Интеграл Мора. 
Сопротивление материалов и конструкций

Применяя теорему Кастильяно, можно определить перемещение материальной частицы тела, расположенной в точке приложения силы по направлению ее действия. Однако теорема Кастильяно непосредственно не отвечает на вопрос: как определить перемещение материальной частицы тела, расположенной в точке, к которой сила не приложена, или если направление интересующего нас перемещения не совпадает с направлением силы?

Ниже изложен прием, позволяющий приспособить теорему Кастильяно для определения любого перемещения в стержневой конструкции.

Рассмотрим стержень АВС (рис. 6.4) и поставим задачу определить перемещение точки В в направлении прямой т—т.

Рис. 6.4. К выводу интеграла Мора.

Под воздействием системы внешних обобщенных сил в сечениях стержня возникают соответствующие внутренние силовые факторы Т_р М_1/Р М_гР

Np Qyp Qzf.

Предположим, что к стержню в направлении прямой m—m приложена фиктивная единичная сила Ф, такая что Ф = 1. Внутренние силовые факторы, которые могли бы быть ею вызваны, обозначим как T_v M_lfV M_zV N_v Ц_у1, Q_zV

Отметим, что в случае приложения силы Ф, отличной от единицы, величины внутренних силовых факторов изменятся пропорционально величине Ф и составят ФГ_Р ФM_yV ФM_zV <&N_V Ф (2,_/Р Ф ()₂₁.

Рассмотрим одновременное действие на стержень заданной системы внешних сил и фиктивной силы Ф. В предположении справедливости принципа независимости действия сил внутренние силовые факторы определятся следующим образом:

При этом потенциальная энергия деформации стержня будет равна

Для определения перемещения точки В в направлении m—m в соответствии с теоремой Кастильяно возьмем частную производную по Ф от потенциальной энергии (6.31). Полученный при этом результат будет зависеть от величины силы Ф, которая на самом деле отсутствует. Приравнивая значение Ф к нулю, получим искомое перемещение:

Входящие в формулу (6.32) интегралы называются интегралами Мора^[1].

Использование интегралов Мора позволяет определять обобщенное перемещение произвольной точки упругой стержневой системы в любом направлении без предварительного определения потенциальной энергии.

Для этого необходимо выполнить следующие действия.

• 1. Определить выражения внутренних силовых факторов, вызванных действием внешней нагрузки.
• 2. Освободить систему от внешней нагрузки и, приложив в интересующей точке по интересующему направлению обобщенный единичный сило- ¹

вой фактор, определить соответствующие выражения для внутренних силовых факторов от этого единичного фактора.

3. Составить и вычислить интегралы Мора (6.32).

Для найденного перемещения справедливо следующее правило знаков. Если обобщенное перемещение происходит в направлении обобщенной единичной силы, то полученный результат будет положительным. В противном случае направления приложенной единичной силы и перемещения противоположны. Если необходимо определить угол поворота, то в качестве обобщенного единичного силового фактора к системе прикладывается единичный момент.

• [1] Кристиан Отто Mop (Christian Otto Mohr, 1835—1918) — немецкий инженер и ученыйв области теоретической механики и сопротивления материалов. Разработал графический метод анализа напряжений, известный под названием круг Мора. Автор гипотезы, лежащей в основе теории предельных состояний его имени.