Лекция III УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ

• 1. Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики.
• 2. Основные понятия линии уравнений и неравенств:
  • а) трактовка понятия уравнения;
  • б) равносильность и логическое следование;
  • в) классификация преобразований уравнений, неравенств и их систем;
  • г) логические обоснования при изучении уравнений и неравенств.
• 3. Последовательность изучения линии уравнений и неравенств.

Содержание и роль линии уравнений и неравенств в современном школьном курсе математики.

Решение уравнений и неравенств составляет значительную часть школьного курса математики. Это объясняется тем, что уравнения и неравенства широко используются в различных разделах математики, в решении важных прикладных задач.

Уравнения и неравенства уже сами по себе представляют интерес для изучения, так как именно с их помощью на символическом языке записываются важнейшие задачи, связанные с познанием реальной действительности. Этой ролью уравнений и неравенств в естествознании определяется и их роль в школьном курсе математики. Но дело не только в этом. При изучении любой темы уравнения и неравенства могут быть использованы как эффективное средство закрепления, углубления, повторения и расширения теоретических знаний, для развития творческой математической деятельности учащихся. Операции над числами и свойства этих операций, функции и свойства функций, метрические соотношения между элементами геометрических фигур, а также связанные с этими вопросами тождества и тождественные преобразования в процессе изучения сразу же могут находить отражение в упражнениях на решение уравнений и неравенств. Например, ознакомившись с распределительным законом умножения относительно сложения, учащиеся могут применить его к решению уравнений вида (* + 5) • 2 = 16, 14* + 27х = 656; в 7 классе решение вопроса: может ли уравнение *⁴ - 25*³ + 13*² — 20* +1=0 иметь отрицательные корни? — не только потребует применения знаний свойств степеней рациональных чисел, но и будет способствовать развитию исследовательских способностей учащихся. Возможность разнообразить формы упражнений (решить заданное уравнение (неравенство); составить уравнение (неравенство) по заданному множеству его решений; решить задачу с помощью уравнения (неравенства); составить задачу по заданному уравнению (неравенству); составить два уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество решений и т. д.) способствует развитию сообразительности, находчивости и инициативы учащихся.

Графическое решение уравнений и неравенств раскрывает значение методов аналитической геометрии, играет большую роль в развитии пространственного воображения. Решение задач из разных разделов математики с помощью уравнений и неравенств формирует представление о единой математике и относительном характере её расчленения на арифметику, алгебру, геометрию.

Значительна роль метода уравнений и неравенств в решении задач жизненного содержания. Решение задач, связанных с основами современного производства, экономикой народного хозяйства, со смежными дисциплинами может служить одним из эффективных способов осуществления принципа связи преподавания математики с жизнью, подготовки учащихся к свободному выбору будущей профессии.

Истоки алгебраических методов решения практических задач связаны с наукой Древнего мира. Как известно из истории математики, значительная часть задач математического характера, решаемых египетскими, шумерскими, вавилонскими писцами-вычислителями (XX — VI вв. до н. э.), имела расчетный характер. Однако уже тогда возникали задачи, в которых искомое значение величины задавалось некоторыми косвенными условиями, требующими, фактически, составления уравнения или системы уравнений. Первоначально для решения таких задач применялись арифметические методы. В дальнейшем начали формироваться первые алгебраические представления. Сначала был создан метод решения текстовых задач. Он послужил в дальнейшем основой для выделения алгебраического компонента и его независимого изучения. Это изучение осуществлялось в период VI — X вв. н. э. сначала арабскими математиками, выделившими характерные действия, посредством которых уравнения приводились к стандартному виду (приведение подобных членов, перенос членов из одной части уравнения в другую с переменой знака), а затем европейскими математиками Возрождения. Именно они в итоге длительного поиска создали язык современной алгебры (использование букв, введение символов арифметических операций, скобок и т. д.).

