Анализ точности измерительного устройства

Пример П2.11.

Определить математическое ожидание и дисперсию абсолютной погрешности результата измерений, если известны структурная схема И У (рис. 112.42), параметры его звеньев, параметры аддитивной помехи /₂, действующей на входе звена 2, и модель измерительного сигнала х.

Рис. П2.42

Исходные данные для расчета представлены в трех таблицах: в табл. П2.3 показаны характеристики звеньев ИУ, в табл. П2.4 — характеристики помехи, в табл. П2.5 — характеристики измерительного сигнала.

Из табл. П2.3 видно, что звенья 1, 3 безынерционные, а звено 2 — инерционное. Из рис. П2.42 и табл. П2.4 видно, что на входах звеньев 1, 3 помехи отсутствуют, а помеха/₂ на входе звена 2 описывается центрированной случайной функцией врео мени /₂(0 с постоянной спектральной плотностью Sj₂(со) = 0,02, т. е. является динамической помехой «белый шум».

Из табл. П2.5 следует, что модель измерительного сигнала можно записать в виде.

Стрелками показана связь случайных составляющих сигнала с их характеристиками. Регулярная динамическая составляющая сигнала m_x(t) отсутствует.

Таблица П2.3

Характеристики звеньев.

Характеристики помех.

Таблица П2.5

Характеристики измерительного сигнала о о.

x (t) = т_х + m_x(t) + х+ x (t)

Каждое звено схемы характеризуется номинальным значением своего коэффициента чувствительности k_sQ и его относительной погрешностью h_s, которая, в свою очередь, характеризуется своими математическим ожиданием m_hs и дисперсией D_hs> приведенными в табл. П2.3.

Математическое ожидание и дисперсия абсолютной статической погрешности результата измерений в общем случае вычисляются по формулам табл. 9.3, т. е.

Статическая погрешность. На рис. П2.43 показана структурная схема ИУ, соответствующая статическому режиму измерений. При ее построении учитываются лишь те составляющие измерительного сигнала, параметры звеньев и помехи, которые не изменяются во времени.

Рис. 112.43.

где т_х, D_x — математическое ожидание и дисперсия статической составляющей измерительного сигнала; т_н, D_n — математическое ожидание и дисперсия относительной погрешности общего коэффициента чувствительности ИУ; nip, D_F — математическое ожидание и дисперсия аддитивной помехи F, приведенной ко входу ИУ; nip, Dp — то же для помехи F, приведенной к выходу ИУ.

В рассматриваемом случае статические составляющие аддитивных помех отсутствуют, т. е. m_F = D_F = fn_F = D_F = 0. Поэтому вместо (112.14) и (112.15) имеем

где, согласно данным табл. П2.5, т_х = 3, D_x = 0,005.

Значения т_и и D_u вычисляются по формулам.

Ж k.

где a_s = ——- — коэффициенты влияния; К — коэффициент чувствитель- ok_s К

пости ИУ. В рассматриваемом случае в соответствии с данными рис. П2.43 имеем Номинальный коэффициент чувствительности ИУ.

отличается от единицы. Поэтому для приведения выходного сигнала у ко входу ИУ необходимо масштабное преобразование (на рис. П2.43 показано пунктиром).

По формулам (П2.16)—(П2.18) получаем.

Динамическая погрешность. На рис. П2.44, а показана структурная схема ИУ, соответствующая динамическому возмущенному режиму измерений. При ее составлении учитываются инерционность звеньев ИУ и те составляющие измерительного сигнала и помех, которые зависят от времени. На рис. 112.44, б показана эквивалентная структурная схема ИУ.

Рис. П2.44

На этой схеме внутренняя аддитивная помеха /₀ заменена эквивалентной помехой F, приведенной ко входу ИУ Операторная часть передаточной функции ИУ равна (см. рис. П2.44, а)

Помеха F, эквивалентная помехе/₂, равна.

где т. е. помеха F, как и помеха /₂, описывается центрированной случайной функцией времени «белый шум».

Математическое ожидание и дисперсию абсолютной динамической погрешности результата измерений в общем случае вычисляют по формулам (см. табл. 9.3)

где m_x(i) — реакция ИУ на регулярную составляющую m_x(t) сигнала х (1); m_F{t) — реакция ИУ на регулярную составляющую m_F(t) помехи /•'(/); fn_F(t) — регулярная составляющая помехи, приведенной к выходу ИУ; D_F, D_F, D_xx, D_xxx — интегралы, вычисляемые по формулам (9.19)—(9.22).

В рассматриваемом случае имеем.

Энергетический спектр и автокорреляционная функция случайного о процесса X (t.) связаны соотношением (7.97), т. е.

