Цикл Карно. 
Теорема Карно

В 1824 г. французский инженер С. Карно опубликовал работу «Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу», в которой были заложены основы теории тепловых двигателей. В этой работе Карно рассмотрел цикл, имеющий особое значение для термодинамики.

Рис. 1.6. Цикл Карно в координатах р— V.

Цикл Карно осуществляется рабочим телом между двумя источниками, горячим и холодным (рис. 1.6). Рабочим телом является газ, цикл является обратимым.

К рабочему телу на участке 1—2 подводится тепло от источника Т_н > > Г|. При этом газ расширяется от V_x до V₂ изотермически, совершая работу.

Уменьшение энергии газа при совершении работы компенсируется подводом энергии в форме теплоты. Изменение энтропии рабочего тела на этом участке равно А512 = Q, / 7,.

На участке 2—3 газ адиабатически расширяется. При этом работа совершается за счет внутренней энергии газа, и его температура понижается. Изменение энтропии Д523 = 0.

На участке 3—4 рабочее тело сжимается, а теплота, которая выделяется при сжатии, отводится холодному источнику с температурой Т_с < Т₂. Это процесс протекает изотермически при температуре Т₂. Изменение энтропии рабочего тела на этом участке равно Д5₃₄ = Q₂ /Т₂.

Наконец, в процессе 4—1 происходит адиабатическое сжатие газа. Изменение энтропии AS, =0. Таким образом, цикл замыкается. Суммарное изменение энтропии цикла равно нулю, поскольку система вернулась в исходное состояние.

7 2 Са поэтому — ;

‘ г, <2.

Цикл Карно состоит из двух изотерм и двух адиабат. Работа расширения графически равна площади под линией 1—2—3, работа сжатия равна площади под линией 3—4—1. Полезная работа цикла равна площади фигуры 1—2—3—4—1.

Поскольку Т_Н>Т_Х и Т_с < Т₂, изотермические процессы необратимы. Однако их можно приближенно считать обратимыми, если разности температур источников теплоты и рабочего тела очень малы:

В соответствии с приведенным ранее определением термический КПД обратимого цикла Карно равен.

т.е. КПД тем выше, чем больше разница температур горячего и холодного источников Ти — Тс.

КПД стремится к единице в двух случаях, когда Т_н стремится в бесконечность и когда Т_с стремится к нулю.

Зададим теперь вопрос, зависит ли КПД цикла Карно от сорта рабочего тела? Допустим, что зависит. Тогда можно создать установку, состоящую из двух машин, в которых используются разные рабочие тела. При этом КПД одной машины больше КПД другой. В этом случае работу установки можно организовать так, чтобы машина с большим КПД приводила в действие машину с меньшим КПД, а машина с меньшим КПД передавала бы тепло от холодного источника к горячему. Итогом работы такой установки является самопроизвольный перенос теплоты от холодного тела к горячему, что противоречит второму закону термодинамики. Итак, мы доказали от противного так называемую теорему Карно: термический КПД обратимого цикла, который осуществляется между двумя источниками теплоты, не зависит от свойств рабочего тела, используемого в цикле.

Таким образом, термический КПД любого обратимого цикла Карно определяется отношением температур горячего и холодного источников теплоты.

Рис. 1.7. К доказательству теоремы Карно.

Рассмотрим пример, иллюстрирующий сказанное. На рис. 1.7, а приведена схема тепловой машины, которая приводит в действие холодильную машину, причем температуры горячего и холодного источников обеих машин одинаковы. Тепловая машина получает тепловую энергия от горячего источника, часть этой энергии превращается в работу, а остальная энергия передается холодному источнику. Тепловая машина, совершая работу, приводит в действие холодильную машину, которая передает часть тепловой энергии от холодного источника теплоты горячему. Допустим, что термический КПД тепловой машины 0,75, а термический КПД холодильной машины — 0,5. Тогда, как видно из рис. 1.7, б, суммарный результат работы двух машин сводится к передаче тепловой энергии от холодного тела к горячему, что невозможно.

Проследим логику Р. Клаузиуса, который первый ввел понятие энтропии. Клаузиус использовал для анализа цикл Карно, однако он, в отличие от Карно, уже был знаком с законом сохранения энергии.

Предположим, что рабочим телом является идеальный газ с постоянной теплоемкостью. Для адиабаты 2—3 справедливо соотношение.

для адиабаты 1 —4 —.

таким образом,.

Для изотермического процесса dQ-pdV, поэтому Поделив одно равенство на другое, получим.

Рис. 1.8. Цикл Карно с тремя адиабатами.

Если учесть знаки теплоты, то.

Рассмотрим более сложный процесс, состоящий из трех изотерм и трех адиабат (рис. 1.8). На участке а—Ь к системе подводится тепловая энергия Qj при температуре Г_1? на участке c—d подводится тепловая энергия Q₂ при температуре Т₂, а на участке e—f система отдает тепловую энергию Q3 при температуре Т₃. Здесь а—Ь, c—d и e—f — изотермы, Ъ—с, d—e, f—a — адиабаты. Площадь цикла можно разделить на участки a—b—c—g—f—a и c—d—e—g—c, для которых справедливо.

где Q₃₁ — количество теплоты, которая отводится от системы на участке /— g; Q32 — количество теплоты, которая отводится от системы на участке е— g. Суммируя равенства, получим.

или В общем случае, для цикла, состоящего из N изотерм и адиабат, сира;

N ДО dQ

ведливо — = 0 или, переходя к пределу при N —" (c)о, -= 0 (рис. 1.9).

i=1 Ъ Т

Рис. 1.9. Представление произвольного цикла совокупностью циклов Карно.

Таким образом, для произвольного цикла интеграл по замкнутому контуру равен нулю, значение данного интеграла не зависит от пути интегрирования, а значит, отношение является полным дифференциалом некоторой величины, которая зависит лишь от данного состояния системы и не зависит от пути, по которому система пришла в это состояние. Клаузиус предложил назвать эту величину энтропией:

Данный анализ проведен с использованием модели идеального газа с постоянным коэффициентом теплоемкости. Однако, поскольку в цикле О Т

Карно равенство —- = — не зависит от свойств рабочего тела, этот анализ.

0,2 т₂

можно распространить на любой обратимый термодинамический процесс.

Обратимым можно представить любой цикл. Необходимым условием обратимости является бесконечно малая разность температур между рабочим телом и источниками теплоты в процессе теплообмена. При этом, если процессы теплообмена происходят неизотермично, т. е. если температура рабочего тела меняется в процессе подвода или отвода теплоты, то в теории вводится понятие о бесконечно большом числе источников теплоты с разной температурой. С использованием этого массива источников теплоты любой обратимый цикл произвольной конфигурации можно представить в виде совокупности элементарных циклов Карно (см. рис. 1.9). В каждом элементарном цикле подвод и отвод тепла осуществляется изотермично. Совокупность элементарных циклов Карно эквивалентна первоначальному произвольному обратимому циклу, поскольку теплообмен осуществляется в изотермических условиях, а внутренние адиабатные процессы взаимно компенсируются.

Сравним теперь значения термического КПД обратимого и необратимого циклов Карно для идеального газа, которые осуществляются с одними и теми же источниками теплоты с температурами Т_н и Т_с. Будем предполагать, что необратимость обусловлена только процессами теплообмена.

КПД обратимого цикла Карно (ОЦК).

Для необратимого цикла Карно разности между температурой источников теплоты и температурой рабочего тела имеют конечное значение.

КПД необратимого цикла Карно (НЦК).

Нетрудно проверить, что г|°П^к >Г|^НЦК, г. е. термический КПД обратимого цикла Карно больше, чем КПД необратимого цикла Карно. Отметим также, что мы учли только необратимость, обусловленную конечной разностью температур между рабочим телом и источниками теплоты. Однако имеются и другие факторы, обусловливающие внутреннюю необратимость процессов: трение, химическая неравновесность и т. д. В результате реальная полезная работа цикла будет еще меньше, соответственно уменьшится и КПД.

Обратимый цикл Карно построен очень экономно, поскольку для его осуществления нужно располагать лишь двумя источниками теплоты.

Строго говоря, С. Карно в своей работе не привел графика «цикла Карно». Этот цикл был сконструирован Э. Клапейроном в 1834 г. уже после смерти Карно, который предположил, что цикл тепловой машины, описанной Карно, должен состоять из двух изотерм и двух адиабат.

Любопытно, что свой анализ С. Карно осуществил с использованием концепции теплорода. Карно хорошо разбирался в принципах работы водяных колес и знал, что величина работы, совершаемой потоком воды, зависит от скорости потока, которая обусловлена величиной перепада уровней. Он знал также, что вода на выходе колеса не может иметь нулевую скорость. Идею Карно о необходимости двух источников теплоты можно проиллюстрировать примером (рис. 1.10). Пусть есть водяная мельница, приводимая в действие потоком воды. Очевидно, для того чтобы колесо вращалось, нужен поток воды, причем движение потока обусловлено перепадом высот на входе и выходе колеса мельницы. Если потока нет, колесо вращаться не будет. Аналогичным образом, тепловая машина не может работать, если нет потока теплоты.

Рис. 1.10. Работа водяной мельницы.

Рис. 1.11. Работа тепловой машины.

В качестве движущей силы пара по Карно можно рассматривать степень его нагрева.

Использование концепции теплорода помогло Карно постулировать невозможность использования всей энергии пара. Так же, как и вода на выходе колеса должна иметь запас кинетической энергии, теплород на выходе тепловой машины должен обладать запасом тепловой энергии. Поскольку во времена Карно закон сохранения энергии был неизвестен, он предполагал, что теплород подобно воде «падает» с одного уровня на другой, по пути производя работу. При этом предполагалось, что количество теплорода (теплоты) остается неизменным (аналогия с водяным колесом) (рис. 1.11).