Анализ и расчет цепей постоянного тока

В зависимости от числа источников ЭДС (питания) в схеме, ее топологии и других признаков цепи анализируются и рассчитываются различными методами. При этом известными обычно являются ЭДС (напряжения) источников электроэнергии и параметры цепи, расчетными — напряжения, токи и мощности.

В этой главе мы ознакомимся с методами анализа и расчета цепей постоянного тока различной сложности.

Расчет цепей с одним источником питания

Когда в цепи имеется один активный элемент (источник электроэнергии), а другие являются пассивными, например резисторы /?_t, R₂,…, то цепи анализируются и рассчитываются методом преобразования схем, сущность которого заключается в преобразовании (свертке) исходной схемы в эквивалентную и последующем разворачивании, в процессе которых определяются искомые величины. Проиллюстрируем этот метод для расчета цепей с последовательным, параллельным и смешанным соединением резисторов.

Цепь с последовательным соединением резисторов. Рассмотрим этот вопрос на следующем качественном примере. От идеализированного источника ЭДС Е (R₀ = 0), на выходных зажимах которого имеется напряжение U, т. е. когда E=U, через последовательно соединенные сопротивления R_{, R₂,…, R_n питается нагрузка (приемник) с сопротивлением R_H (рис. 2.1, а).

Рис. 2.1.

Требуется найти напряжение, сопротивление и мощность цепи эквивалентной заданной, изображенной на рис. 2.1, б, делая соответствующие выводы и обобщения.

Решение

А. При известных сопротивлениях и токе напряжения на отдельных элементах цепи, согласно закону Ома, находились бы так:

Б. Общее напряжение (ЭДС) цепи, согласно второму закону Кирхгофа, запишется так:

где.

Г. Умножив все члены (2−2) на ток / или (2−5) на Р, будем иметь откуда В. Разделив все члены (2−2) на ток /, получим где.

Формулы (2−3), (2−5), (2−7) показывают, что в цепи с одним источником питания и последовательным соединением сопротивлений эквивалентные напряжение, сопротивление и мощность равны арифметическим суммам напряжений, сопротивлений и мощностей элементов цепи.

Приведенные соотношения и выводы свидетельствуют о том, что исходную схему по рис. 2.1, а с сопротивлениями /?₂, R" можно заменить (свернуть) простейшей по рис. 2.1, б с эквивалентным сопротивлением R₃, определяемым по выражению (2−5).

Кроме того, из рассмотренного вытекают следующие частные следствия:

а) для схемы по рис. 2.1, б справедливы соотношения U₃ = U = RI, где R = R₃ + R_u. Исключив из них ток /, получим выражение.

которое показывает, что напряжение U₃ на одном из сопротивлений цепи, состоящей из двух, соединенных последовательно, равно произведению общего напряжения U на отношение сопротивления этого участка R₃ к общему сопротивлению цепи R. Исходя из этого.

б) ток и напряжения в цени, но рис. 2.2, б можно записать в различных вариантах:

Решенные задачи Задача 2.1. Чему равны сопротивление, напряжение и мощность цепи по рис. 2.1, а, если I = 1 A, R_x = 1 Ом, Д₂ = 2 Ом, = 3 Ом, R_u = 4 Ом?

Решение

Напряжения на резисторах, очевидно, будут равны: U_t =IR^ = 1 • 1 = 1 В, U₂ = IR2 = = 1 • 2 = 2 В, U_n = /Л_я = 1 • 3 = 3 В, t/_H = ZR_H = 1 • 4 = 4 В. Эквивалентное сопротивление цепи: R₃ = R_{ + /?₉ + R_n = 1 + 2 + 3 = 6 Ом. Сопротивление, напряжение и мощность цепи: /? = &, + /?" = 6 + 4= 10 Ом; U= U_{ + U₂+ U"+U_n = 1+2 + 3 + 4 = 10 В, или U=IR = = 1 • 10= 10 В; Р= Ш= 10 — 1 = 10 Вт, или Р= UJ+ U₂I + U_nI+ U_UI= 11+21+31 + + 4 • 1 = 10 Вт, или Р = PR_X + PR₂ + PR_a + PR_n = 12 • 1 + 12 • 2 + 12 • 3 + 12 • 4 = 10 Вт, или Р = Щ /R_x +U?₂/R₂+UZ /R_n +½ /R_n = 12 / 1 + 22/2 + 32/3 + 42 /4 = 10 Вт.

Задача 2.2. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R_{ = Ом, R₂ = 2 Ом, = = 3 Ом, R_H = 4 Ом. Определить U₂.

