Исследование систем массового обслуживания методом статистического моделирования

Исследование систем массового обслуживания методом статистического моделирования

1. Основные положения к выполнению лабораторной работы

Применение аналитических и численных методов исследования СМО ограничено случаями, когда система является марковской и описывается уравнениями размножения и гибели или может быть сведена к ней. В противном случае исследование СМО возможно с помощью метода имитационного моделирования, основанного на многократной имитации с помощью ЭВМ процессов, протекающих в системе, с последующей статистической обработкой полученных результатов.

В качестве основных величин, характеризующих функционирование исследуемой СМО используют оценки математического ожидания числа занятых каналов, длины очереди, времени ожидания заявок в очереди, вероятностей обслуживания заявок, и др. Так, для момента времени t (otT_н), где T_н — время моделирования, могут быть вычислены.

— оценка математического ожидания числа занятых каналов:

здесь — число занятых каналов в момент времени t в j-й реализации; N — число реализаций (прогонов модели);

— оценка вероятности того, что в системе в момент времени t:

здесь — число реализаций, в которых на момент времени t в системе было k требований;

— оценка вероятности, что требование получит отказ:

где — общее число требований, появившихся к моменту времени t в j-й реализации; - число требований, получивших отказ к моменту времени t;

— оценка дисперсии числа занятых каналов в момент времени t:

Для получения представления о точности и надежности этих оценок могут быть найдены доверительные интервалы I при заданной доверительной вероятности .

1. Для математического ожидания числа занятых каналов Здесь t находится из распределения Стьюдента при (N-1) степенях свободы. При больших N (N>30) вместо распределения Стьюдента можно пользоваться нормальным законом. В этом случае где Ф (х) — интеграл вероятностей:

2. Для вероятностей где При больших N приближенно где — С.К.О. оценки вероятности :

Кроме того, границы доверительных интервалов для вероятностей могут легко быть найдены из номограмм.

2. Для заданного (базового) варианта СМО получить результаты моделирования СМО. Величину t_ож время ожидания в очереди принять неслучайной t_ож > T _мод. T_мод брать по результатам счета лабораторной работы №1 (время окончания переходного процесса умноженное на 2). Число реализаций N=50. Построить графики изменения m_L, a_n, P_обсл и их доверительных интервалов от времени. Величину доверительной вероятности принять равной в=0,9

Решаем систему дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта (правые части уравнений записаны в векторе D, начальные условия — в векторе x):

Моделирование

Время моделирования T_мод = 3 (время окончания переходного процесса по результатам лабораторной работы равно 1.3 с).

Время ожидания выбираем из условия T_ожид > T_мод, отсюда T_ожид = 4 с.

Параметры модели:

Входной поток (интервал времени между заявками):

Закон распределения: Экспоненциальный

Интенсивность: 7

Очередь:

Длина очереди: 3

Время ухода из очереди:

Закон распределения: Детерминированный

Величина: 4

Каналы обслуживания:

Число каналов: 3

Время обслуживания:

Закон распределения: Экспоненциальный

Интенсивность: 2

Результаты работы программы:

Оценки математических ожиданий:

| Время | Число заявок | Число отказов | Число потерь | Число обслуживаний | Длина очереди | Время ожидания | Занятые каналы |

| 1,00 | 6,940 | 0,320 | 0,000 | 3,500 | 0,720 | 0,029 | 2,400 |

| 2,00 | 14,060 | 1,640 | 0,000 | 8,540 | 1,280 | 0,107 | 2,600 |

| 3,00 | 21,040 | 3,480 | 0,000 | 13,500 | 1,440 | 0,169 | 2,620 |

| 4,00 | 28,220 | 5,560 | 0,000 | 18,620 | 1,300 | 0,213 | 2,740 |

| 5,00 | 35,060 | 7,060 | 0,000 | 24,200 | 1,080 | 0,235 | 2,720 |

| 6,00 | 42,460 | 8,860 | 0,000 | 29,240 | 1,660 | 0,244 | 2,700 |

| 7,00 | 49,440 | 10,620 | 0,000 | 35,000 | 1,180 | 0,252 | 2,640 |

| 8,00 | 56,300 | 11,960 | 0,000 | 40,680 | 1,060 | 0,258 | 2,600 |

| 9,00 | 63,040 | 13,480 | 0,000 | 45,720 | 1,220 | 0,264 | 2,620 |

| 10,00 | 69,920 | 14,940 | 0,000 | 50,940 | 1,300 | 0,269 | 2,740 |

| 11,00 | 76,800 | 16,220 | 0,000 | 56,640 | 1,220 | 0,273 | 2,720 |

| 12,00 | 83,780 | 17,500 | 0,000 | 62,380 | 1,300 | 0,274 | 2,600 |

| 13,00 | 90,720 | 19,640 | 0,000 | 67,240 | 1,300 | 0,276 | 2,540 |

| 14,00 | 98,060 | 21,320 | 0,000 | 72,700 | 1,340 | 0,280 | 2,700 |

| 15,00 | 105,420 | 22,960 | 0,000 | 78,400 | 1,360 | 0,283 | 2,700 |

| 16,00 | 112,620 | 24,640 | 0,000 | 84,280 | 1,080 | 0,284 | 2,620 |

| 17,00 | 120,200 | 25,880 | 0,000 | 90,300 | 1,460 | 0,284 | 2,560 |

| 18,00 | 126,640 | 27,500 | 0,000 | 95,300 | 1,260 | 0,287 | 2,580 |

| 19,00 | 133,680 | 28,920 | 0,000 | 100,840 | 1,180 | 0,290 | 2,740 |

| 20,00 | 140,340 | 30,300 | 0,000 | 106,260 | 1,180 | 0,291 | 2,600 |

Оценки среднеквадратических отклонений:

