Анализ размерностей. 
Моделирование явлений в гидрогазодинамике

Иногда приходится изучать процессы, которые еще не описаны дифференциальными уравнениями. Единственный путь изучения — эксперимент. Результаты эксперимента целесообразно представлять в обобщенной форме, но для этого нужно уметь находить безразмерные комплексы, характерные для такого процесса.

Анализ размерностей — это метод составления безразмерных комплексов в условиях, когда изучаемый процесс еще не описан дифференциальными уравнениями.

Все физические величины можно разделить на первичные и вторичные. Для процессов теплообмена за первичные обычно выбирают следующие: длину L, массу m, время t, количество теплоты Q избыточную температуру. Тогда вторичными будут такие величины, как коэффициент теплоотдачи температуропроводность a и т. п.

Формулы размерности вторичных величин имеют вид степенных одночленов. Например, формула размерности для коэффициента теплоотдачи имеет вид.

(9.5).

где Qколичество теплоты.

Пусть известны все физические величины, существенные для изучаемого процесса. Требуется найти безразмерные комплексы.

Составим произведение из формул размерностей всех существенных для процесса физических величин в некоторых неопределенных пока степенях; очевидно, оно будет степенным одночленом (для процесса). Предположим, что его размерность (степенного одночлена) равна нулю, т. е. показатели степеней первичных величин, входящих в формулу размерностей, сократились, тогда степенной одночлен (для процесса) можно представить в форме произведения безразмерных комплексов из размерных величин. Значит, если составить произведение из формул размерностей, существенных для процессов физических величин в неопределенных степенях, то из условия равенства нулю суммы показателей степеней первичных величин этого степенного одночлена можно определить искомые безразмерные комплексы.

Покажем эту операцию на примере периодического процесса теплопроводности в твердом теле, омываемом жидким теплоносителем. Будем считать, что дифференциальные уравнения для рассматриваемого процесса неизвестны. Требуется найти безразмерные комплексы.

Существенными физическими величинами для изучаемого процесса будут следующие: характерный размер l (м), теплопроводность твердого тела, (Дж/(м К)), удельная теплоемкость твердого тела с (Дж/(кг К)), плотность твердого тела (кг/м3), коэффициент теплообмена (теплоотдачи) (Дж/м2 К)), время периода, ©, характерная избыточная температура (К). Составим из этих величин степенной одночлен вида.

(9.6).

Показатель степени при первичной величине называется размерностью вторичной величины по отношению к данной первичной.

Заменим в физические величины (кроме Q) их формулами размерности, в результате получим.

(9.7).

В данном случае показатели степени имеют значения, при которых Q выпадает из уравнения.

Приравняем нулю показатели степеней одночлена:

для длины.

a — b — 3i — 2k = 0; (9.8).

для количества теплоты Q.

0; (9.9).

для времени.

= 0; (9.10).

для температуры.

0; (9.11).

для массы m.

0. (9.12).

Всего существенных величин семь, уравнений для определения показателей пять, значит, только два показателя, например, b и k могут быть выбраны произвольно.

Выразим все показатели степеней через b и k. В результате получим:

из (8.8), (8.9), (8.12).

(9.13).

из (8.9).

f = -b — k; (9.14).

из (3).

r=b + k; (9.15).

из (8.11) и (8.9).

n = b + f + k = b + (-b — k) + k = 0; (9.16).

из (8.12) и (8.9).

i = f = -bk. (9.17).

Теперь одночлен можно представить в форме.

(9.18).

Так как показатели b и k могут быть выбраны произвольно, положим:

1. при этом запишем.

(9.19).

откуда.

(9.20).

обозначим.

2. b = 0, k = 1, при этом запишем.

(9.21).

обозначим.

(9.22).

Найдем отношение.

(9.23).

Итак, методом анализа размерностей найдены безразмерные комплексы. В рассматриваемом случае ими оказались числа подобия Фурье и Био ю Введем безразмерные — искомую переменную и независимую переменную (одномерный случай). Тогда искомую обобщенную зависимость можно представить в форме.

. (9.24).

Правильность полученного результата подтверждает так называемая теорема Бэкингема, которая формируется так: число безразмерных комплексов равно числу физических величин, существенных для процесса, минус. число первичных величин.