Решение

R = /?! + /?, + Л₃ + Л₄ = Л,+ Л_Н = 1+2 + 3 + 4 = 6 + 4 = 10 Ом, 1=11/R= 110/10 = = 11 А, //₂ = Л?₂= 11 • 2 = 22 В или U₂=UR₂/R = 110 • 2 / 10 = 22 В.

Задачи, требующие решения Задача 2.3. В цепи по рис. 2.1, а известны: U = МО В, R^ = Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = = 3 Ом, R_u = 4 Ом. Определить Р".

Задача 2.4. В цепи по рис. 2.1, б известны: U= 110 В, U_H = 100 В, = 2 Ом. Определить Р_э.

Задача 2.5. В цепи по рис. 2.1,6 известны: U= 110 В, R_t = 3 Ом, Д_н = 2 Ом. Определить [/".

Цепь с параллельным соединением резисторов. Рассмотрим этот вопрос на следующем качественном примере. От источника ЭДС Е, на выходных зажимах которого имеется напряжение [/, через параллельно соединенные сопротивления R_{, R₂, …, R_n питается нагрузка с сопротивлением R_u (рис. 2.2, а).

Требуется найти ток, проводимость и мощность эквивалентной заданной цепи, изображенной на рис. 2.2, 6, делая соответствующие выводы и обобщения.

Рис. 2.2.

Решение

A. Очевидно, что токи ветвей цени, согласно закону Ома, запишутся так: а общий ток, согласно первому правилу Кирхгофа, будет:

где Б. Разделив составляющие (2−9) на напряжение U, получим.

или где.

B. Умножив все члены (2−9) на напряжение U или (2−12) на t/², будем иметь.

где Формулы (2−10), (2−13), (2−15) показывают, что в параллельной цепи с одним источником питания эквивалентные ток, проводимость и мощность равняются суммам токов, проводимостей и мощностей параллельно соединенных ветвей.

Обратим внимание на то обстоятельство, что (2−7) и (2−15) для нахождения мощностей в последовательных и параллельных цепях идентичны.

Приведенные соотношения и выводы свидетельствуют о том, что исходную схему по рис. 2.2, а с проводимостями G_u G₂, G_n можно заменить простейшей по рис. 2.2, б с эквивалентной проводимостью G., определяемой по (2−13).

Кроме того, из рассмотренного вытекают следующие частные следствия:

а) для схемы по рис. 2.2, а справедливы соотношения 1_Э = t/G._}, / = UG, где G = G₃ + G_u. Исключив из них напряжение, получим.

которое показывает, что ток /_э, протекающий через одну из ветвей цепи, состоящей из двух резисторов, соединенных параллельно, равен произведению общего тока I на отношение проводимости этой ветви G₃ к общей проводимости цени G. Исходя из этого.

Если в (2−8) заменить проводимости соответствующими им сопротивлениями, его можно переписать так:

где Формула (2−16а) показывает, что ток /_э, протекающий через одну из ветвей цепи, состоящей из двух резисторов, соединенных параллельно, равен произведению общего тока / на отношение сопротивления другой («чужой») ветви R_H к сумме сопротивлений цепи R. Исходя из этого.

б) токи и напряжение в цепи по рис. 2.2, б можно записать в различных вариантах:

Решенные задачи.

Задача 2.6. Чему равны проводимость, ток и мощность цени по рис. 2.2, а, если t/= 110 В, = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = 2,5 Ом, R_H = 4 Ом?

Решение

Находим проводимости ветвей: G_x = / R_x = 1/1 = 1 См, G₂ = 1 / Я₂ = 1 / 2 = 0,5 См, G" = 1 / R_n = 1 / 2,5 = 0,4 См, G_n = 1 / R_n = 1 / 4 = 0,25 См. Определяем проводимость, ток и мощность цепи: G = G_x + G₂ + G_n + G_n = 1 + 0,5 + 0,4 + 0,25 = 2,15 См, I = UG = = 110 • 2,15 = 236,5 А, Р= t//= 110 • 236,5 = 26 015 Вт или Р= IPG = 1102 • 2,15 = 26 015 Вт, или Р=Р / G = 236,5² /2,15 = 26 015 Вт.

Задача 2.7. В цепи, но рис. 2.2, а известны: R_x = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = 2,5 Ом, R_H = = 4 Ом. Определить проводимость и сопротивление цени G и R.

