Косой изгиб прямого стержня

При рассмотрении прямого чистого изгиба прямого стержня мы потребовали, чтобы поперечное сечение стержня обладало осью симметрии, совпадающей с силовой линией в рассматриваемом сечении. В этом случае деформированная ось стержня оставалась в плоскости действия сил, а нейтральная ось сечения располагалась перпендикулярно силовой линии. Рассмотрим более общий случай изгиба стержня с несимметричным поперечным сечением (рис. 5.15).

Рис. 5.15. Изгиб стержня с несимметричным поперечным сечением.

Сохраняя преемственность с введенной ранее правосторонней декартовой системой координат xyz> в которой ось стержня направлена вдоль оси х, рассмотрим поперечное сечение в локальной декартовой системе координат yz с началом в точке С. Предположим, что действие внутренних сил в рассматриваемом поперечном сечении сводится к равнодействующему изгибающему моменту М₂ = М_тг, обусловленному действием внешнего момента М такой же величины. Общность результатов не ограничится, если предположить, что плоскость действия момента проходит через центр тяжести сечения, расположенный в точке С (см. рис. 5.15), и силовая линия совпадает с осью у.

Предполагая справедливыми гипотезы Эйлера — Бернулли, заключаем, что в результате изгиба стержня его поперечные сечения без изменения своей формы и размеров совершают поворот вокруг некоторой оси v, оставаясь при этом перпендикулярными к оси деформированного стержня.

Допустим, что ось поворота v пересекает ось у в точке О, отстоящей от точки С на расстояние а. Перпендикулярная к v ось и составляет с осью у угол а, отсчитываемый против часовой стрелки. В общем случае угол, а отличен от 0 и тс/2, т. е. ось поворота не совпадает с нейтральной или силовой линией.

Деформацию произвольного волокна можно вычислить по формуле (5.6) с тем отличием, что величина у должна быть заменена на расстояние от центра тяжести элемента dA до оси т. е. величиной и. Деформацию волокон в продольном направлении представим в следующем виде:

В предположении справедливости гипотезы о ненадавливании слоев полагаем, что в поперечном направлении волокна продольного направления не взаимодействуют друг с другом, т. е. реализуется одноосное напряженное состояние. Учитывая соотношение (5.52), получим формулу для определения нормальных напряжений, действующих в поперечном сечении:

Для перехода от системы координат уСг к системе uOv воспользуемся формулами параллельного смещения и поворота осей:

С учетом формулы (5.53) значения нормальных напряжений представим в виде.

Запишем три условия равновесия:

Отметим, что для деформированного состояния стержня сомножитель р Производя интегрирование и заменяя соответствующие интегралы значениями геометрических характеристик сечения, получим.

Проанализируем полученный результат. Поскольку ось у является центральной осью, S_y = 0. Поскольку в общем случае cos, а не равен нулю, то из первого уравнения системы (5.56) следует.

Поскольку ось Cz, так же как и Су, является центральной осью, S₂ = 0, и тогда аА = 0. Поскольку площадь поперечного сечения не равна нулю, то а = 0. Следовательно нейтральная линия проходит через центр тяжести сечения.

Рассмотрим второе соотношение (5.56) и установим величину угла наклона, а оси Ои относительно Су. Учитывая равенство нулю S_y, находим.

Согласно формуле (5.57) в общем случае нейтральная линия необязательно расположена перпендикулярно к силовой линии. Рассмотрим случай, когда ось Су является главной центральной осью сечения. Поскольку перпендикулярная ей ось Cz так же является главной осью, центробежный момент инерции 1_у2 равен нулю. Согласно формуле (5.57) находим, что tg a = 0 и, соответственно, a = 0.

Таким образом, в случае если силовая линия совпадает с одной из главных осей сечения, имеет место случай прямого изгиба, при котором деформированная ось стержня расположена в силовой плоскости, а нейтральная линия в сечении перпендикулярна силовой линии.

