Распределение Стьюдента. 
Эконометрика

Нормальность закона распределения ошибок эксперимента постулируется, т. е. принимается соответствующей истине без доказательства. Основываясь на этом, интервал, в котором изменяется ошибка, считают на практике равным 2 а (т. е. говорят, что «с вероятностью 0,95 случайная величина заключена в интервале …»). Именно величина 2а определяет вероятность, равную 0,95. Однако в действительности генеральная дисперсия а²(х) остается неизвестной. Поэтому неизвестна и мера этой ошибки — относительная величина.

U — lz}L. Для больших п можно полагать s²(x) = а²(х), и применение постула;

о (х) та будет закономерным. В противном же случае величина t -—- может зна;

s (x).

чительно отклоняться от значения U, а, значит, интервал, в котором заключена случайная величина X с той же вероятностью 0,95 будет резко отличаться от вычисляемого в предположении о нормальности распределения относительной ошибки U. Именно это обусловило разработку иных законов распределения, используемых в математической обработке экспериментов.

Распределение случайной величины, аналогичной U, в котором вместо генерального среднеквадратического отклонения стоит соответствующее выборочное отклонение, т. е.

впервые было введено Стьюдентом (псевдоним английского химика Госсета) и носит название распределения Стьюдента.

Функция плотности вероятности величины t определяется числом f степеней свободы выборочной дисперсии s²(x).

При значениях f > 20 функция распределения Стьюдента удовлетворительно аппроксимируется функцией нормального распределения. Поэтому уже с числа измерений в эксперименте более 20 обычно для вычисления величин доверительных интервалов и ошибок можно использовать нормальный закон. При небольшом же числе измерений (значит, и числе степеней свободы) распределение Стьюдента существенно отличается от нормального. В этом случае интервал, в котором с некой вероятностью заключена исследуемая величина, рассчитывают не по таблицам Гаусса, а по таблицам t- распределения (Приложение 2).

Если вероятность, а для случайной величины t попасть в какой-либо интервал задана, то границы искомого интервала будут характеризоваться величинами и зависящими от числа степеней свободы f и определяемыми из условия.

Пример. Найти величину интервала, для которого вероятность попадания случайной величины t, имеющей одну степень свободы, равна 0,95.

Имеем, а = 0,95, 1 — а = 0,05, f *= 1. При помощи Приложения 2 находим f₀₀₅ 0) ^с 12,706. Отсюда искомый интервал есть (-12,706; +12,706).