Расчет трехфазных цепей

Расчет трехфазных цепей проводится так же, как и однофазных, со следующими особенностями:

• • при симметричной нагрузке рассчитывают одну фазу и результаты распространяют на две другие с учетом того, что напряжения и токи фаз сдвинуты на 120°;
• • при несимметричной нагрузке рассчитывают каждую фазу в отдельности и результирующие мощности определяют по формулам (5−14) — (5−16).

Расчет трехфазных цепей ниже иллюстрируется примерами.

Вопросы и задания для самопроверки.

• 1. Что такое трехфазная электрическая система?
• 2. Как устроен трехфазный синхронный генератор и как он работает?
• 3. Как изображаются и записываются трехфазные системы ЭДС?
• 4. Как соединяются обмотки трехфазного синхронного генератора и трехфазной нагрузки?
• 5. Какие трехфазные цепи вы знаете?
• 6. Что называется: фазой, фазным и линейным проводами, каковы соотношения между фазными и линейными токами и напряжениями?
• 7. Какова роль нулевого провода в трехфазной четырехпроводной цепи? Расскажите об этом на конкретных примерах (своей и соседних квартир или домов).
• 8. Что такое смещение нейтрали, чему оно равно при симметричной и несимметричной нагрузках и почему?
• 9. Каковы соотношения между линейными и фазными напряжениями в нагрузке, соединенной в звезду? Постройте полярные и топографические векторные диаграммы напряжений токов (для продвинутых студентов, желающих получить «опытно»).
• 10. Каковы соотношения между линейными и фазными токами в нагрузке, соединенной в треугольник? Постройте полярные и топографические векторные диаграммы напряжений токов (для продвинутых студентов, желающих получить «отлично»).
• 11. Как преобразуется треугольник сопротивлений в звезду сопротивлений?
• 12. Как записываются мощности в трехфазных цепях при соединении нагрузки в звезду и треугольник?
• 13. Как рассчитываются трехфазные цепи?

Решенные задачи Задача 5.1. Каковы сопротивление лампы накаливания и проходящий по ней ток, если известно, что мощность лампы — 60 Вт и она подключена под фазное напряжение 220 В?

Решение

Сопротивление лампы накаливания — активное, поэтому можно воспользоваться формулой РU¹ /г= Г²г= UI, из которой определяем г = U¹ / Р= 220² / 60 = 806,7 Ом, /= U / Y— 220 / 806,7 ~ 0,27 А.

Задача 5.2. Многоквартирный дом питается от трехфазной четырехпроводной сети. В квартире, А включены три лампы накаливания, Б — шесть, В — восемь. Мощность каждой лампы 40 Вт, они рассчитаны на напряжение 220 В. Сопротивление нулевого провода равно нулю (при обрыве —). Как распределятся напряжения в этих квартирах, если оборвется нулевой провод?

Решение

Без доказательства: у, А лампы будут гореть ярко, у Б — менее ярко, чем у А, у В — тускло. Доказательство — в задаче 5.5.

Задача 5.3. К трехфазному четырехроводному источнику питания подключен симметричный приемник, соединенный в звезду (см. рис. 5.4, а, ключ К замкнут), с данными: {/, = 380 В, Z" = (3 + /4) Ом. Определить напряжения, токи и мощности приемника, а также коэффициент мощности нагрузки. Построить топографическую векторную диаграмму.

Решение

• 1. Поскольку трехфазная цепь четырехпроводная, то смещение нейтрали U"_N= 0.
• 2. Определяем фазные напряжения U_a = 11_л / л/з = 380 /л/з = 220 В, принимаем U_a = 220 В, тогда U_h = 220с '¹²° = (-110 -Д90) В, Ц__с = 220е J²ⁱ⁰ = (-110+ Д 90) В, откуда модуль (/ф = 220 В.
• 3. Записываем комплексное сопротивление нагрузки в показательной форме:

откуда модуль Z" = 5 Ом.

4. Определяем фазные (линейные) токи:

откуда модуль /_ф = 44 А.

5. Находим полную мощность нагрузки.

S = 35_ф = 3 U «С = 3 U_hL_b = 3U_CL_C = 3 • 220? 44Д⁵³ = 29 040Д⁵³ = (17 477+j23192) BA, откуда модуль 5 = 29 040 BA.

• 6. Из и. 5 извлекаем Р= 17 477 Вт, Q = 23 192 В Ар, cos ф = cos 53 = 0,6.
• 7. Топографическая векторная диаграмма выглядит, как показано на рис. 5.5,6. Задача 5.4. К трехфазному источнику питания подключен несимметричный

приемник, соединенный в звезду (см. рис. 5.4, а, ключ К разомкнут), со следующими данными: U_n = 380 В, Z" = (3 + Д) Ом, Z_b = (6 + jS) Ом, Z, = 22 Ом. Определить напряжения, токи и мощности приемника, а также коэффициенты мощности нагрузки. Построить топографическую векторную диаграмму.

