Задача о поглощении

Синергетический эффект слияния/поглощения. Слиянием называют любую форму объединения двух или большего числа существующих фирм в единую фирму. Именно здесь специалисты по теории финансов чаще всего говорят о синергетическом эффекте: «Синергия — условие, состоящее в том, что общий результат превосходит сумму сложенных эффектов; при синергетическом слиянии стоимость после слияния превосходит сумму отдельных фирм до слияния. Если существует синергия, то целое — это больше, чем сумма его частей. Синергией также называют: 2 плюс 2 равняется 5»^[1].

Ю. Бригхэм и Л. Гапенски^[2] выделяют четыре основных источника синергетического эффекта:

• 1) операционная экономия, возникающая в результате возрастающей отдачи от масштаба в управлении, маркетинге, производстве и распределении;
• 2) финансовая экономия, проявляющаяся в снижении издержек по обслуживанию долга, увеличении способности компании по привлечению заемных средств, лучшей подготовке сделок аналитиками;
• 3) дифференциальная эффективность, означающая, что управление одной из фирм было неэффективным и после слияния ее активы станут более производительными;
• 4) возросшая рыночная мощь как результат ослабления конкуренции.

Постановка задачи о поглощении. Предположим, что поведение фирмы-поглотителя и фирмы-мишени рационально, обе стороны обладают совершенной информацией и одинаково прогнозируют будущее, и попробуем рассмотреть процесс слияния/поглощения с позиций известного метода реальных опционов^[3]. Пусть фирма А собирается поглотить фирму В и V_A — ценность фирмы A, V_B — ценность фирмы В, V_c — ценность объединенной фирмы, V_D = V_c — V_a — ценность для фирмы А проекта поглощения фирмы В_у I — плата фирмы А акционерам фирмы В за покупку их фирмы. Таким образом, сделка возможна, только если V_B< I< V_D.

Предположим, что ценность фирмы V_B и ценность инвестиционного проекта V_Df как обычно, представляют собой геометрические броуновские движения:

где, а и, а — темпы роста и волатильности соответствующих процессов; dw — приращение винеровского случайного процесса.

Анализ проведем в три этапа. Сначала будем считать, что каждая сторона рассматривает цену, которую предлагает другая сторона, как данную. Рассмотрим поведение акционеров фирмы В, которые получили предложение о продаже, и установим, какой должна быть предлагаемая цена, чтобы акционеры фирмы В согласились на данное предложение. Построим безрисковый портфель Ф, состоящий из одного опциона F (V_B) продажи фирмы В за общую сумму I и из короткой позиции по F'(V_B) единицам актива, который является репликой V_B.

Реплика для V_B — это такой финансовый актив, цена которого реплицирует, т. е. копирует, воспроизводит стохастические изменения процесса V_B. Другими словами, коэффициент корреляции этих двух случайных процессов (V_B и цены ренлицирущего актива) в любой момент времени должен быть равен единице.

Ценность такого портфеля.

Держатель длинной позиции будет требовать скорректированной на риск отдачи рР_й от актива V_B, которая равна приросту капитала aV_B плюс поток дивидендов 8_BV_B. Следовательно, за эту короткую позицию, включающую F'(V_B) единиц актива V_B, должны за короткий интервал времени заплатить 8_BV_BF'(V_B)dt. Поэтому общая отдача от нашего портфеля за короткий временной промежуток dt равна.

По формуле И то dF = F'(V_B)dV_B +^F" (V_B)(dV_B)², поэтому.

и можно увидеть, что портфель действительно безрисковый. Так как портфель безрисковый, условие отсутствия арбитража имеет вид = гФ (к, где г — безрисковая ставка процента, и получаем.

откуда Общее решение уравнения (8.26) имеет вид F (V) = B_{V_B' +B₂V_B², где (ф,.

Р₂ — корни квадратного уравненияа|(3((5−1) + (г-6_й)Р-г = 0, таким образом,.

Так как Нщ F (V_B) = 0, получаем В₁ = 0 и F (V_B) = B₂V_B².

V_B->°o

Граничные условия имеют вид F (V_B) = IV_B, F'(V_B) = -1, где V_B — критическая ценность фирмы В, т. е. такая ценность данной фирмы, что оптимальное правило продажи требует продавать фирму В, если V_B < V_B, и отказаться от предложения со стороны фирмы А, если V_B > V_B.

Тогда получаем.

Vg _тг* _{т т} т/* Р2^— 1.

откуда-r^L-V_B-I, т. е. / = V_B^—.

Р2 H2.

Акционерам фирмы В следует принять предложение фирмы А относительно продажи фирмы В, если.

и ПТПРПП-IVTK РГП п ПППТИПНПМ ГНУиЯР и отвергнуть его в противном случае.

Теперь, зная, что цена I, на которую может согласиться фирма В, равна произведению некоторой константы k_B на ценность фирмы В, рассмотрим поведение фирмы А. Очевидно, что, определяя для себя оптимальное правило инвестирования, фирма А рассматривает не только изменение во времени своей собственной ценности и ценности фирмы В, но и изменение во времени цепы продажи фирмы В. Точно так же и фирма В при определении своего оптимального инвестиционного правила рассматривает изменение во времени не только своей собственной ценности и ценности фирмы А, но и цены покупки, предлагаемой фирмой А.

Теперь ценность опциона инвестировать является функцией F (V_D, V_B) обеих переменных V_D и V_B, и притом однородной первой степени: ясно, что если V_D и V_B увеличить вдвое, то вдвое же увеличится и /•'(V_D, V_B).

Предполагая, что на рынке существуют реплики для V_D и V_B, построим безрисковый портфель Ф, содержащий один опцион F (V_D, V_B), а также короткую позицию по m единицам V_D и короткую позицию по п единицам V_B. С помощью формулы Иго находим.

где р — коэффициент корреляции между V_D и V_B.

Для того чтобы портфель Ф был безрисковым, выберем m = F'_D, п = F_B. Держатель короткой позиции должен платить держателю длинной позиции поток дивидендов

С другой стороны, доходность портфеля Ф должна равняться безрисковой доходности.

Граничные условия имеют следующий вид:

Теперь воспользуемся однородностью и сведем дифференциальное уравнение в частных производных (8.28) к обыкновенному дифференциальному уравнению.

Обозначим р = V_D/V_B. Тогда где/(р) = F (p, 1).

Поэтому.

Подставляя данные выражения в уравнение (8.28), получаем.

откуда, приводя подобные и деля на V_B, находим Граничные условия принимают вид.

Любое из данных трех граничных условий может быть выведено из двух остальных. Общее решение уравнения (8.29) имеет вид.

где (3₂ — корни квадратного уравнения.

Поэтому.

где с² =о²_п-2рg_dg_b+o²_b. Таким образом, (3j > 1; Р₂ < 0- Так как/(0) = 0, имеем А₂ = 0. Воспользуемся граничными условиями:

Р*.

Разделив первое из этих равенств на второе, видим, что ^—= р* -k_B, т. е.

Pi.

V* В Иными словами, — = ——— k_n.

^vb Pi-1.

Оптимальное инвестиционное правило для фирмы А выглядит следующим образом. Фирма А должна покупать фирму В тогда и только тогда, когда.

где Р) определяется выражением (8.30).

Зная теперь, что цена покупки, на которую может согласиться фирма А, равна произведению некоторой константы k_D на ценность V_D для фирмы А проекта покупки фирмы В, рассмотрим поведение фирмы В. Задавшись вопросом, когда же акционерам фирмы В следует продавать свою фирму, мы, очевидно, получим то же самое дифференциальное уравнение (8.29), а граничные условия теперь примут вид

и мы придем к решению

где (ф — положительный корень уравнения (8.30). Таким образом, оптимальное правило продажи для фирмы В выглядит следующим образом. Фирме В следует откликнуться на предложение фирмы А тогда и только тогда, когда В -1.

Из формулы (8.31) видим, что k_D=^~—, а из формулы (8.32) — что.

Pi.

k_B =^. При этом / = yjv_B Vp. Введем в рассмотрение величину 0 = -^—1. Pi «1.

Это та доля рыночной стоимости фирмы В_} которую получат ее собственники в качестве премии. Имеем.

т.е. собственники фирмы В получают 0V?, а фирме Л достается 0/ = 0(1 + 0) V? от суммарного синергетического эффекта слияния V*_D -Vg = (20 + 0²)V?.

Таким образом, если собственники фирмы В немедленно получают кроме рыночной стоимости своей фирмы еще и процент 0 ее рыночной стоимости в виде премии за продажу, т. е. получают (1 + 0) V? сегодня же, то собственники фирмы А получают от поглощения фирмы В в течение всей будущей деятельности фирмы А инкрементальный денежный ноток, чистая приведенная стоимость которого равна 0(1+0)V? =0V? + 0²V?, но сегодня и в ближайшем будущем они, скорее всего, терпят одни лишь убытки.

ПРАКТИКУМ

• [1] Бригхэм Ю. Энциклопедия финансового менеджера. М.: Экономика, 1998.
• [2] Бригхэм Ю.} Гапенски J1. Финансовый менеджмент. СПб.: Экономическая школа, 2004.
• [3] Dixit А. К., Pindyck R. S. Investment under uncertainty. Princeton, 1993.