На рубеже XVI — XVII вв. алгебра как специфическая часть математики, обладающая своим предметом, методом, областями приложения, была уже сформирована. Дальнейшее её развитие, вплоть до нашего времени, состояло в совершенствовании методов, расширении области приложений, уточнении понятий и связей их с понятиями других разделов математики. В этом процессе все яснее становилось, какую важную роль играет понятие уравнения в системе алгебраических понятий.

Открытие координатного метода (Р. Декарт, XVII в.), развитие аналитической геометрии позволили применить алгебру не только к задачам, связанным с числовой системой, но и к изучению различных геометрических фигур. Эта линия развития алгебры упрочила положение уравнения как ведущего алгебраического понятия, которое связываюсь теперь уже с тремя главными областями своего функционирования: 1) уравнение как средство решения текстовых задач; 2) уравнение как особого рода формула, которая служит в алгебре объектом изучения; 3) уравнение как формула, которой косвенно определяются числа или координаты точек плоскости (пространства), являющиеся его решением.

Таким образом, уравнение как общсматсматичсскос понятие многоаспектно, причем ни один из аспектов нельзя исключить из рассмотрения, особенно если речь идет о проблемах школьного математического образования.

Ввиду важности и обширности материала, связанного с понятием уравнения, его изучение в современной методике математики организовано в содержательно-методическую линию — линию уравнений и неравенств. Здесь рассматриваются вопросы формирования понятий уравнения и неравенства, общих и частных методов их решения, взаимосвязи изучения уравнений и неравенств с числовой, функциональной и другими линиями школьного курса математики. Выделенным областям возникновения и функционирования понятия уравнения в алгебре соответствуют три основных направления развертывания линии уравнений и неравенств в школьном курсе математики.

• а) Прикладная направленность линии уравнений и неравенств раскрывается главным образом при изучении алгебраического метода решения текстовых задач. Этот метод широко применяется в школьной математике, так как он связан с обучением приемам, которые используются в приложениях математики. Прикладное значение уравнений, неравенств и их систем определяется тем, что они используются в математическом моделировании.
• б) Теоретико-математическая направленность линии уравнений и неравенств раскрывается в двух аспектах: во-первых. в изучении наиболее важных классов уравнений, неравенств и их систем и, во-вторых, в изучении обобщенных понятий и методов, относящихся к линии в целом. Оба эти аспекты необходимы в курсе школьной математики.
• в) Для линии уравнений и неравенств характерна направленность на установление связей с остальным содержанием курса математики.

Эта линия тесно связана с числовой линией. Все числовые области, которые рассматриваются в школьной алгебре и началах анализа, за исключением области всех действительных чисел, возникают в связи с решением каких-либо уравнений, неравенств, систем. Связь линии уравнений и неравенств с числовой линией двусторонняя. Обратное влияние проявляется в том, что каждая вновь введенная числовая область расширяет возможности составления и решения различных уравнений и неравенств. 11апример, введение арифметического квадратного корня из рациональных чисел позволяет записывать корни не только уравнений вида х¹ = Ь, где b — неотрицательное рациональное число, но и любых квадратных уравнений с рациональными коэффициентами и неотрицательным дискриминантом.

Линия уравнений и неравенств тесно связана также и с функциональной линией. Одна из важнейших таких связей — приложения методов, которые разрабатываются в линии уравнений и неравенств, к исследованию функций (например, к заданиям на нахождение области определения некоторых функций, их корней, промежутков знакопостоянства и т. д. С другой стороны, функциональная линия оказывает существенное влияние на содержание линии уравнений и неравенств и на стиль её изучения. В частности, функциональные представления служат основой привлечения графической наглядности к решению и исследованию уравнений, неравенств и их систем.

Следует отметить взаимосвязь линии уравнений и неравенств с алгоритмической линией. Само содержание понятия алгоритма может быть выделено на основе анализа процесса решения уравнений различных классов. Влияние же алгоритмической линии на линию уравнений и неравенств заключается прежде всего в возможности использования её понятий для описания алгоритмов решения уравнений, неравенств и систем различных классов.