Решение

• 1. Поскольку трехфазная цепь трехпроводная, а нагрузка несимметричная, то f/" _v Ф 0. Поэтому его нужно найти.
• 2. Определяем фазные напряжения источника питания, сопротивления и проводимости нагрузки: U_A = f/₄ /л/з = 380 /-v/з = 220 В, принимаемU__A = 220 В, тогдаU__B = = 220е-А20 = (‘-1Ю — /190) В, U_c = 220е = (-110+ Д90) В; Z_a = (3 + ;4) = 5е'" >³ Ом,

Z_b = (6 +)8) = zei’o = л/б² + 8²e/arrtgs/6 = 10е/⁵³Ом, Z, = 22 Ом.

Y_a = 1 / z__a = 1 / 5е№ = 0,2е >⁵³ = (0,12 -)0,16) См, Y_b=/Z_h=l/ Юе^⁵³ = 0,1е >⁵³ = = (0,06 — Д08) См, Y_c = 1 / 22 = 0,045 См.

3. Находим смещение нейтрали:

4. Определяем фазные (линейные) напряжения нагрузки:

5. Рассчитываем фазные токи:

Проверка: а) должно быть: I_a + [_ь + /_с = 0:

• б) получилось: 29 —у 17 — 21 +у'6 — 8 +j 1 =0. Все верно.
• 6. Определяем фазные мощности нагрузки:

• 7. Находим полную мощность нагрузки:
• 5 = S" + S_b +S_C = 3538 + /4528 + 2808 + у3726 + 4181 = 10 527 + ;8254 = 10 846</<sup>52 ВЛ.
• 8. Из значения S извлекаем: Р= 10 527 Вт, Q = 8254 ВАр, costp = cos52 = 0,6.
• 9. Характер топографической векторной диаграммы приведен на рис. 5.5, в, но точка п расположен выше по вертикали, чем на рис. 5.5, в.

Задача 5.5. В цепи по рис. 5.4, а (трехфазная цепь при соединении нагрузки в звезду) известно, что U_AB = U_BC = U_CA = U_R = 380 В. В каждой фазе приемника включены параллельно по три лампы накаливания мощностями Р_п =100 Вт. Требуется определить напряжения, сопротивления, токи и мощности приемника при: а) симметричной нагрузке; б) несимметричной нагрузке (в фазу а включена одна лампа, в — две лампы, с — три лампы). Построить топографические векторные диаграммы.

Решение

а) Нагрузка симметричная, поэтому U" = U_b = U_c = (А, = U_n / у/з = 220 В; r_a = г_ь = = ^ГС = ^ГФ =Щ/р" = 2202 /100 = 484 Ом; 1_а = 1_Ь = 1_С = /_фУ = I_JlY = f/₍«/ г_фУ = 220 /484 =.

= 0,4545 A;S = P= 3П_ф/_ф= 7з U_nI,_x = 3? 220 • 0,4545 =7з-380 • 0,45 = 900 Вт.

Топографическая векторная диаграмма изображена на рис. 5.8, а.

Рис. 5.8.

б) Нагрузка несимметричная, поэтому r_a = IJ1 / Р_н = 220² / 100 = 484 Ом; г_ь = = U / 2Р" = 220² / 2 • 100 = 242 Ом; r_c = / 3^, = 220² / 3 • 100 = 161,3 Ом.

У"=1/= 1 /484 = 0,0021 См; Y_b = 1 /r_b = 1 /242 = 0,0041 См; Y_c = 1 /r_c = 1 /161,3 = = 0,0062 См.

и, а = Ил — H"N = 220 + 53,2 -;32 = 273,2 -j32 = 275е^' В; U_b =U_B— U"_N = 220е >^т + + 53,2 -j32 = -110 -Д90 + 53,2 -j32 = -56,8 ->222 = 230e .'^1(M В; U_c=U_c-U_nN = = 220erPM + 53,2-j32 = -110 +Д90 + 53,2 -j32 = -56,8 + Д58 = 167tf‘¹⁰ B.

L_a =[/" /г_о=275е-А85/484=0,57е-Д⁸⁵=(0,56-Д07) A;/₄ =U_b /r_b=230e~J^m/242= = 0,95e^-/^1(M = (-0,23 — /0,92) A; I__c = U_C/r_c= 167e7″ °/161,3 = 1,04ейЮ = (-0,36 +/0,98) A.