Решение

G=G₁ + G₂ + G" + G_H = l//?₁ + l//?2+l/#_w + l/#_H = l/ l + l/ 2 + l/2,5 + l/ 4 = = 1 + 0,5 + 0,4 + 0,25 = 2,15 См, R = 1 / G = 1 / 2,15 * 0,465 Ом.

Задачи, требующие решения.

Задача 2.8. В цени, но рис. 2.2, а известны: U= 110 В, R_x = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R_n = = 3 Ом, R_H = 4 Ом. Определить Р_н.

Задача 2.9. В цепи по рис. 2.2, б известны: 11= 110 В, R₃ = 2 Ом. Определить Р_э.

Задача 2.10. В цепи по рис. 2.2, б известны: 17=110 В, /?_э = 3 Ом, R_u = 2 Ом. Определить /.

Цепи со смешанным соединением резисторов. Разветвленные схемы, где наряду с последовательными участками имеются параллельные, относятся к схемам со смешанным соединением сопротивлений. Они приводятся к схемам с одним эквивалентным сопротивлением путем постепенного объединения сопротивлений цепи, начав с ее конца.

1. Применительно к схеме по рис. 2.3, а такое объединение или свертка реализуется в следующей последовательности.

А. Сначала объединяются ветви 3 и 2. Поскольку они соединены параллельно, то

Б. Затем объединяются участки 3—2 и 1. Поскольку они соединены последовательно, то.

Рис. 23.

Полученное сопротивление R и будет общим для всей цепи по рис. 2.3, а. С учетом этого определяют: токи.

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

напряжения мощности Проверить правильность расчетов можно, составив баланс мощности, г. е. должно соблюдаться равенство Р = Р_х + Р₂ + Р₃.

2. Разветвленные схемы вида 2.3, б, состоящие из чередующихся «продольных» сопротивлений R_v 7?₃, R₅ и «поперечных» проводимостей С₂, G4, ветвей, называются цепными (.лестничными) схемами. Они являются схемами со смешанным соединением сопротивлений, поэтому сворачиваются так же, как и схема по рис. 2.3, а.

Справедливость полученного соотношения легко проверить чтением его снизу вверх, сверяясь со схемой, но рис. 2.3, 6 эквивалентное сопротивление ветвей б и 5 будет Р₆₅ = R₅ + 1 / G₆; ветвей 6, 5 и 4 — С_б54 = G₄ + 1 / Р₆₅ = = G₄ + 1 / (Д₅ + 1 / G₆) и т. д.

Решенные задачи

Задача 2.11. В цепи по рис. 2.3, а известны: [/=110 В, Я, = 2 Ом, Р₂ = Рз = 6 Ом. Определить: /_1? /₂, /₃, [/_1? [/₂, [/₃, Р.

Решение

Р = P_t + Р₂Р₃ / (Р₂ + R₃) = 2 + 6 • б / (6 + 6) = 5 Ом, ^ = [// R = 110 / 5 = 22 Л, U = I R₃/(Р₂ + Р₃) = 22 • 6 / (6 + 6) = 11 А, /₃ = РР₂ / (Р₂ + Ro) = 22 • 6 / (6 + 6) = 11 А или/Д-/₂ = 22−11 = 11 А, (//=/,/?, =22−2 = 44 В, V₂ =U-U, = 110 — 44 = 66 В или U₂ = /₂Р₂ = 11 • 6 = 66 В, и₃=и₂ = 66 В или U₃ = I₃R₃ = И • 6 = 66 В, Р= = = 110 -22 = 2420 Вт или Р=Р, + Р₂ + Р₃= U_{L + U₂I₂ + U₃I₃ = 44−22 + 66−11 +66−11 = = 968 + 726 + 726 = 2420 Вт.

Задача 2.12. В цепи 2.3, б известны: Р, = 2 Ом, R₃ = R₅ = 1 Ом, G₂= G_A = G₆ = 0,5 См. Определить R и G.

Решение

Свернем схему последовательно: Р₆₅ = (1 / G₆) + R₅ = 1 / 0,5 + 1 = 3 Ом, Р_б54 = = Я₅₆(1 / С_л) / (Р₅₆ + 1 / G_a) = 3 — 2 / (3 + 2) = 1,2 Ом, Д₆₅₄₃ = Д₆₅₄ + R₃ = 1,2 + 1 = 2,2 Ом,^{65 432 =654з} (1 / ^г) / (1 / С₂ + Рб54з) = 2,2 • 2 / (2,2 + 2) = 1,05 Ом, Р = Рб543 + Pi = = 1,05 + 2 = 3,05 Ом. G = 1 / R = 1 / 3,05 «0,33 См.

