Теорема об эквивалентном источнике

Рассмотрим линейную электрическую цепь, которая наряду с идеализированными пассивными элементами содержит управляемые и неуправляемые источники тока и напряжения. Выделим в этой цепи произвольную ветвь а — а' (рис. 4.17, а), а остальную часть цепи, к которой подключена эта ветвь, представим в виде автономного двухполюсника АД.

В соответствии с теоремой об эквивалентном источнике ток произвольной ветви линейной электрической цепи не изменится, если автономный двухполюсник, к которому подключена данная ветвь, заменять эквивалентным линеаризованным источником, который может быть представлен последовательной или параллельной схемой замещения.

ЭДС источника напряжения Ё_эк в последовательной схеме замещения (рис. 4.17, б) равна напряжению холостого хо-

Рис. 4.17. Теорема об эквивалентном источнике.

да автономного двухполюсника, а внутреннее сопротивление Z_)K равно его комплексному_в входному сопротивлению. Ток идеального источника тока /_эк в параллельной схеме замещения (рис. 4.17, в) равен току короткого замыкания автономного двухполюсника у, а внутренняя проводимость У_эк — его комплексной входной проводимости.

Теорему об эквивалентном источнике часто называют теоремой Гельмгольца, теоремой Тевенена (применительно к схеме замещения с источником напряжения) или теоремой Нортона (применительно к схеме замещения с источником тока).

Для доказательства теоремы введем в выделенную ветвь а — я’два вспомогательных независимых источника напряжения ЕИ Ё‘2, ЭДС которых равны по абсолютному значению, но противоположны по знаку (рис. 4.18, а). Очевидно, что введение двух скомпенсированных источников ЭДС не нарушает режима работы цени, поэтому ток ветви а — а' преобразованной цепи равен току 1_а исходной цепи (см. рис. 4.17, а). Используя принцип наложения, представим ток рассматриваемой ветви преобразованной цепи в виде суммы двух составляющих 1_а = + ljf где 1_а — частичный ток а-й ветви, создаваемый действием независимого источника Ё и всех независимых источников, входящих в состав автономного.

Рис. 4.18. К доказательству теоремы об эквивалентном источнике:

АД — автономный двухполюсник; НД — неавтономный двухполюсник двухполюсника АД; I^ — частичный ток a-и ветви, вызываемый действием независимого источника напряжения Ё₂ (рис. 4.18, б, в).

Из эквивалентной схемы, изображенной па рис. 4.18, б, очевидно, что.

где — напряжение на зажимах а — а' автономного двухполюсника в режиме, когда отдаваемый им ток равен 1^ До сих пор не накладывалось никаких ограничений на ЭДС вспомогательных источников напряжения. Выберем теперь Ё = Ё₂ таким образом, чтобы = 0. Очевидно, что в этом случае напряжение па внешних зажимах АД будет равно напряжению холостого хода автономного двухполюсника 0_Х.

Согласно выражению (4.27) ЭДС, при которой частичный ток а-й ветви 1^ = 0,.

Таким образом, если ЭДС вспомогательных источников выбрать равными напряжению холостого хода автономного двухполюсника U_x, то ток ветви 1_а будет равен частичному току создаваемому действием источника напряжения ?₂ при выключении независимых источников, входящих в состав автономного двухполюсника, и выключении источника напряжения Ё_{

Используя эквивалентную схему для определения частичного тока 1^ находим.

где Z_aa — комплексное входное сопротивление исходного автономного двухполюсника, равное комплексному входному сопротивлению приведенного на рис. 4.18, в неавтономного двухполюсника НД. Как следует из выражения (4.29), ток а-й ветви исходной цепи (см. рис. 4.17, а) равен току некоторой цепи, содержащей помимо сопротивления Z, источник напряжения Ё_:ж= U и комплексное сопротивление Z_3K = Z_aa (см. рис. 4.17, б). Итак, ток выделенной ветви 1_а не изменился при замене автономного двухполюсника эквивалентным источником энергии, ЭДС которого равна напряжению холостого хода автономного двухполюсника, а внутреннее сопротивление — его комплексному входному сопротивлению.

Переходя от последовательной схемы замещения эквивалентного источника к параллельной, можно показать, что ток J_ж независимого источника тока (см. рис. 4.17, в) равен току короткого замыкания автономного двухполюсника, а внутренняя проводимость У_эк — его комплексной входной проводимости Y_aa = i/Z_aa.

Воспользовавшись теоремой об эквивалентном источнике, можно найти последовательную или параллельную схему замещения любого сколь угодно сложного линейного активного двухполюсника, поэтому данную теорему часто называют теоремой об активном двухполюснике. Эта теорема позволяет существенно упростить анализ цепей, особенно в тех случаях, когда требуется определить ток или напряжение только одной ветви сложной цепи, содержащей большое число управляемых и неуправляемых источников тока и напряжения. В связи с тем, что параметры элементов последовательной и параллельной схем замещения активного двухполюсника легко поддаются измерениям, выполняемым на внешних зажимах, теорему об эквивалентном источнике применяют и для построения схем замещения активных двухполюсников по результатам их экспериментального исследования.

Пример 4.15. Используя теорему об эквивалентном источнике, определим ток /₆ цепи, комплексная схема замещения которой приведена на рис. 4.2, а.

Выделим из цепи ветвь, содержащую сопротивление Z₆, и представим оставшуюся часть цепи, которую можно рассматривать как автономный двухполюсник, последовательной схемой замещения (рис. 4.19, а). ЭДС источника напряжения Е_ж определяется как напряжение холостого хода на зажимах автономного двухполюсника, схема которого приведена на рис. 4.19, &.

Рис. 4.19. К примеру 4.15.

Внутреннее сопротивление эквивалентного источника равно входному сопротивлению неавтономного двухполюсника (рис. 4.19, в):

Зная параметры элементов Z_3K и преобразованной схемы цепи (см. рис. 4.19, а), находим искомый ток:

Вопросы для самопроверки.

• 1. Сформулируйте основные теоремы теории цепей.
• 2. Для каких цепей применима каждая из теорем?
• 3. Что такое частичный ток?
• 4. В каком случае при определении частичного тока в цепи остаются включенными два или более источника тока или напряжения?
• 5. Для всех ли линейных цепей справедлива теорема взаимности?
• 6. Можно ли распространить теоремы взаимности и компенсации на нелинейные цени?
• 7. Для чего служит пробный источник?
• 8. В чем состоит отличие неавтономного двухполюсника от пассивного?
• 9. Какие двухполюсники называются автономными?
• 10. В каких случаях отношение комплексных амплитуд входных напряжения и тока не является входным комплексным сопротивлением двухполюсника?
• 11. Как применяются основные теоремы теории цепей для анализа цепей?