Стохастические интегралы. 
Дифференциальные и разностные уравнения

Случайный процесс удобно рассматривать как функцию двух переменных — времени и случая: X (t, со) = ХДсо), t > 0, со е Q. Для случайных процессов кроме обычного интеграла Лебега по времени вводится также конструкция стохастических интегралов (Ито, Стратоновича и др.), когда интегрирование ведется по винеровскому процессу. Обычно в экономике рассматриваются интегралы Ито. Наметим в общих чертах один из возможных способов построения.

Определение 8.4. Пусть W_t(со) есть w-мерный броуновский (или винеровский) процесс. Определим F_t = F (' как сi-алгебру, порожденную случайными величинами W₅(-)> s < t. Другими словами, F_t есть наименьшая а-алгебра, содержащая все множества вида {co:W^(co)€ F_vW_t2(₂>…, W_tk((o)eF_k}, где tj< t и Fjd Ш^п — борелевские множества, j < k = 1, 2,… (предполагается, что все множества меры нуль включены в F_t).

Систему множеств F_t часто представляют как «историю процесса W_s вплоть до момента времени t». Можно показать, что функция /?(со) является /^-измеримой тогда и только тогда, когда она может быть представлена почти всюду как поточечный предел сумм функций вида.

?₂W₂)> •••" gk (^wt_k)> ^r^^e ?п ?2″ — ёк ~ ограниченные непрерывные функции и tj< t при j < k_y k = 1, 2, …. На интуитивном уровне тот факт, что функция h является /^-измеримой, означает, что значение величины /?(со) в принципе может быть вычислено по значениям процесса И^(оо) при s < t. Например, функция h Дсо) = 1Т_г/₂(со) является F_t-измеримой, в то время как h₂(со) = М^Дсо) не является таковой.

Отметим, что F_s с F_t при s < t, т. е. {F₍} является возрастающим семейством, и что F_t с 3 для всех t.

Определение 8.5. Пусть {N_t}_t>₀ является возрастающим семейством а-алгебр подмножеств множества П. Процесс g (t, со): [0; ~>) х П —> Ш^п называется N (-согласованным, если для каждого t > 0 функция со —"g (t, со) является Л^-измеримой.

Таким образом, процесс h Доз) = Ww₂(co) является /^-согласованным, в то время как процесс И ₂(оо) = W_2t(00) не является таковым.

Опишем класс функций, для которых интеграл Ито определен.

Определение 8.6. Класс функций, для которых интеграл Ито определен (обозначим через v = v (S, 7)) — это функции/(f, со): [0; (c)о) х О —> R, такие что выполняются следующие условия:

• 1) функция f (t, со) является (Ъ х /^-измеримой, где Ъ обозначает борелевскую а-алгебру на |0; °°);
• 2) функция /(?, со) является /^-согласованной;
• (т
• 3) Е J /(/, ²dt

U

Определение 8.7. Функция ср е v(S, Т) называется ступенчатой, если она имеет вид

где х обозначает характеристическую (индикаторную) функцию; п — натуральное число.

Отметим, что так как ср е V, каждая е_} должна быть /^-измеримой. Таким образом, h_{(со) = W_ty₂(со) является ступенчатой, a /z₂(co) = W_2t((o) — нет.

Для ступенчатой функции ср (?, со) определим интеграл Ито следующим естественным образом:

Имеет место следующее важное свойство.

Лемма 8.1 (изометрия Ито). Если ступенчатая функция ср (/, со) ограничена, то Здесь и в дальнейшем Е означает то же, что и Е° — математическое ожидание относительно вероятностного закона 7^ю для броуновского движения, начинающегося в нуле, а Р означает то же, что и 7^ю.

Определение 8.8. Пусть f е v (S, 7). Тогда интеграл Ито функции / (от S до 7) определяется равенством.

где {ср"} есть последовательность ступенчатых функций, таких что.

¹ Здесь и далее буквой Е обозначено математическое ожидание (обычно в русскоязычной математической литературе принято обозначать математическое ожидание символом М, однако поскольку в данной главе буква «М» используется для обозначения мартингалов, то для матетического ожидания используется обозначение Е, принятое в англоязычной литературе).

Доказывается, что для любой функции / е v (5, Т) такая последовательность {ф"}, удовлетворяющая условию (8.3), существует. Более того, в силу равенства (8.1) предел в L²(P) существует и не зависит от конкретного выбора {ф"}, если выполняется условие (8.3).

Следствие (изометрия Ито). Для всех/ е v (S, Т) имеет место равенство.

Пример 8.1

Непосредственно исходя из определения, покажем, что.

Решение. Если т — разбиение интервала, то через |т| обозначим ранг разбиения. Разобьем отрезок [а; Ь на п равных частей длины t/n, где t = b-a. Тогда.

вательность независимых одинаково (стандартно нормально) распределенных случайных величин.

Мы предположили, что разбиение равномерное. Тогда.

