Напряжения при прямом чистом изгибе

Рассмотрим случай чистого прямого изгиба однородного стержня (балки) с постоянным поперечным сечением, обладающим одной осью симметрии — Оу (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Чистый прямой изгиб однородного стержня с постоянным поперечным сечением, обладающим одной осью симметрии

В общем случае при изгибе изначально прямая ось балки изогнется и превратится в пространственную кривую. В рассматриваемом случае плоского изгиба для однородного стержня постоянного поперечного сечения, при условии что изгибающий момент М_изг в пределах некоторого участка dx остается постоянным, ось стержня на этом участке изогнется по дуге окружности. Дугу окружности можно охарактеризовать радиусом кривизны р или обратной к радиусу величиной к, называемой кривизной:

Зная значения кривизны в исходном и деформированном состоянии, можно вычислить изменение кривизны оси стержня:

Поскольку радиус кривизны прямой оси р₀ равен бесконечности (соответственно, к₍₎ = 0), справедливо соотношение.

Используя соотношения (5.1)—(5.3), можно найти величину изгибающего момента в сечении, однако закон распределения напряжений в поперечном сечении остается неизвестным. Для определения закона распределения напряжений используется допущение, которое носит название гипотеза плоских сечений: при изгибе плоские поперечные сечения, нормальные к недеформированной оси бруса, поворачиваются, оставаясь плоскими и нормальными к изогнутой оси бруса.

Рассмотрим элемент балки длиной dx в недеформированном и деформированном (рис. 5.5) состояниях.

Рис. 5.5. Деформированное состояние элемента балки при прямом чистом изгибе.

Согласно гипотезе плоских сечений при изгибе плоские сечения АВ и CD повернутся и займут новые положения А’В' и C’D' соответственно. При этом искривления плоскости сечения, называемого депланацией_у не происходит.

Дополнительно сделаем еще одно допущение, называемое гипотезой о ненадавливании слоев. При изгибе волокна деформируются независимо друг от друга, испытывая только растяжение или сжатие. При этом расстояния между волокнами бруса, расположенными параллельно оси Ох_у не изменяются. Следствием данной гипотезы является допущение о неизменности формы и размеров контура поперечного сечения, носящее название гипотезы жесткого контура.

Полезно разобраться, с какой целью в сопротивлении материалов вводятся вышеизложенные гипотезы. В общем случае при изгибе бруса возникает сложное трехосное напряженно-деформированное состояние, которое анализируется специальными методами в курсе теории упругости. Анализ сводится к решению краевой задачи для системы дифференциальных уравнений в частных производных.

Использование вышеизложенных дополнительных гипотез, объединенных под общим названием гипотезы Эйлера — Бернулли, позволяет свести трехмерную задачу к одномерной задаче и получить практически приемлемые приближенные решения.

Кинематическая часть гипотез Эйлера — Бернулли, названная выше гипотезой плоских сечений, предполагает, что изгиб достаточно длинного и тонкого стержня можно изучать, анализируя форму его изогнутой оси. При этом поведение точек стержня, не принадлежащих оси, регламентируется допущениями плоских сечений и жесткого контура. Образно говоря, анализ сводится к рассмотрению поведения упругой оси балки, на которую нанизаны недеформируемые плоские сечения, которые в процессе изгиба остаются нормальными к оси стержня.

Согласно статической части гипотезы Эйлера — Бернулли, названной гипотезой о ненадавливании слоев, в каждом отдельном волокне возникает одноосное напряженное состояние, для которого можно использовать закон Гука в виде формулы (1.10). При этом величина напряжений в волокне линейно зависит от его удаления от некоторого нейтрального волокна.

Анализируя деформированное состояние элемента (см. рис. 5.5), отмечаем, что волокна бруса в нижней части элемента испытывают растяжение, а в верхней, наоборот, — сжатие.

Промежуточное волокно KL, расположенное на границе растянутых и сжатых областей, останется в нейтральном состоянии, т. е. в результате деформации бруса длина этого волокна не изменится. Слой, в котором расположены такие волокна, называется нейтральным слоем, а линия пересечения этого слоя с поперечным сечением — нейтральной линией в сечении.

Мы доказали факт существования нейтрального слоя в сечении, однако его расположение нам пока неизвестно. Рассмотрим расположенное на расстоянии у от нейтрального слоя волокно NR, которое в результате деформации бруса займет новое положение N’R'.

Начальная длина этого волокна составит

где р есть радиус кривизны нейтрального слоя.

В предположении малости прогибов, что соответствует принципу неизменности начальных размеров, можно использовать приближенные соотношения (lx ~ ds = pdd.

В результате деформации элемента длина волокна NR изменится:

Зная изменение длины, определим линейную деформацию волокна, отстоящего от нейтрального волокна на расстояние у:

Значения нормальных напряжений определим, используя закон Гука для одноосного напряженного состояния:

Знак «минус» в формуле (5.7) означает, что при положительной координате у напряжение направлено против положительного направления оси х

Согласно формулам (5.6) и (5.7) линейные деформации и нормальные напряжения в сечении изменяются по линейному закону и достигают максимальных (по модулю) значений в наиболее удаленных от нейтральной оси волокнах. В волокнах, лежащих на нейтральной оси, нормальные напряжения равны нулю.

При чистом изгибе нормальная сила в сечении равна нулю, отсюда следует следующее уравнение равновесия вдоль оси х (рис. 5.6):

Рис. 5.6. К определению нейтральной оси в сечении.

Поскольку в полученном выражении для N множитель.

приходим к заключению, что нулю должен быть равен интеграл.

имеющий смысл статического момента поперечного сечения относительно горизонтальной оси (в рассматриваемом случае S_z).

Таким образом, мы установили, что нейтральная ось бруса совпадает с одной из центральных осей сечения, проходящих, по определению, через центр тяжести сечения.

Величина изгибающего момента относительно оси у по условиям задачи равна нулю, следовательно:

Приходим к заключению, что величина центробежного момента инерции 1_уг = 0 и оси у и г являются главными осями сечения.

Определим значение изгибающего момента:

Интегральный сомножитель в этой формуле согласно соотношениям (3.9) является центральным осевым моментом инерции /_нзг = 1₂относительно оси z. Тогда.

откуда кривизна деформированного бруса.

Учтем выражение (5.9) в формуле (5.7) и выразим напряжения с помощью изгибающего момента:

Из этой формулы очевидно, что максимальные по абсолютной величине напряжения возникают в волокнах, максимально удаленных от центральной оси z (см. рис. 5.4).

Максимальные по абсолютной величине напряжения согласно выражению (5.10) будут равны.

Знак напряжений определяется знаками момента М_изг и координаты волокна, максимально удаленного от оси 2, — z/_max.

Введем понятие осевого момента сопротивления изгибу W_mr = W₂, определяемого следующим образом:

Тогда согласно соотношениям (5.11) и (5.12) максимальные напряжения можно вычислить по формуле.

В частном случае, когда ось Ог является осью симметрии, максимальные напряжения в растянутых и сжатых волокнах равны друг другу по абсолютной величине.

Согласно методу расчета по допускаемым напряжениям для пластичного материала предельное состояние определится из условия равенства максимальных напряжений, определенных по формуле (5.13), пределу текучести материала. Обозначим предельное значение изгибающего момента, при котором в сечении появляются первые пластические деформации, как М_т:

Моменты сопротивления изгибу для ряда наиболее часто используемых на практике сечений приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Моменты сопротивления изгибу для распространенных на практике сечений

Окончание табл. 5.1