Задачи, требующие решения

Задача 2.13. В цепи 2.3, а известны: U =110 В, G_x = 0,25 См, G₂ = G₃ = 0,5 См. Определить: /_1? /₂, /₃, [/, f/₂, U₃, Р.

Задача 2.14. В цени 2.3, а известны: U = 110 В, G_x = 0,25 См, G₂ = G₃ = 0,5 См. Определить P_v Р₂, Р₃.

Задача 2.15. В цепи 2.3, б известны: R_x = Р₃ = R₅ = Р₆ = 1 Ом, R₂ = R_A = 2 Ом. Определить R и G.

Задача 2.16. В цени 2.3, б известны: G_x = G₂ = G₄ = 0,5 См, G₃= G₅ = G = 1 См Определить /? и G.

Задача 2.17. В цепи 2.3, б известны: [/=12 В, R_x = 2 Ом, R₃ = R₅ = 1 Ом, G₂ =.

G4 = Gq = 0,5 См. Определить I и Р.

Задача 2.18. В цепи 2.3, б известны: [/=12 В, R_x = R₃ = 2 Ом, G₂ = 0,5 См, Р₅ = 5 Ом, С₄ = «о, G₆ = 0,5 См. Определить / и Р.

Задача 2.19. В цепи 2.3, б известны: [/= 12 В, R_x = 2 Ом, R₃ = R₅ = 1 Ом, G₂ = G₄ = = 1 См, G₆ = 0. Определить I и Р.

Задача 2.20. В цени 2.3, б известны: [/= 12 В, R_x = 2 Ом, Р₃ = 0, Р₅ = 1 Ом, G₂ = G_A = = G_g = 0,5 См. Определить / и Р.

Задача 2.21. В цепи 2.3, б известны: [/= 12 В, Pj = 2 Ом, Р₃ = Р₅ = 0, G₂ = 1 См, G₄ = G₆ = 0,5 См. Определить I и Р.

Конденсаторы в цени постоянного тока. При установившемся режиме работы цени постоянного тока, когда по истечении определенного времени после подключения ее к источнику питания в ней устанавливаются неизменные токи, напряжения, ЭДС, конденсаторы, как указывалось раньше, являются местами разрыва цепи, поэтому они не проводят ток, т. е. I = 0. В такой ситуации конденсаторы находятся в заряженных состояниях и являются временными накопителями электроэнергии, определяемой выражением Э = 0,5CU². Это свойство конденсаторов используется для организации памяти в компьютерах, а также таймерах, часах, в электрических фильтрах, искрогасителях в коммутационных аппаратах и др.

Между тем при использовании конденсаторов в цепях постоянного тока в качестве электрических фильтров возникают чисто практические задачи. Например, когда номинальные значения емкости или напряжения конденсаторов, имеющихся в наличии, не совпадают с расчетными, их соединяют в батареи, т. е. последовательно, параллельно, смешанно. Рассмотрим их особенности.

Рис. 2.4.

а б в

А. При последовательном соединении конденсаторов (рис. 2.4, а), в соответствии со вторым правилом Кирхгофа, общее напряжение на зажимах всей цепи равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах (элементах цепи), т. е.

Разделив все члены этого равенства на заряд q и учитывая (1−24), будем иметь.

из чего следует, что при равенстве последовательно соединенных конденсаторов С_{ = С₂ = … = С_п = С эквивалентная (общая) емкость будет равна.

Из последнего следует, что при последовательном соединении конденсаторов их общая емкость уменьшается.

Б. При параллельном соединении конденсаторов (рис. 2.4, б) общий заряд q, накопленный в конденсаторах, равен сумме зарядов на отдельных конденсаторах, т. е.

С учетом (1−24) приведенное равенство можно переписать так: или.

Из последнего следует, что при равенстве емкостей параллельно соединяемых конденсаторов С_{ = С₂ = … = С_п = С

это выражение показывает, что при параллельном соединении конденсаторов их общая емкость возрастает.

В. При смешанном соединении конденсаторов общая емкость находится постепенным преобразованием схемы с учетом (2−17) и (2−19). Например, для цепи по рис. 2.4, в: С = (С, + С₂)С₁ / (C_t + С₂ + С₃).

Вопросы для самопроверки.

• 1. При последовательном соединении емкостей общая емкость увеличивается или уменьшается?
• 2. При параллельном соединении емкостей общая емкость увеличивается или уменьшается?