или появление хаотического решения) в зависимости от изменения параметров задачи. Почему для этой задачи несущественны начальные условия?

Используйте при этом ваш любимый пакет для решения систем ОДУ.

3.8. Система РеслераУ описывает некоторую гипотетическую химическую реакцию:

Проведите исследование системы по следующему плану.

• 1. Исследуйте характер особых точек системы.
• 2. Определите существующие стационарные решения системы.
• 3. Численно решите систему методами Рунге — Кутты 1-го и 4-го порядков. Рассмотрите поведение системы при различных р > 0.

Почему для этой задачи несущественны начальные условия?

3.9 (задача Колмогорова — Петровского — Пискунова). Рассмотрим уравнение в частных производных.

Эта задача носит название задачи Колмогорова — Петровского — Пискунова (КПП). Свойствам результата решения этой задачи посвящена обширная литература.

Известно, что решением при большом времени является так называемая волна переключения, распространяющаяся с постоянной скоростью. Ее можно найти следующим образом. Перейдем к переменным бегущей волны? = vt-x, тогда исходное уравнение в частных производных превратится в обыкновенное дифференциальное уравнение.

где v — параметр (скорость распространения волны). Искомое решение — траектория на фазовой плоскости (и, и'), выходящая из точки (0; 0) и входящая в точку (1; 0).

Проведите исследование, но следующему плану.

• 1. Проверьте, что (0; 0) и (1; 0) — особые точки (3.34), исследуйте характер особых точек.
• 2. Покажите, что для любого значения скорости распространения волны v > ?;_min = 2yfa существует траектория, выходящая из точки (0; 0) и входящая в точку (1; 0). Заметим, что и имеет характер численности популяции и по физическому смыслу задачи не может принимать отрицательные значения.
• 3. Найдите эту траекторию численно. Какое направление интегрирования вдоль нее будет устойчивым?

3.10 (задача Зельдовича — Франк-Каменецкого). Уравнение распространения волны горения ^[4]

называется уравнением Зельдовича — Франк-Каменецкого (ЗФК). Начальные и граничные условия те же, что и для уравнения Колмогорова — Петровского — Пискунова (см. предыдущую задачу).

Известно, что решением при большом времени является так называемая волна переключения, распространяющаяся с постоянной скоростью. Ее можно найти следующим образом. Перейдем к переменным бегущей волны % = vt — х, тогда исходное уравнение в частных производных превратится в обыкновенное дифференциальное уравнение.

Выполните п. 1—3 предыдущей задачи. Обратите внимание, что решение существует теперь при единственном значении параметра v.v = ^2a.

• [1] Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: URSS, 2011.
• [2] Малинецкий Г. Г. Математические основы синергетики. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент. М.: URSS, 2011.
• [3] Там же.
• [4] Ахромеева Т. С. и др. Указ, соч.; Малинецкий Г. Г. Указ. соч.