Кинематика точки. 
Физика. 
Механика. 
Электромагнетизм

Перемещение, траектория точки

Математическим образом движущегося тела, размеры которого малы по сравнению с характерными перемещениями, будем считать точку. Например, автомобиль на шоссе можно представлять точкой на заданной кривой, но тот же автомобиль, маневрирующий в тесном дворе, точкой не моделируется.

Положение точки в пространстве задается тремя числами (х, у, z). Если хотя бы одно из этих чисел изменяется с течением времени, точка движется.

Рассмотрим некоторую точку с координатами (х, у, z). Проведем вектор г из начала координат в эту точку. Такой вектор называется радиусом-вектором точки. Если точка движется, ее радиус-вектор изменяется со временем. Координаты точки х, у, z есть проекции радиуса-вектора на координатные оси. (Далее векторы будем отмечать стрелкой над буквой.).

Вводя единичные базисные векторы, радиус-вектор можно выразить явно через координаты точки:

Если в момент времени t_t объект находился в точке /j = r (t,), а в момент t₂ — в точке г₂ (рис. 1.1), то вектор

называется вектором перемещения.

Внимание! Перемещение определяется только начальной и конечной точками и не зависит от того, как двигался объект между ними.

Два последовательных перемещения из точки А в точку В и затем из В в С эквивалентны одному перемещению из А в С. Формально:

Задача 1.1. Самолет пролетел на север 100 км, после чего уклонился на 30° к востоку и пролетел еще 300 км. Найти вектор перемещения самолета.

Решение. Результирующее перемещение самолета складывается из двух последовательных перемещений:

Фиксируя последовательные положения движущегося объекта (точки) в последовательные моменты времени, получим ряд точек в пространстве (так происходит, например, при киносъемке). Предполагается, что эти точки лягут на некоторую кривую, которая называется траекторией движущейся точки. Математически это предположение означает, что координаты х, у, z движущейся точки являются непрерывными функциями времени: х = x (t), у = у (/), z = z (0- (Отметим, что наличие траектории — это действительно предположение, оправдывающееся при описании движения макроскопических объектов, но несправедливое, например, для электрона в атоме.).

Для радиуса-вектора движущейся точки можно написать.

Это равенство при предъявленных функциях х (/), y (i), z (t) определяет траекторию движущейся точки (конец радиуса-вектора вычерчивает кривую).

Задача 1.2. Точка движется по закону r (/) = /lsin (co/)/' + Я cos (со/) у. Здесь величины А, В, со — некоторые константы. Найти траекторию точки.

Решение. Функции х (/) = A sin со/, y{t) = Д cos со/, очевидно, определяют траекторию. Можно, например, придавать переменной / различные значения и находить для этих значений положения точки на плоскости хОу. Когда этих точек наберется достаточное количество, траектория проявится. Но можно попытаться исключить параметр / и найти явную зависимость у =/(х). Перепишем исходные уравнения в виде х/А = sin со/, у/В= cos со/. Возведем эти уравнения в квадрат и сложим. Получим (х/А)² + (у/В)² = 1. Отсюда можно выразить у через х и построить график, который и будет представлять траекторию. Но и так известно, что полученное уравнение описывает эллипс с полуосями А и В.

Комментарии. По смыслу переменных х, у постоянные А и В имеют размерность длины, постоянная со должна иметь размерность обратного времени, чтобы произведение со/ было безразмерным. Маленький шарик, висящий на длинной нити, при малых отклонениях от положения равновесия будет иметь в горизонтальной плоскости разобранную выше траекторию, причем со = -Jg/I, где / — длина нити, g — ускорение свободного падения, постоянные А, В зависят от того, как шарик приведен в движение.

Выводы;

Координаты движущейся точки являются непрерывными функциями времени. Функции х = x (t), у = y (t), z = z (t) определяют траекторию движущейся точки.