Проверка: должно быть: /_я + /* +/_с =0. Получилось: 0,56 — >0,07 — 0,23 — >0,92 — - 0,36+/0,98 = -0,05- /0,01 = 0,0051е~А69 Ошибка составляет от 1_а = 0,57 А (минимум) порядка 0,9%, что вполне допустимо.

S_a = U _аС = 275e~J⁶¹ • 0,57^.85 = 157 Вт; S,=U_b /* = 230e~i^m • 0,95е0^м = 218,5 Вт;

Sc=Н-Х = ? 1,04е-/Ю''= 174 Вт;Р" = 5"= 157 Вт, Р* = 5* = 218 Вт, P_C = S_C= 174 Вт.

Казалось бы, Р_а =100 Вт, Р_ь = 200 Вт, Р_с = 300 Вт. Однако из-за перекоса фаз мощности перераспределись.

Топографическая векторная диаграмма изображена на рис. 5.8, б.

Задача 5.6. В цепи по рис. 5.4, б (трехфазная цепь при соединении нагрузки в звезду) известно, что U_AB = U_BC= U_CA = U_A = 220 В. В каждой фазе приемника включены параллельно по три лампы накаливания с номинальными напряжениями U" = 220 В и мощностями Р_п = 100 Вт. Требуется определить сопротивления, токи и мощности приемника при: а) симметричной нагрузке; б) несимметричной нагрузке (в фазу а включена одна лампа, в — две лампы, с — три лампы). Построить топографические векторные диаграммы.

Решение

а) при симметричной нагрузке фазные и линейные напряжения равны (Иф_Д = = Uт]_Д = 220 В), остальные искомые находятся так: r_ab = г_Ьс = г_са = г₍|_)Д = /ЗР" = = 2202 / з. юо _я 161,3 Ом; 1_аЬ = 1_Ьс = 1_са = /_фД = [7_фД / г_ф = 220 / 161,3 — 1,37 А; 1_а = 1_Ь =.

= 1_с = /_лд = д/з/фд = >/з 1,37 = 2,36 А; 5 = 3(/_фд/_фд = SV_nI_n = Р = 3 • 220 • 1,37 =³ х х 220 • 2,36 = 900 Вт.

Рис. 5.9.

Топографическая векторная диаграмма представлена на рис. 5.9, а, из которой очевидно, что U_ah = 220е>³⁰ = (190 + j 10) В, U_bc = ->220 = 220е = -J220 В, U_ca =.

= 220е)^т = (-190 +j 10) В. Векторы фазных токов на диаграмме совпадают по фазе с соответствующими фазными напряжениями, а линейные — определяются по формуле (5−13), т. е. L" = Lab — Lea— Lb = Lbc ~ Lab. L = La ~ Lbc'

б) при несимметричной нагрузке (U.,. = 1/-,, = 220 В) r"_h = U1 / P,. = 220² / 100 = = 484 Ом, r_bc = r_ab / 2 = 484 / 2 = 242 Ом, r_ca = r_ab / 3 = 484 / 3 = 161,3 Ом.

В соответствии с тем, что U_ab = 220с'^:!()= (190 + Д10) В, U_bc = -/220 = 220с '^эо = = >220 В,U_Ca = 220е'¹⁵⁰ = (-190 +Д10) В, токи найдутся так: I_ab= U_ab/r_ab= 220е"³⁰ /484 = * 0,454е'³⁰ = (0,393 + ./0,227)А, 1_Ьс = U_bc/ r_bc = 220e i⁹⁰/ 242 = 0,908с = >0,908А, I_ca =.

= U_ca / r_ca = 220e'¹⁵⁰ /161,3 = 1,37e'¹⁵⁰ = (-1,12 + Д685) A; I_a=I_ab — I_ca = 0,393 + Д227 +.

+ 1,12 -./0,685 = 1,5 ->0,46 = 1,57е^_7¹⁷ A, I_b = I_bc — J_ab = ->0,908 — 0,393->0,227 = -0,393 — -71,135 = l, 2e^¹²⁰A, /_c = /_ca — -1,12 + >0,685 +./0,908 «-1,12 + >1,6 = 1,86.

Мощности здесь активные, поэтому P_ah = U_ai, I_ab ~ 220 • 0,454 = 100 Вт, P_hc = U_{h (}J_hc = = 220 • 0,908 = 200 Вт, P_ca = UJ_ca = 220? 1,37 = 300 Вт.

P = P_ab + P_hc + P_ca = 100 + 200 + 300 = 600 Вт.

Топографическая векторная диаграмма представлена на рис. 5.9, б.