Нелинейные колебания. 
Общая физика

Далеко не при всяких колебаниях возвращающая сила пропорциональна отклонению (т. е. меняется по закону (— кх)). Рассмотрим, например, рессору, изображенную на рисунке 2.74. Она состоит из нескольких пластин. При небольших деформациях изгибаются только длинные пластины. При больших нагрузках изгибу подвергаются и более короткие (и более жесткие) пластины. Возвращающую силу теперь можно описать так:

Рис. 2.73.

Рис. 2.74.

Рис. 2.72.

бательный режим переходит в апериодический, когда колебания исчезают и тело просто медленно приближается к положению равновесия (рис. 2.72, б, в).

Введите вместо строки, где ставятся точки (t, x), строку, где будут ставиться точки (x, v), и получите фазовые портреты затухающих колебаний при разном трении. Можно воспользоваться и одной из готовых программ Phaspdem* или Phport * из имеющихся в пакете ПАКПРО. Должны получаться диаграммы типа изображенных на рисунке 2.73.

Чтобы она была возвращающей, т. е. F и х всегда имели разные знаки, ее следует разложить в ряд по нечетным степеням х. Поскольку потенциальная энергия U связана с силой формулой F = - dU/dx, это означает, что.

т. е. колебания происходят в потенциальной яме со стенками, более крутыми, чем у параболы (рис. 2.75, а). Трение пластин друг о друга обеспечивает затухание, необходимое для демпфирования колебаний.

Возможны колебания и в асимметричной яме, когда.

(рис. 2.75, б). Возвращающая сила при этом будет равна.

При решении задач на нелинейные колебания неизбежно использование компьютера, так как аналитических решений не существует. На компьютере же решение совсем не сложно. Нужно только в строке, где производится наращивание скорости (v = v + F At/m), полностью написать выражение для F, например -кхгх² — рх³.

Пример. Программа для вычерчивания графика нелинейных колебаний приведена в пакете ПАКПРО под именем Nlkol. Запустите ее в работу. Должна получиться серия кривых для разных начальных отклонений. При х₀ большем некоторого значения колеблющаяся частица покидает потенциальную яму, преодолев потенциальный барьер.

Испытайте также работу программ Nlcol* и Nlosc.*, имеющихся в пакете ПАКПРО, а также программы, с помощью которых можно получить фазовые портреты нелинейных колебаний: Phaspnl.*, Phportnl*.

Отметим, что, строго говоря, почти любые колебания являются нелинейными. Только при малых амплитудах их можно считать линейными (пренебрегать членами с х², х³ и т. д. в формулах типа (2.117)).

Рис. 2.75.

Пусть на осциллятор, кроме возвращающей силы, обеспечивающей собственные колебания с частотой С0о, действует еще внешняя сила, причем меняющаяся периодически с частотой со, равной или не равной (Оо. Эта сила будет раскачивать тело с частотой со. Возникающие при этом колебания называются вынужденными.

Уравнение движения в этом случае будет таким:

Вначале происходит процесс установления колебаний. От первого толчка тело начинает колебаться с собственной частотой со₀. Потом постепенно собственные колебания затухают, и вынуждающая сила начинает управлять процессом. Устанавливаются вынужденные колебания уже не с частотой (Оо, а с частотой вынуждающей силы со. Переходный процесс очень сложен, аналитического решения не существует. При решении задачи численным методом программа будет ничуть не сложнее, чем, скажем, программа для затухающих колебаний. Нужно только в строке, где в соответствии с уравнением движения производится наращивание скорости, добавить вынуждающую силу в виде FobiH = Focos (cot).

Пример. В пакете ПАКГ1РО дан пример программы для получения графика вынужденных колебаний на экране компьютера. См. также программы Ustvcol.pas и UstvcoW.pas. Получающийся график х (?) и фазовая диаграмма v (x) показаны на рисунке 2.76. При удачном подборе параметров хорошо видно, как постепенно устанавливаются вынужденные колебания. Установление вынужденных колебаний интересно наблюдать также на фазовой диаграмме (программа Phpforc.pas).

Когда колебания с частотой со уже установились, можно найти решение уравнения (2.118) в виде.

Рис. 2.76 98.

Здесь Жо — амплитуда установившихся колебаний. Если подставить (2.119) в (2.118), найдя предварительно производные по времени х' и х" и учитывая, что к = соо²тп, то оказывается, что (2.119) будет решением уравнения (2.118) при условии, что.

Рис. 2.77.

Трение не учитывалось, коэффициент а полагался равным нулю. Видно, что амплитуда колебаний резко возрастает при приближении со к Сйо (рис. 2.77). Это явление носит название резонанса.

Если бы трения действительно не было, амплитуда при со = (Оо была бы бесконечно большой. Реально так не бывает. На том же рисунке 2.77 показано, как с увеличением трения меняется резонансная кривая. Но все же при совпадении со и соо амплитуда может стать в десятки и сотни раз больше, чем при со Ф СОо. В технике это явление опасно, так как вынуждающие колебания двигателя могут попасть в резонанс с собственной частотой каких-либо частей машины, и она может разрушиться.