Поле системы проводников

Если распределение заряда задано, поле находится по простому в принципе рецепту. Однако практически это не очень интересный случай, так как имеется довольно мало реальных ситуаций, подпадающих под него. Задача, представляющая практический интерес, — это поле, создаваемое системой проводников с заданными потенциалами. Такая задача сводится к решению уравнения V^!cp = О с соответствующими граничными условиями и представляет сложную математическую проблему, которую мы и обсуждать не будем. Легко решаются такие задачи лишь в случае хороших симметрий. Эти случаи были рассмотрены выше.

Конденсаторы. Емкость

Если уединенному проводнику сообщить заряд q, у него появится потенциал ср. Этот потенциал будет зависеть от геометрии проводника. Оказывается, что потенциал является линейной функцией заряда: <�р~ q. Это вовсе не очевидный факт. Коэффицент пропорциональности определяется геометрией проводника. Пишут.

и величина С называется емкостью проводника.

Если мы имеем два проводника с зарядами q и -q (рис. 7.58), то разность потенциалов между ними — также линейная функция заряда:

и величина С называется емкостью этой системы проводников.

Следует иметь в виду, что в рассмотренных случаях емкость зависит не только от проводников, но и от окружающей обстановки, так как внешние поля влияют на потенциалы проводников.

Однако из двух проводников можно создать устройство, емкость которого не зависит от того, что делается снаружи. Например, если один проводник полностью охватывает другой, поле внутри не зависит от внешних полей (рис. 7.59). Такое устройство называется конденсатором. Емкость конденсатора есть свойство конденсатора и не зависит от внешних обстоятельств.

Рис. 7.59.

Рис. 7.58

7.5.2. Энергия конденсатора Заряженный конденсатор обладает энергией, так как поле обладает энергией. Энергия конденсатора.

интеграл берется по объему, занятому полем. С другой стороны, можно показать, что эта энергия равна.

Может вызвать удивление тот факт, что сложная интегральная величина (7.78) так просто выражается через емкость, однако следует иметь в виду, что разность потенциалов между двумя точками зависит от поведения поля во всем пространстве.

Замечание. Если нужно найти энергию поля, создаваемого заряженным проводником или двумя проводниками с равными и противоположными по знаку зарядами, можно воспользоваться формулой (7.79), если вычислить емкость системы.

Чтобы вычислить емкость, нужно найти потенциал или разность потенциалов при заданном заряде q. Впрочем, формулы (7.78), (7.79) можно использовать и для нахождения емкости, если вычислить энергию поля и выразить ее через заряд. Например, для плоского конденсатора имеем: