Геометрические характеристики плоских фигур

Основные понятия. Статические моменты

В предыдущей главе при расчетах прямого стержня на растяжение-сжатие в качестве геометрической характеристики использовалась только площадь поперечного сечения стержня. Для проведения расчетов при других видах нагружения нам потребуются дополнительные геометрические характеристики поперечного сечения.

Рассмотрим поперечное сечение, представляющее собой произвольную плоскую фигуру в декартовой правосторонней системе координат Оху (рис. 3.1) с началом координат в точке О.

Рис. 3.1. К определению статического момента плоской фигуры.

Интеграл по площади от произведения элементарной площади dA на расстояние до оси Ох

носит название статического момента площади относительно оси Ох.

Рассмотрим изменение статического момента при параллельном переносе осей координат. Для этого используем формулу для статического момента относительно оси 0, м, параллельной оси Ох

С учетом формулы (3.1) получим

Таким образом, при параллельном переносе оси статический момент изменяется на величину, равную произведению площади поперечного сечения на расстояние между осями.

Величина b в формуле (3.2) может принимать как положительное, так и отрицательное значение. Поэтому возможно найти такую ось 0_{и, относительно которой статический момент равен нулю: S_u = 0. Такая ось называется центральной осью, и ее положение определяется с помощью формулы.

Аналогично определяется статический момент относительно оси Оу:

Для определения положения центральной оси, параллельной оси Ог/, получим формулу, подобную (3.3):

Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.

Если известны статические моменты площади сечения относительно координатных осей х и у_у то с помощью формул (3.3) и (3.5) можно определить координаты центра тяжести сечения.

Полезно также научиться определять координату центра тяжести и статические моменты сложной фигуры, состоящей из простых фигур, координаты центров тяжести которых известны.

Рассмотрим фигуру, состоящую из простых фигур (рис. 3.2), для которых известны координаты центров тяжести а_к, Ь_к и площади Л_к.

Определим статический момент и координаты центра тяжести общей составной фигуры. В соответствии с понятием статического момента в формуле (3.1) интегрирование в пределах общей площади представим как сумму интегралов отдельных фигур:

Рис. 3.2. Составная фигура, состоящая из простых фигур.

Общая площадь составной фигуры А равна сумме площадей составляющих фигур:

Координаты центра тяжести составной фигуры определятся с помощью формул (3.3) и (3.5):

Статический момент фигуры является величиной, которая может иметь как положительные, так и отрицательные значения. В частном случае, если сечение имеет ось симметрии, то относительно этой оси статический момент равен нулю и ось проходит через центр тяжести сечения.

В случае существования двух осей симметрии центр тяжести сечения находится в точке пересечения этих осей.

Введем понятие полярного статического момента:

Эта геометрическая характеристика в дальнейшем понадобится для определения предельного момента при кручении стержня, имеющего поперечное сечение круговой формы.