| Время | Число заявок | Число отказов | Число потерь | Число обслуживаний | Длина очереди | Время ожидания | Занятые каналы |

| 1,00 | 2,745 | 0,785 | 0,000 | 1,941 | 1,000 | 0,046 | 0,916 |

| 2,00 | 3,722 | 2,197 | 0,000 | 3,054 | 1,200 | 0,086 | 0,774 |

| 3,00 | 4,906 | 3,067 | 0,000 | 3,822 | 1,235 | 0,105 | 0,718 |

| 4,00 | 5,231 | 4,176 | 0,000 | 4,151 | 1,204 | 0,100 | 0,558 |

| 5,00 | 5,984 | 5,131 | 0,000 | 4,507 | 1,110 | 0,097 | 0,530 |

| 6,00 | 6,548 | 5,830 | 0,000 | 4,773 | 1,210 | 0,088 | 0,670 |

| 7,00 | 7,518 | 6,495 | 0,000 | 5,355 | 1,125 | 0,085 | 0,624 |

| 8,00 | 7,759 | 6,971 | 0,000 | 5,773 | 1,173 | 0,082 | 0,692 |

| 9,00 | 7,725 | 7,278 | 0,000 | 6,000 | 1,237 | 0,080 | 0,718 |

| 10,00 | 8,143 | 7,882 | 0,000 | 6,077 | 1,100 | 0,080 | 0,558 |

| 11,00 | 9,361 | 8,367 | 0,000 | 6,802 | 1,118 | 0,076 | 0,722 |

| 12,00 | 10,286 | 8,690 | 0,000 | 6,831 | 1,268 | 0,075 | 0,824 |

| 13,00 | 10,438 | 8,885 | 0,000 | 6,553 | 1,204 | 0,070 | 0,780 |

| 14,00 | 10,887 | 9,321 | 0,000 | 6,394 | 1,193 | 0,067 | 0,670 |

| 15,00 | 10,398 | 8,991 | 0,000 | 6,587 | 1,179 | 0,065 | 0,670 |

| 16,00 | 10,805 | 9,333 | 0,000 | 6,600 | 1,110 | 0,063 | 0,745 |

| 17,00 | 11,144 | 9,704 | 0,000 | 7,108 | 1,152 | 0,063 | 0,875 |

| 18,00 | 11,704 | 10,425 | 0,000 | 7,566 | 1,261 | 0,062 | 0,776 |

| 19,00 | 11,853 | 10,665 | 0,000 | 7,606 | 1,089 | 0,061 | 0,521 |

| 20,00 | 11,969 | 10,562 | 0,000 | 8,009 | 1,107 | 0,059 | 0,800 |

Вычисление доверительного интервала:

Так как N = 50, то для построения доверительных интервалов, учитывая, что значение доверительной вероятности в = 0.9, то t_в рассчитывается с использованием нормального закона:

Математическое ожидание числа занятых каналов:

Mn — из Л.Р. 1

а — моделирование

Математическое ожидание средней длины очереди:

Вычисление доверительного интервала:

Для средней длины очереди:

Lm — из Л.Р. 1

m — моделирование

Вероятность обслуживания:

Вероятность обслуживания равна вероятности того, что в системе ещё не находится n+m требований, т. е. Po = 1 — Pn+m = 1 — P6

Вычисление доверительного интервала:

Для вероятности обслуживания:

Po1 — из Л.Р. 1

Po — моделирование

3. Для заданного (базового) варианта СМО исследовать влияние _ожид на характеристики системы в стационарном режиме

a) H () — детерминированный, _ожид=T_{ожидания_среднее}

b) H () подчинено экспоненциальному закону распределения. Математическое ожидание _ожид равно T_{ожидания_среднее}*{0,25; 0,5; 1; 2}.

Выводы

В лабораторной работы № 2 были получены результаты моделирования базового варианта СМО. По полученным результатам были построены графики зависимостей числа занятых каналов, средней длины очереди и вероятности обслуживания и их доверительных интервалов от времени. Кривые, построенные по результатам лабораторной работы № 1, попали в соответствующие доверительные интервалы.

В данной лабораторной работе были исследованы возможности применения метода имитационного моделирования для исследования систем массового обслуживания. Анализируя полученные результаты, можно сделать следующий вывод: использование метода имитационного моделирования допустимо, но более предпочтительным является использование аналитического аппарата для исследования СМО, т.к. этот путь исследования СМО является более простым и дает более точные результаты.

имитационный моделирование массовый обслуживание