Четырехполюсник для амплитудной коррекции

Схема четырехполюсника, осуществляющего амплитудную коррекцию, изображена на рис. 10.12. Корректор нагружен на резистор сопротивлением R, входное сопротивление его также равно R. Сопротивления Z_} и Z₂ взаимно обратны [Z{Z₂ = Я²). Постоянную передачу g = a+jb (см. параграф 4.10) в этом случае определяют по формуле

Рис. 10.12.

Так как | ei^b = 1, то е^а = 11 + Z_x/R . Последняя формула связывает параметры схемы на рис. 10.12 и частоту w с затуханием а. В зависимости от того, что представляет собой сопротивление Z_1? характер зависимости а = /(со) оказывается различным. В качестве примера на рис. 10.13, а—г изображены четыре схемы с различными Z_: и Z₂ и графики соответствующих им зависимостей.

Схему амплитудного корректора выбирают в соответствии с той зависимостью а =/(со), которую необходимо реализовать. Параметры схемы корректора (например, сопротивление Я_1? емкость конденсатора С_г для схемы на рис. 10.13, о) определяют путем совместного решения системы уравнений, полученных приравниванием модуля величины 11 + Z_x/R значению е^а при фиксированной частоте со. Уравнений составляют столько, сколько в Z_x неизвестных параметров. Уравнения имеют вид

Рис. 10.13.

Частоты со_г, со₂, … выбирают для характерных точек зависимости а = /(со) либо через равные интервалы.

Аппроксимация частотных характеристик

Аппроксимация — это приближенная замена заданной частотной зависимости другой частотной зависимостью, которая точно совпадает с заданной в ограниченном числе точек, отклоняется от нее в допустимых пределах вне этих точек, давая в то же время физически реализуемую функцию. Например, кривая |К (/щ) | на рис. 10.14, а — это частотная характеристика идеального фильтра НЧ |1С (/х)| = /(х), где K (jx) — передаточная функция; х = оз/со_с, где оо_с — безразмерная величина, равная частоте среза.

В диапазоне изменения х от 0 до 1 K (jx) = 1; при х > 1 | K (jx) | = 0. Штриховая линия 1 (рис. 10.14, б) повторяет кривую на рис. 10.14, а, кривая 2 характеризует гладкую аппроксимацию, при которой отклонение от кривой Z неодинаково в диапазоне аппроксимации. Кривая 3 иллюстрирует равноволновую аппроксимацию, при которой абсолютные значения максимальных отклонений от средней линии в обе стороны одинаковы. Гладкую аппроксимацию осуществляют обычно полиномами Баттерворта, равноволновую — полиномами Чебышёва. Известны и другие способы аппроксимации [10], у каждого из них имеются свои достоинства и недостатки.

Рис. 10.14.

Гладкая аппроксимация. Применительно к фильтру НЧ аппроксимацию квадрата модуля передаточной функции четырехполюсника осуществляют так:

Принимают, что при х = 1 K (jx) | = 1/V2, откуда т = 1. Полагая р = ;х, найдем полюсы K (jx) ²:

При нечетных п при четных п

Полюсы расположены симметрично по окружности единичного радиуса. Полиномы (р — р₃)… (р — р_п) образуют знаменатель K (jx) и называются полиномами Баттерворта. При составлении их используют значения р, находящиеся в левой полуплоскости. Это обеспечивает физическую осуществимость К (р). Запишем полиномы: при п = 1 —р + 1; при п = 2 — р² + V2p + 1; при п = 3 —р³ + 2р² + 2р + 1.

Задаваясь требуемым затуханием фильтра в децибелах (обычно при х = 2) а = 101 g (.U₁/U₂)², определим п:

Например, при а = 18 дБ п = 18/(201g2) = 2,98 «3. В рассматриваемом примере.

Функцию К (р) реализуют известными методами.

Равноволновая аппроксимация. Полиномы Чебышёва порядка п записывают в тригонометрической форме:

Полагая arccosx = 0 и имея в виду, что.

a sin0 = Vi-*², получим алгебраическую форму записи полиномов: Например, при п = 5 Т₅(х) = 16х² — 20х³ + 5х.

Так, Т_п(х) колеблется от 1 до -1 в интервале х = 0 1 (рис. 10.15, а) и монотонно возрастает при х > 1.

Рис. 10.15.

Квадрат модуля нормированной передаточной функции фильтра НЧ с помощью полиномов Чебышёва аппроксимируют так:

Максимальное отклонение K (jx) от 1 равно у²/2.

При х > 1, т. е. в области затухания фильтра НЧ, у²Г²(х)"1 и.

Примерный вид аппроксимирующей кривой K (jx) показан на рис. 10.15, б.

Для заданного отклонения у и затухания а в децибелах при х = 2а = = 201g | U_l/U₂ = 201g 11/K (j2) | порядок полинома Чебышёва определяют по формуле.

где 1,32 = Arch2.

Например, для у = 0,4 и а = 30 дБ при х = 2 |1С (/х) | = 0,0318;

Принимаем n = 4.

Для составления K (jx) следует определить полюсы K (jx) |, находящиеся в левой полуплоскости. Подставим в K (jx) х = p_k/j и приравняем к нулю знаменатель | i²;

(vA.

