Гипотезы прочности и пластичности

Как известно, при одноосном растяжении (сжатии) условие прочности записывается следующим образом:

где [а] = а /м — допускаемое напряжение; п — коэффициент запаса прочности; ст_|1рсд = ст_т для пластичных и а_||рсд = ст" для хрупких материалов.

Для оценки прочности при сложном напряженном состоянии (см. рис. 1.3), вообще говоря, величины предельных напряжений также следует устанавливать экспериментально. При этом образец необходимо нагружать, поддерживая в процессе испытания соотношения между тремя нормальными напряжениями, аналогичные тем, которые были в рассматриваемой точке рассчитываемой модели (тела).

Однако такой способ определения предельного напряжения оказывается практически неприемлемым из-за большого количества возможных соотношений между тремя главными напряжениями.

Поэтому идут по другому пути, условно заменяя сложное напряженное состояние (рис. 2.6, а) эквивалентным ему по прочности одноосным растяжением (рис. 2.6, б).

о б.

Рис. 2.6

Эта замена осуществляется с помощью определенных предположений (гипотез) прочности.

Итак, гипотезами прочности называют предположения, на основе которых устанавливаются условия равнопрочное™ сложнонапряженного элемента и элемента, испытывающего одноосное растяжение.

Прочность эквивалентного элемента в свою очередь оценивается с помощью известного условия ст_экв < [ст].

Таким образом, гипотезы прочности дают возможность оценить прочность сложнонапряженного элемента конструкции, располагая знанием предельного напряжения, установленного из эксперимента на одноосное растяжение.

В настоящее время существует довольно много различных гипотез прочности, отражающих особенности механических свойств материалов, характера нагружений и условий работы конструкций.

Остановимся на первых четырех гипотезах, которые называют классическими.

1. Гипотеза наибольших нормальных напряжений. Суть этой гипотезы сводится к следующему утверждению: разрушение материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине нормальное напряжение достигает предельного значения.

Таким образом, по этой гипотезе условие равнопрочности сложнонапряженного и эквивалентного элементов (см. рис. 2.6) записывается в следующем виде:

где |oJ52j — наибольшее по абсолютной величине главное напряжение при сложном напряженном состоянии, которым может быть либо а, либо ст₃.

Для материалов, разно сопротивляющихся растяжению и сжатию ([а ] 5* [а_с]), условие прочности согласно первой гипотезе записывается следующим образом:

Результаты расчетов по этой гипотезе подтверждаются для весьма хрупких неметаллических материалов (стекло, мрамор, гипс и др.).

2. Гипотеза наибольших линейных деформаций. Данная гипотеза формулируется следующим образом: разрушение материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация достигает предельного значения.

Согласно этой гипотезе условие равнопрочности сложнонапряженного и эквивалентного элементов записывается в виде |в™_х| = в_экв, где |в™_х| — наибольшая по абсолютной величине относительная линейная деформация при сложном напряженном состоянии, которой может быть либо в, либо в₃.

По закону Гука эти деформации выражаются через главные напряжения следующим образом:

Условие прочности согласно гипотезе наибольших относительных линейных деформаций для материалов, разно сопротивляющихся растяжению и сжатию, записывается в виде или

Эта гипотеза прочности получила опытное подтверждение только для весьма хрупких материалов и имеет ограниченное применение.

3. Гипотеза максимальных касательных напряжений. Данная гипотеза формулируется следующим образом: разрушение материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее по абсолютной величине касательное напряжение достигает предельного значения.

Таким образом, согласно этой гипотезе условие равнопрочности сложнонапряженного и эквивалентного элементов записывается в виде |т™_х| = т_В1^к_ах.

I I O'. — о В соответствии с формулами (1.4) |т"_х|———= ^^к", и условие прочности представляется в следующем виде:

Гипотеза наибольших касательных напряжений относится к материалам, одинаково сопротивляющимся растяжению и сжатию, она применяется для оценки прочности конструкций из пластичных материалов и получила широкое применение в расчетной практике.

4. Гипотеза удельной потенциальной энергии формоизменения. Данная гипотеза формулируется следующим образом: разрушение материала при сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия формоизменения достигает предельного значения.

Условие равнопрочное™ сложнонапряженного и эквивалентного элементов записывается в виде (Э_ф)_сл = (Э_ф)_:ш1.

С учетом выражения для удельной энергии формоизменения (2.7) и (2.8) условие равнопрочное™ сложнонапряженного и эквивалентного элементов записывается следующим образом:

С учетом этого равенства и условия прочности при осевом растяжении (сжатии) условие прочности по этой гипотезе будет иметь вид.

или.

Эта гипотеза прочности находится в хорошем соответствии с данными экспериментов над упругопластичными конструкционными материалами (стали, сплавы и др.). В современной расчетной практике она имеет достаточно широкое распространение.

Условия пластичности, т. е. условия перехода из состояния упругого деформирования в состояние упругопластического деформирования, записываются аналогично, но в правых частях неравенств вместо допускаемых напряжений фигурирует предел текучести материала.

В практических расчетах в качестве гипотез пластичности используют гипотезы максимальных касательных напряжений и удельной энергии формоизменения. Условия пластичности согласно этим гипотезам записываются следующим образом: