Метод и алгоритм решения трёхдиагональной матрицы

Идеей этого метода является разделение системы уравнений MESH на три группы:

• — первая группа состоит из уравнений покомпонентного материального баланса (3.3) в сочетании с уравнениями фазового равновесия (3.4);
• — вторая группа состоит из уравнений стехиометрических соотношений (3.7);
• — третья группа состоит из уравнений теплового баланса (3.8).

Эти уравнения решаются последовательно по группам итерационным методом. Независимыми переменными являются состав жидкой фазы Xjj, температура Tj и поток паровой фазы V_}.

При применении этого метода исходными данными являются:

Г р

Fj, Zjj₉ Tj, Pj, Pj, Uj₉ Wj, V, Lj, все тепловые потоки Qj_y за исключением Q, Q_n. Алгоритм решения осуществляется по методу независимого определения концентраций (Wang и Henke [47]) с помощью трёхдиагональной матрицы и состоит из выполнения следующих процедур (шаги).

1) Расчёт состава фаз и энтальпии питаний

Для каждого питания имеются их количество Fj, состав z,-, при давлении Рf и температуре Т?. Необходимо определить количество паровой и жидкой фаз питания F F¹' соответственно, их концентрации.

Zjj, Zjj и энтальпии паровой Hj и жидкой Н_; фаз. Для этого используется расчёт парожидкостного равновесия (см. раздел 3.11).

2) Задание нача.1ьных профилей температуры и потока паровой фазы

Начальный профиль температур задаётся линейной интерполяцией между предполагаемыми температурами верхней и нижней частей ректификационной колонны:

где Т_верх, Т_низ - температуры верха и низа колонны, заданные пользователем или по процедуре инициализации (см. раздел 3.12).

Начальный профиль потока паровой фазы вычисляется из предположения постоянства мольных расходов по пару и жидкости (эквимолярный массообмсн):

3) Расчёт состава жидкой фазы Xjj.

Состав жидкой фазы на каждой тарелке колонны получается путём решения уравнения (3.3), в котором состав пара y_Xj и поток жидкости Lj-1.

заменены величинами правой части уравнений (3.4) и (3.9) соответственно. Тогда уравнение для /'-го компонента на у'-й тарелке можно записать следующим образом:

где.

Таким образом, для каждого /-го компонента, получается система линейных уравнений в матричном виде:

При решении этой системы уравнений методом Томаса (Приложение А), основанным на приведении её к диагональному виду путём элементарных преобразований по рекуррентным формулам, получим профиль концентрации жидкости по высоте колонны Хц (1 < j < N). Такой процесс расчёта повторяется для каждого компонента.

4) Нормализация профиля концентрации жидкой фазы

С

Для удовлетворения условия ⁼ 1 (/ = 1, 2, N) необходимо.

/=1.

нормализовать состав жидкой фазы по формуле:

5) Расчёт профиля температуры и состава паровой фазы.

Для расчёта новой температуры и состава паровой фазы можно использовать алгоритм расчёта точки кипения (см. раздел 3.11) на каждой тарелке при известных составах x, j и давлении Pj жидкой фазы. Уравнение расчёта точки кипения для j-й тарелки определяется из уравнения (3.7) в сочетании с уравнением (3.4):

6) Расчёт нового профиля парового потока.

Значение парового потока V% (рис. 3.1) получено из уравнения общего материального баланса (3.9) для первой тарелки (конденсатора):

Заменяя потоки жидкости Lj~ и Lj в уравнении теплового баланса (3.8) выражением материального баланса (3.9), получим:

Тогда система уравнений (3.25) может быть записана в матричном виде:

Отсюда.

7) Расчёт профиля потока жидкой фазы.

Профиль жидкостного потока рассчитывается из уравнения общего материального баланса (3.9).

8) Проверка сходимости расчёта

Процедура сходимости расчёта заканчивается при условии:

где 7j^k Tj^k ^ - значения температуры нау-й тарелке к-й и (к- 1>й итераций соответственно; N- число тарелок колонны.

Если условие (3.28) выполняется, то расчёт переходит к следующему шагу, в противном случае процедура повторяется с шага 3.

9) Расчёт отвода и подвода теша Qi и Q,

После того, как сходимость расчета выполнится, рассчитывается отвод или подвод тепла по формулам:

На рис. 3.7 приведена блок-схема алгоритма метода независимого определения концентраций с использованием трёхдиагональной матрицы для расчёта процесса ректификации многокомпонентных систем.

При расчёте ректификационных колонн с учётом эффективности тарелок — КПД Мерфи (3.1) матрица коэффициентов системы уравнений материального баланса имеет ненулевые элементы выше или ниже главной диагонали (в зависимости от направления нумерации тарелок — сверху вниз или снизу вверх), т. е. треугольную форму.

Действительно, при этом состав паровой фазы на у-й тарелке можно выразить как функцию состава жидкости на данной и нижерасположенной тарелках колонны. Уравнение (3.5) перепишется в следующем виде:

Рис. 3.7. Блок-схема алгоритма расчёта процесса ректификации по методу независимого определения концентраций получаем систему уравнений в матричном виде:

Эту систему уравнений можно решить с помощью метода исключения недиагональных элементов матрицы, расчетные формулы которых приведены ниже:

где j +1 < hi < N — 1.

Звездочкой обозначены вновь вычисленные значения элементов матрицы (3.32), которая преобразуется к следующему виду:

Эта система уравнений решается по формулам:

Другие шаги рассчитываются подобно как и в случае ту— 1. По сравнению с методом трёхдиагональной матрицы в случае ту < 1 требуется большой объём памяти для размещения элементов матрицы. Так, если ту= 1 число ненулевых элементов равно 37V-2, а в случае ту< 1 имеем 0,5Лг + 1,5,/V — 1 (где N — число тарелок). Однако оказывается, что без существенной потери точности можно пренебречь частью недиагональных элементов ввиду их малой величины. Действительно, как следует из уравнения (3.32) каждый последующий элемент строки (правей третьего) меньше предыдущего в (-ту) раз. Опыт показывает, что при ту > 0,7 расчёты можно производить с меньшим количеством элементов в строке, практически не снижая точности — не более 15 элементов [105].

Метод трёхдиагоналыюй матрицы малоэффективен при расчете ширококипящих и сильно неидеальных систем разделения. Возможно появление колебательности в решении и даже отсутствие сходимости решения системы уравнений. Кроме того, обязательно в состав исходных данных входят значения V (или Ln) и L (или флегмовое число).