С помощью третьего соотношения (5.56) определим значение кривизны:

Для преобразования этой формулы воспользуемся соотношением (5.57):

Выражение IJ_Z — [_yz является вторым инвариантом тензора геометрических характеристик поперечного сечения. Формулу нормальных напряжений (5.54) можем записать в следующем виде:

Если силовая линия совпадает с главной осью сечения, центробежный момент инерции сечения 1_у2 и угол, а равны нулю. Это позволяет провести дальнейшее упрощение выражения (5.60):

На основании полученного результата можно сделать следующий вывод. Формулы для изгиба сечения с одной осью симметрии можно распространить на сечение любой формы при условии совпадения силовой линии с одной из главных центральных осей сечения.

Полученный результат можно распространить на более общий случай косого изгиба, при котором силовая линия проходит через центр тяжести сечения, но не совпадает ни с одной из главных осей сечения. В таком случае в соответствии с принципом независимости действия сил мы можем, разложив предварительно изгибающий момент по главным осям на две составляющие, решить обе задачи раздельно, а затем получить общее решение задачи как суперпозицию двух полученных решений.

Рассмотрим данный случай на примере изгиба стержня прямоугольного поперечного сечения (рис. 5.16).

Рис. 5.16. Косой изгиб прямого стержня.

Плоскость, в которой действует момент {М_п;и.}, проходит через ось стержня Ох.

Положение силовой линии, представляющей собой след плоскости момента в сечении, будем задавать с помощью угла а, отсчитываемого от оси у к силовой линии против часовой стрелки. Значение угла a = 0° соответствует случаю прямого изгиба. Угловой коэффициент силовой линии равен.

Для наглядности представим изгибающий момент как вектор (см. рис. 5.16), проекции которого на оси у и z равны, соответственно:

Используя принцип независимости действия сил, рассмотрим действие каждой составляющей раздельно. Плоскость действия М_г проходит через главную ось сечения Оу и совпадает с плоскостью хОу. Поэтому для определения соответствующих напряжений можно использовать формулу (5.61):

Отметим, что элементарной площадке с положительной координатой у соответствует сжимающее напряжение.

Вторая составляющая момента М_у вызывает изгиб в плоскости xOz. Значения напряжения могут быть найдены аналогично формуле (5.63) с учетом изменения обозначений:

Отметим, что элементарной площадке с положительной координатой z соответствует сжимающее напряжение.

Полные действующие в сечении напряжения определятся суммированием полученных результатов, где у и z — координаты элементарной площадки, в которой определяются значения напряжений:

Приравняв значение напряжения а_х к нулю, определим геометрическое место точек сечения, лежащих на нейтральной линии:

Отсюда находим уравнение нейтральной линии:

Запишем уравнение нейтральной линии в каноническом для записи уравнения прямой на плоскости виде:

Определим взаимную ориентацию силовой (5.62) и нейтральной (5.67) линий. Поскольку 1_у и 1_г — положительные величины, можем записать следующее условие:

Отсюда можно сделать вывод о том, что нейтральная и силовая линии проходят в разных координатных четвертях (квадрантах). В рассмотрен;

Рис. 5.17. Нейтральная и силовая линии.

ном случае нейтральная линия проходит в первой и третьей, а силовая линия — во второй и четвертой четвертях (рис. 5.17).

В общем случае нейтральная и силовая линии не являются взаимно перпендикулярными, поскольку для этого должно выполняться условие k_{k₂ = -1.

Согласно формуле (5.68) данное условие будет выполнено только при равенстве главных моментов инерции: 1_Ц = /₂.

В гл. 3 было показано, что в таком случае любые две взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, являются главными. К таким сечениям можно отнести сечения, обладающие тремя и более осями симметрии (например, круговые сечения и все правильные плоские многоугольники: равносторонний треугольник, квадрат и т. д.). Для сечений такого вида при любом положении силовой линии при условии прохождения ее через центр тяжести реализуется только прямой изгиб.

При косом изгибе нормальные напряжения в сечении распределены, но линейному закону и достигают максимального значения в точках, наиболее удаленных от нейтральной линии.

В заключение отметим, что в случае изгиба, при котором силовая линия не проходит через центр тяжести сечения, используются более сложные зависимости, о которых будет сказано далее.