Примеры решения задач

Пример 14.1. Резервуар, состоящий из сферической, цилиндрической и конической оболочек, нагружен внутренним давлением р = 0,5 МПа (рис. 14.11).

Рис. 14.11. Резервуар, нагруженный внутренним давлением, к примеру 14.1

Радиус цилиндрической части резервуара и сферического днища R = 400 мм. Коническая оболочка имеет угол при вершине 0_О = 45°. Толщина стенки h = 3 мм. Предел текучести материала а_т = 200 МПа. Определим коэффициент запаса по текучести. Расчет проведем без учета изгибных напряжений, возникающих в зоне сопряжения оболочек.

Решение. 1. Сферическая часть резервуара. Отсечем нормальным коническим сечением часть сферической оболочки (рис. 14.12, а) и рассмотрим уравнение равновесия. Осевая составляющая внешних сил, действующих на отсеченную часть оболочки, равна

Рис. 14.12. Отдельные части резервуара к примеру 14.1

Меридиональное напряжение а_т в сечении определяется из равенства нулю суммы проекций всех сил на ось вращения оболочки:

откуда.

Главные радиусы кривизны для сферы равны р", = р, = R.

Используя уравнение Лапласа, определяем окружное напряжение а:

2. Цилиндрическая часть резервуара.

Рассекаем цилиндрическую поверхность плоскостью, нормальной к оси резервуара, и рассматриваем равновесие отсеченной части (рис. 14.12, б). В сечении действуют меридиональные напряжения о_т, величину которых находим из уравнения равновесия отсеченной части относительно оси вращения:

Окружное напряжение определяется из уравнения Лапласа (для цилиндра радиус кривизны меридиана р_т = оо, радиус р₍₁ = R):

3. Коническая часть резервуара.

На расстоянии г от вершины конуса рассекаем оболочку нормальным коническим сечением (рис. 14.12, в). Радиус г окружности, полученный сечением срединной поверхности оболочки плоскостью, нормальной к оси симметрии, зависит от координаты z:

Радиусы главных кривизн составят.

Из уравнения равновесия отсеченной части оболочки.

находим.

Уравнение Лапласа позволяет определить окружное напряжение а/.

На рис. 14.13 приведены эпюры напряжений с учетом равенства 0₍₎ = 45°. Наибольшие напряжения возникают в точке, принадлежащей конической оболочке, при z = Н:

Рис. 14.13. Эпюры распределения напряжений к примеру 14.1.

Напряженное состояние двухосное. По энергетической теории начала текучести эквивалентное напряжение составит.

Коэф (|)ициент запаса, но текучести составит.

В местах сопряжения оболочки возникает изгиб стенки вследствие несоответствия окружных деформаций составных частей оболочки. При пластичном материале и статическом характере нагружения этот изгиб не имеет существенного значения, и его можно не учитывать.

Пример 14.2. Определим напряжения и перемещения точек срединной поверхности оболочки постоянной толщины А, имеющей форму полусферы с радиусом R (рис. 14.14, а). Оболочка свободно подвешена за верхний край и заполнена жидкостью с удельным весом у.

Рис. 14.14. Сферическая оболочка, наполненная с жидкостью,

к примеру 14.2

Решение. Рассмотрим часть оболочки, отсеченную нормальным коническим сечением, проходящим через произвольную точку М (рис. 14.14, б). Па отсеченную часть действуют вес жидкости в объеме сегмента и сила давления вышсрасположенных слоев жидкости.

Отметим, что радиус окружности текущего сечения составит г = Rsin 0; высота сегмента Н = R ( 1 — cos0).

Для вычисления объема сегмента имеется точная формула.

но можно и, оставаясь в рамках инженерной точности решения, воспользоваться приближенным выражением

Вес жидкости в объеме сегмента VI будет равен.

Сила давления со стороны жидкости на границу раздела составит pnr² = ул/teos 0rc/?²sin²0 = y^i?³sin²0cos0, где р = y/fcos0; г = Z^sin 0.