Подставляя эти результаты в формулы (9.19)—(9.22), после вычисления интегралов получим

В рассматриваемом случае m_v(t) = m_F(t) = m_F(t) = D_F = 0. Поэтому формулы (П2.21), (П2.22) значительно упрощаются:

Суммарная погрешность. В установившемся режиме измерений абсолютная погрешность результата измерений е-х-х описывается центрированной стационарной случайной функцией времени с математическим ожиданием т_е = т_ест + т_ед = ОД69 и дисперсией Д = Д,_ст + Д_д = 0,0323.

Задачи для самостоятельного решения.

1. (См. подпараграф 9.2.3) Определить математическое ожидание т_н и дисперсию Du относительной погрешности общего коэффициента чувствительности прибора, имеющего известную структурную схему (рис. П2.45, а).

Рис. П2.45

Каждое звено прибора (и прибор в целом) характеризуется номинальным значением коэффициента чувствительности k_j0 и относительной.

¹ о погрешностью этого коэффициента hj=Akj/kj₀ = m_hj+hj, D_hj, имеющей систематическую составляющую т, ? и центрированную случайную состав;

ляющую h с дисперсией Д (/' = 1,2, 3).

¹ о Случайные погрешности звеньев hj являются независимыми.

На рис. П2.45, 6 показана эквивалентная структурная схема прибора.

о Здесь Н = Д/С/К₀ = Шц + H, D_U — искомая относительная погрешность общего коэффициента чувствительности прибора.

Характеристики звеньев прибора (к задаче 1).

Ответ: т_н =-3,75 10^-4, Z)_7/ = 3,125−10^-3.

2. (См. подпараграф 9.3.6) Определить оптимальные значения коэффициентов чувствительности звеньев прибора _шт > структурная схема которого показана на рис. П2.45, а, из условия минимума дисперсии относительной погрешности общего коэффициента чувствительности (D_H = min), если желаемая статическая характеристика прибора х = х. Систематические погрешности звеньев отсутствуют (тт?/. = 0). Случайные погрешности о.

hj являются независимыми величинами с дисперсиями D_fl{ = D_fl2 = 0,01, D_hз = 0,005 (см. табл. П2.6).

Ответ: k_{{n = k02mn} = 1, к_Щт = 0,5; D_Hmin =2,5−10^-3.

3. (См. подпараграф 9.2.4) Определить аддитивные помехи F и F, действующие соответственно на входе (рис. П2.46, б) и выходе (рис. П2.46, в) прибора, эквивалентные трем независимым аддитивным помехам f_x(j = 1, 2, 3), действующим на входах звеньев прибора (рис. П2.46, а), имеющих заданные передаточные функции W_1t(p)_y W₂(j)), W₃(p).

Рис. П2.46

Определить дисперсию аддитивной случайной погрешности прибора Z)_A, если.

а помехи f. описываются стационарными случайными функциями времени о ^J

fj (t) с характеристиками

4. Определить суммарную приведенную погрешность прибора у (9.42), имеющего заданную структурную схему (см. рис. П2.46, а) и параметры звеньев (см. табл. П2.6), полагая, что:

1) измеряемая физическая величина х описывается следующей функцией времени:

о где m_x(t) = 5t²e~^3t -1(f); X — центрированная случайна величина с дисперсио ей D_x =4−10^-4; X (t) — центрированный случайный процесс с автокорреляционной функцией R_v(т) = 0,0002e" N cos (2т);

2) передаточные функции звеньев прибора имеют вид.

3) аддитивные помехи/^, действующие на входах звеньев прибора, имеют те же характеристики, что и в предыдущей задаче.

Предложить мероприятия по снижению суммарной погрешности, если допустимая приведенная погрешность прибора равна 0,5% от диапазона измерений D = x_B-x_tl= 2.

Ответ: 1. На рис. П2.47 показана зависимость максимальной приведенной погрешности от времени.

Кривая 1 соответствует исходным данным задачи, кривая 2 — случаю, когда коэффициенты чувствительности звеньев прибора являются оптимальными, т. е. (см. ответ к задаче 2.8.3) = ^₀ =1 и k_3Q = 0,5 (видно, что соответствующее снижение погрешности является незначительным). Кривая 3 соответствует случаю, когда кроме оптимального выбора номинальных значений коэффициентов чувствительности звеньев прибора в 10 раз снижена дисперсия относительной погрешности этих коэффициентов, т. е. (см. табл. П1.5) вместо D_ln = D_h2 =0,01 и D_h3 =0,005 принято.

D_M — D_h2 =0,001 и Z)_A3 =0,0005. Предложенных мероприятий достаточно для снижения суммарной погрешности прибора до заданного уровня 0,5%.

Рис. П2.47