При 0 <�х< 1 Т_п(х) = Т_п(р_к /;) = cos narccos— =±j/у.

V J)

Прих>1Т_п(х) = Т_п(р_к / j) = ch n Arch— .

I j J

гг Pk

Так как p_k — комплексное число, то arccos— — тоже комплексное.

j

число, которое положим равным а_к +jfi_k. Тогда Отсюда.

Так как shn| Ф 0, то.

При этом.

Так как то.

Действительные и мнимые части полюсов р_к, лежащих в левой полуплоскости:

Из последней строчки следует, что а% /sh²(3*. +b? /ch²(3_fc =1, т. е. полюсы р_к расположены на эллипсе, одна полуось которого равна sh (3_fc, другая — ch (3_fc.

В рассматриваемом примере при п = 4 и у = 0,4 (3*. = 0,412; sh (3_fc = 0,421; chfi_k = 1,08.

Для построения эллипса чертим две окружности, одну радиусом sh (3_fc, другую радиусом ch (3_fc (рис. 10.16), и через начало координат проводим.

прямые до пересечения с окружностями под углами а_к =(2к + 1)—, где.

2 п

к = 0, 1, …, п. В примере а_к ~ 22,3; 67; 111; 156°.

Рис. 10.16.

Из точек пересечения лучей с окружностью меньшего радиуса проводим вертикали, а из точек пересечения с окружностью большего радиуса — горизонтали. Точки пересечения соответствующих горизонталей и вертикалей на левой полуплоскости дают искомые полюсы. В примере р_{0 3} = -0,164 ±;0,995; ₂ = -0,388 ±;0,416. Нормированная передаточная функция.

По К (р) определяют схему и ее нормированные параметры L_H, С_н. Таблицы полиномов знаменателя нормированного К (р) низкочастотных фильтров, аппроксимированных различными способами, даны, например, в [10]. Для перехода от нормированных к действительным параметрам L, С пользуются соотношениями L = L_H/co_c и С = С_н/со_с.

Какому способу синтеза схемы и какой конкретной схеме следует отдать предпочтение, зависит не только от стоимости и габаритов при практическом осуществлении схемы, но и от того, насколько фазочастотные характеристики получающихся четырехполюсников удовлетворяют поставленной задаче.

В заключение отметим, что нормирование распространяется не только на передаточную функцию четырехполюсника, но и на другие функции, в частности на входное сопротивление или проводимость двухполюсников.

Если аппроксимируют не передаточную функцию, а входное сопротивление (проводимость) некоторого двухполюсника, то оно обычно нормируется не только по частоте со₀, но и по его числовому значению. При нормировании Z (p) по числовому значению входное сопротивление (проводимость) делят на некоторую безразмерную величину R_H. При переходе от схемы, реализующей нормированное сопротивление Z_H (ее параметры R_H, L_H, С_н и частота х), к той же схеме, но с ненормированными параметрами (ее сопротивление Z, а параметры R, L, С), последние определяют, сопоставив почленно одинаковые слагаемые.

Z R jo) L 1 _ _. _ l_f. _л

— = — + -— ±и Z_H = R_H + jxL" +— (х = w/co_n).

Во «о «о JtoCRo jxC»

В результате получим R = R_HR₀; L = L_H(R₀/co₀); С = C_H/(R₀co₀), где w₀ — величина безразмерная.

Вопросы для самопроверки

• 1. Укажите два основных направления развития синтеза электрических цепей.
• 2. Определите задачи синтеза, перечислите условия, которым должны удовлетворять Z (p) физически реализуемых двухполюсников.
• 3. Поясните идею реализации двухполюсников лестничной схемой. Покажите, как следует упорядоченно определять ее элементы. Любое ли Zip) может быть реализовано лестничной схемой?
• 4. Как осуществить реализацию путем последовательного выделения простейших составляющих?
• 5. Нарисуйте две канонические схемы двухполюсников, отображающие идеи реализации методом выделения простейших составляющих.
• 6. В чем идея реализации методом Вруне?
• 7. Какой четырехполюсник называют минимально-фазовым?
• 8. Сформулируйте, какие типы задач возникают при синтезе четырехполюсников.
• 9. Поясните этапы вывода формулы (10.17) для схемы на рис. 10.9, а.
• 10. Определите Kip) четырехполюсника на рис. 10.9, а, если в четырехполюснике Z_l (рис. 10.9, б) последовательно соединены R_b С_г и L_b а второй четырехполюсник оставлен без изменений.
• 11. Начертите схему четырехполюсника для фазовой коррекции и поясните, как определить ее элементы, если известна зависимость ф (со).
• 12. Изобразите схему амплитудного корректора и расскажите, как определить ее элементы, если известна зависимость, а (со).
• 13. В чем состоит задача аппроксимации и как она решается?
• 14. Поясните идею составления Kip) четырехполюсника, если в основу положена: а) гладкая аппроксимация; б) равноволновая аппроксимация.
• 15. Как от нормированных параметров перейти к ненормированным, задавшись некоторыми R₀ и со₀?
• 16. Решите задачи 12.3; 12.6; 12.10; 12.7; 12.14; 12.17; 12.28.