Сложив эти две силы, получим равнодействующую силу всех внешних нагрузок, зависящую от текущего угла 0:

Составим уравнение равновесия на ось оболочки:

и определим величину меридионального напряжения:

Учитывая, что для сферической оболочки р_от = р_;;} = R и давление жидкости на глубине Н составляет р = уН = y/fcos 0, из уравнения Лапласа найдем.

Если перейти от переменной 0 к переменной z (0 < z < R), то получим следующие зависимости для напряжений:

Эпюры распределения напряжений по высоте оболочки приведены на рис. 14.14, в. Отметим, что вследствие использования приближенной формулы для определения объема сегмента напряжения линейно зависят от высоты столба жидкости. При использовании точной зависимости возникает небольшая нелинейность, однако характерные значения напряжений при z = Qnz = Rne изменяются.

Для обеспечения безмоментного состояния необходимо, чтобы верхний край полусферы мог свободно перемещаться в радиальном направлении. Вычислим изменение радиуса окружности верхнего края полусферы:

Знак «минус» означает, что радиус окружности верхнего края оболочки уменьшается.

Пример 14.3. Дана тонкостенная цилиндрическая оболочка с жесткими днищами, нагруженная внутренним давлением (рис. 14.15). Заданные параметры соответ;

Рис. 14.15. К примеру 14.3.

ствуют следующим величинам: радиус оболочки R = 100 мм; длина оболочки / = = 400 мм; толщина оболочки h = 5 мм; давление р = 5 МПа; модуль упругости Е = = 2−10 ' МПа; коэффициент Пуассона v = 0,3; предел текучести материала а_г = 300 МПа. Требуется провести расчет оболочки па прочность и жесткость.

Решение. Подсчитаем вспомогательные величины:

Поскольку 1> Г, то согласно формуле (14.42) оболочку можно считать длинной. Используя соотношение (14.33), определяем частное решение w':

Общее решение запишется и виде.

Константы А и у определяем из граничных условий:

1) х = 0, со = 0;

dw

2) х= 0, — = 0.

ах

Из второго граничного условия следует:

Зя откуда vp = —.

Подставляя найденное значение в первое граничное условие, находим.

Окончательно выражение для прогиба приобретает вид.

График прогиба показан сплошной линией 4 на рис. 14.16.

Пунктирная линия 1 соответствует второму постоянному слагаемому в выражении прогиба и представляет собой решение по безмоментной теории. Рассмотрим графическое представление первого слагаемого в выражении прогиба (кривая 3). Если кривая 2 представляет собой косинусоиду, домноженную на 0,06 мм и сдвиЗя нутую по оси абсцисс на —, то кривая 3 соответствует этой же косинусоиде, дополнительно домноженной на убывающую экспоненциальную функцию е ^(tr. Для определения характерных точек графика прогиба полезно составит!, таблицу:

Рг/с. 74.76. Графики прогиба вдоль оси оболочки к примеру 14.3

Анализируя кривую 4, видим, что уже на достаточно малом расстоянии от днища (—50 мм) первое слагаемое быстро уменьшается и суммарный прогиб изменяет свою величину от 0 мм в месте сопряжения с жестким днищем до значения 0,0425 мм, соответствующего решению по безмоментной теории оболочек.

Используя формулы (14.45) и (14.46), получаем выражения для угла поворота 0, интенсивности изгибающего момента М_х и интенсивности перерезывающего усилия Q

Графики изменения найденных величин вдоль оси оболочки представлены на рис. 14.17.

Рис. 14.17. Графики изменения угла поворота, интенсивности изгибающего момента и интенсивности перерезывающей силы вдоль оси оболочки (за единицу для 0, М_хи Q приняты значения: 4,88−10 ³ рад, 908 Н, 73,9 Н/мм соответственно).

Подсчитаем максимальные значения силовых факторов, возникающие у днища.

(х = 0):

Величины напряжений в наиболее опасной точке конструкции (точка Л) составят.

Эквивалентное напряжение в наиболее опасной точке Л, подсчитанное по энергетической теории начала текучести, составит

Коэффициент запаса по текучести равен.