Перемещения и деформации

Определение деформаций тела основывается на сравнении его актуальной формы в текущий момент времени с формой, которую оно имело в некотором состоянии, принимаемом за начальное состояние. Для такого сравнения необходимо условиться о выборе координат, которые характеризуют изменение положения точек в процессе деформации.

Рассмотрим процесс деформирования твердого тела от действия приложенных сил (рис. 1.12). При описании будем рассматривать только начальное и конечное состояния тела, не принимая во внимание время, траектории движения материальных частиц и изменения свойств материала в процессе деформирования.

Рис. 1.12. К определению перемещений и деформаций.

Начальное положение этого тела показано сплошной линией, деформированное состояние — пунктирной. В результате деформации точка А переместится и займет положение А'. Ее перемещение определится вектором полного перемещения {а}, компоненты которого и_А, v_A и w_A представляют перемещения точки А в направлении соответствующих осей. Компонента полного перемещения положительна, если она совпадает с направлением соответствующей оси координат.

Отметим, что перемещение конкретной точки тела еще не характеризуют степень деформирования в локальной окрестности этой точки, поскольку можно перенести тело с одного места в другое без деформаций. Ясно, что в этом случае перемещение будет иметь место, но тело не изменит ни форму, ни размеры.

Чтобы изучить картину деформирования в окрестности интересующей нас точки, необходимо, во-первых, отбросить перемещения точки, вызванные перемещением тела как жесткого целого, и, во-вторых, исключить перемещения окрестности точки как жесткого целого, вызванные деформацией материала в остальной области рассматриваемого тела. Что касается первого условия, то оно удовлетворяется соответствующим закреплением самого тела, не допускающим его перемещения как жесткого целого.

Что же касается второго требования, то в рамках гипотезы о неизменности начальных размеров эти перемещения в курсе сопротивления материалов можно считать пренебрежимо малыми. Более точные построения выходят за рамки сопротивления материалов и изучаются в курсах теории упругости и механики деформируемого твердого тела. Кратко отметим, что для этого используются два подхода: пространственное описание движения в переменных Эйлера и материальное описание с помощью переменных Лагранжа. В случае использования принципа неизменности начальных размеров оба подхода совпадают. При изучении геометрически нелинейных задач деформаций конструкций, как правило, используется описание движения с помощью переменных Лагранжа.

Линейные и угловые деформации. Выполняя первое требование, исключим перемещение тела как жесткого целого посредством наложения необходимого количества связей.

Для количественной оценки изменения формы и размеров тела рассмотрим элемент АВ (см. рис. 1.12), начальная длина которого равна /. После деформации тела точка А перейдет в точку А', а точка В — в точку В'. Длина элемента в деформированном состоянии составит / + А/, где А/ представляет собой изменение длины элемента.

Введем понятие линейной деформацииСредняя линейная деформация определяется как отношение изменения длины элемента к его начальной длине:

В пределе при стремлении начальной длины отрезка к нулю получим.

Аналогично приведенному выше определению линейной деформация в точке А в направлении АВ можно определить линейные деформации в точке А в любом направлении. Для обозначения линейных деформаций в направлении координатных осей используются обозначения е_г, г_уУ г₂ соответственно.

Наблюдения показывают, что удлинение тела в некотором направлении, которое мы назовем продольным направлением, сопровождается уменьшением его размеров в поперечных направлениях. Таким образом, продоль-^[1]

ная деформация сопровождается деформацией поперечной. Экспериментально установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной деформации:

где v — безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом ПуассонаВ дальнейшем будет показано, что для изотропного материала числовое значение коэффициента v лежит в пределах от 0 до 0,5^[2][3].

Определение изменений формы и размеров бесконечно малого объема в окрестности точки А тела требует также оценки, как изменяются существующие прямые углы в рассматриваемой точке при нагружении тела.

Определим угловую деформацию в точке А в плоскости ВАС. Рассмотрим прямоугольный треугольник САВ (см. рис. 1.12), который в результате деформаций тела перейдет в треугольник С А’В'. Для исключения перемещения как жесткого целого совместим на плоскости точки А и А'. Изменение прямого угла составит.

Изменение угла зависит от длин отрезков АВ и АС. Чтобы исключить это влияние, перейдем к пределу:

Таким же образом определяются угловые деформации в других плоскостях, которые составляют координатные оси: y_v//, y_yz, у_2Г

Аналогично определению напряженного состояния деформированное состояние в точке определяется шестью компонентами деформации: тремя линейными (e_v, г_у, е₂) и тремя угловыми (y_v//, у_у2, у_п.) деформациями.

Контрольные вопросы и задания

• 1. Дайте определение понятиям качество и надежность технического устройства.
• 2. Дайте определения понятиям прочность, жесткость и устойчивость конструкции.
• 3. Перечислите основные гипотезы о материале, используемые в курсе сопротивления материалов.
• 4. Перечислите основные этапы схематизации, используемые при построении расчетной схемы конструкции.
• 5. Поясните принципы разделения сил на внешние и внутренние, активные и реактивные.
• 6. В чем заключается различие между расчетными схемами бруса, оболочки и массивного тела?
• 7. В чем заключается сущность метода сечений?
• 8. Перечислите основные силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня.
• 9. Перечислите основные принципы, используемые в сопротивлении материалов.
• 10. Как определяются полное, нормальное и касательные напряжения в элементарной площадке?
• 11. Дайте определение понятию «напряженное состояние в точке тела».
• 12. Что представляют собой линейные и угловые деформации в точке тела?

• [1] Термин «деформация» в русском языке применяется двояко: с одной стороны, в качественном смысле, как всякое изменение формы и размеров тела, а с другой — как количественная мера изменения состояния тела в точке. В англоязычной литературе для этих целей используются два различных термина — deformation и strain.
• [2] Симеон Дени Пуассон (Simeon Denis Poisson, 1781 — 1840) — знаменитый французскийматематик, механик и физик, автор многочисленных работ по математике, астрономии, гидромеханике, теории упругости.
• [3] В последние годы появились материалы, называемые ауксетиками, с отрицательнымизначениями коэффициента Пуассона.