л-1 п. н По закону больших чисел Нш — = 1 (обозначение «п.н.» означает «почти.

п _х=о наверное", т. е. с вероятностью единица, или за исключением множества случаев веро;

л-1 П. н ятностиой меры нуль). Следовательно, lim? (w_r.₊ -w_t.)² = t, поэтому.

Как ясно из примера, определение интеграла Ито не очень эффективно для вычисления конкретных интегралов. Это напоминает ситуацию с обычным интегралом Римана, когда для непосредственных вычислений не пользуются его формальным определением, а вместо этого используют формулу Ньютона — Лейбница и правило дифференцирования сложных функций. При вычислении интегралов Ито аналогичную роль играет некий вариант И го правила дифференцирования сложной функции, называемый формулой Ито, или формулой замены переменной в стохастическом интеграле (интеграле Ито).

Определение 8.9. Поток (на (О, 3)) есть семейство N = {N,},>₀ ст-алгебр N_t с 3, таких что 0 < s N_s( (т.е. семейство {N₍} является возрастающим). Случайный «-мерный процесс {Мф>₀ на (О, 3, Р) называется мартингалом относительно потока {А^}^>₀ (^и относительно Р)_у если выполнены следующие условия:

• 1) M_t является Л^-измеримым для всех t
• 2) E (M_t) < оо для всех t;
• 3) E (M_sN_t) = M_t для всех s > t
• (математическое ожидание в условии 2) и условное математическое ожидание в условии 3) берутся относительно Р = Р°).

Интеграл Ито J fdW может быть определен для более широкого класса функций /, чем V. Во-первых, условие 2) из определения 8.6 может быть ослаблено следующим образом.

• 2') Существует возрастающее семейство а-алгебр H_t, t> 0, такое что:
  • а) W_t является мартингалом относительно H_t;
  • б) процесс f_t является Н_Г-согласованным.

Отметим, что из а) следует: Е_г с Н_{. Суть данного обобщения состоит в том, что можно допустить зависимость f_t от большего разнообразия событий, чем события из F_n если только W_t остается мартингалом относительно истории процессов /₅, s < t. Нетрудно заметить, что в этом случае, как и ранее, можно произвести построение интеграла Ито.

Рассмотрим наиболее важный случай, в котором применимо условие 2'), а условие 2) из определения 8.6 неприменимо.

Предположим, что W,(co) = W_k(t, со) есть k-я координата «-мерного броуновского движения (W_v W₂, W_n). Пусть — о-алгебра, порожденная Wj (5j[, •), …, W"(s», •), s_k< t. Тогда W_k(t, со) есть мартингал относительно Ft, потому что приращения W_k(s, •) — W_k(t_y •) не зависят от F,.

t

при s > t. Таким образом, мы определили J/(л (d)d?_k(s, со) для f/ -согла;

о сованных интегрантов f (t, со). Эта конструкция включает в себя такие интегралы, как JW₂dW_x или Jsin (VE,² + W?)dW₂, содержащие несколько компонент «-мерного броуновского движения (здесь использовано обозначение dW_x = dW_x(t, о) и т. д.). Этот подход позволяет определить многомерный интеграл Ито следующим образом.

Определение 8.10. Пусть W= (W_v W₂,…, W_n) — «-мерное броуновское движение. Обозначим через v^^x«(5,T) множество (т х «)-матриц v = [v^t, со)], в которых каждый элемент v^t, со) удовлетворяет условиям 1) и 3) определения 8.6 и условию 2') относительно некоторого потока Н = {#ф>₀.

Если vev%*ⁿ(S, Г), то, используя матричные обозначения, определим многомерный интеграл Ито

как (т х 1)-матрицу (вектор-столбец), i-я компонента которой есть следую;

п Т

щая сумма (обобщенных) одномерных интегралов Ито: X J ^vij(⁵> со)dWj (s, со).

Ms

Если Я = F^ = {F"}_tl>o, то опускаем индекс II в обозначении vg^xw(5,T) и пишем v^mXn(S, 7), а если m = 1, то пишем просто v#(5, 7') вместо v^^w(.9,7') и, соответственно, v" (5, 7) вместо v^lx" (5, Т). Положим также.

Следующее обобщение интеграла Ито состоит в ослаблении условия 3) определения 8.6 и замене его условием.

Определение 8.11. Через w_H(S, 7) обозначим класс процессов f (t, со) е М, удовлетворяющих условию 1) определения 8.6 и условиям 2') и 3'). Аналогично тому как вводилось обозначение для v, мы полагаем w_u — р| w_n(0, Т) и пишем.

7>0.

в матричном случае wfi^xn(S, Т) и т. д. Если Н = Fⁿ то вместо z&_{F (n)} (S> Т) пишем w (S, Т) и т. д. Будем также иногда опускать верхний индекс и писать просто F вместо Fⁿ когда размерность ясна из контекста.

Нетрудно заметить, что в этом случае также можно определить интеграл Ито как предел (но вероятности) интегралов от ступенчатых функций.