Граничные условия на поверхности раздела двух сред с различными магнитными проницаемостями

Если линии магнитной индукции пересекают поверхность раздела двух участков магнитной цепи, имеющих различные магнитные проницаемости, под некоторым углом к нормали к этой поверхности, то на поверхности раздела линии магнитной индукции изменяют свое направление. Установим общие условия, которым подчиняются составляющие векторов магнитной индукции и напряженности поля на границе двух сред с различными абсолютными магнитными проницаемостями ц_а и р₂.

Примем, что обе среды являются однородными и изотропными. Пусть 0j и 0₂ — углы между направлением линии магнитной индукции и направлением нормали к поверхности раздела в первой и во второй среде (рис. 4.3, а). Составим линейный интеграл вектора Я по контуру abcda, стороны которого ab и cd лежат в разных средах бесконечно близко к поверхности раздела. Имеем.

так как сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования, не проходит электрический ток. Принимая во внимание, что ab = cd, получаем Hjsin 0j = H₂sin 0₂, т. е. на поверхности раздела равны касательные составляющие вектора Я.

Представим себе замкнутую поверхность, образованную двумя плоскими поверхностями s_a и s₂, следы которых в плоскости рисунка суть линии ab и cd, и цилиндрической поверхностью, пересекающейся с плоскостью рисунка по линиям Ъс и ad. Магнитный поток сквозь эту поверхность равен нулю. Следовательно,.

Приняв во внимание, что Sj = s₂, определяем B^osGj =В₂ cos0₂, т. е. на поверхности раздела двух сред равны нормальные составляющие вектора В.

Из условий на поверхности раздела для векторов Я и В имеем.

Рассмотрим распределение магнитного поля в воздухе около поверхности стальных частей машин, трансформаторов, электромагнитов и других электротехнических устройств. Магнитные проницаемости ферромагнитной среды и воздуха значительно разнятся между собой. Для воздуха практически р₂ = р₀. Пусть для ферромагнитной среды.

|Л_Х = 1000р₀. В этом случае имеем tg 0j = lOOOtg 0₂. Если линии магнитной индукции внутри ферромагнитной среды (рис. 3.5, б) составляют с нормалью угол 0, = 89°, то соответствующий угол в воздухе оказывается равным 0₂ ~ 3°20'. Поэтому во всех случаях, когда магнитное поле создается токами, протекающими по проводникам, расположенным в воздухе, практически можно принять 0₂ = 0, т. е. считать, что линии магнитной индукции в воздухе нормальны к поверхностям тел из ферромагнитных материалов.

Рис. 3.5. Граничные условия:

а — разные среды; б — граница «железо — воздух».

Пусть около бесконечной плоскости, ограничивающей ферромагнитную среду, для которой примем р = оо, расположен в воздухе параллельно плоскости провод с током i (рис. 3.6). Поверхность ферромагнитной среды является поверхностью равного магнитного потенциала, так как линии напряженности поля в воздухе к ней перпендикулярны.

Удалим мысленно ферромагнитную среду, заменив ее током ?', являющимся зеркальным изображением в поверхности раздела действительного тока ?. Ток ?' примем равным току? и имеющим то же направление.

Средняя плоскость между действительным током и его зеркальным изображением, совпадающая с поверхностью раздела в действительной задаче, является плоскостью равного магнитного потенциала. Это вытекает хотя бы из того, что линии магнитной индукции, охватывающие оба тока, должны расположиться симметрично относительно этой плоскости. Такое возможно, если они пересекают ее под прямым углом. Итак, после замены ферромагнитной среды током ?' условия на граничной плоскости не изменились. Остался без изменения и ток? в области действительного поля, поэтому мы можем сделать следующий вывод: поле прямолинейного тока ?, проходящего в воздухе параллельно плоской поверхности массивного тела из ферромагнитного материала, совпадает в воздухе с полем, которое образуется двумя токами: действительным током? и его зеркальным изображением ?' =? у поверхности тела при удаленной ферромагнитной среде.