Теория течения. 
Механика деформируемого твердого тела

В теории течения предполагается, что при фиксированной температуре имеется определенная зависимость между скоростью деформации ползучести, напряжением и временем:

Если в рассматриваемом диапазоне напряжений и температур кривые ползучести подобны, то при степенной зависимости скорости деформации ползучести от напряжения уравнение этой теории записывается в виде.

где п > 1 — постоянная для данной температуры п материала величина, a B (t) — положительная убывающая функция, которая при установившейся ползучести становится константой В_{.

Сопоставляя формулы (4.3) и (4.9), видим, что.

Таким образом, в теории течения фигурируют также функция времени Q (?) и константа п, методика определения которых по экспериментальным кривым ползучести подробно рассмотрена выше.

Считая, что полная деформация складывается из мгновенной упругой деформации и деформации ползучести, будем иметь.

Продифференцировав это равенство по времени и учитывая формулу (4.9), получим основное уравнение теории течения.

Рассмотрим в рамках этой теории процесс релаксации напряжения.

Будем считать, что в момент времени t = 0 стержень продеформирован до величины е₀ = о₀/Е, которая в дальнейшем остается постоянной.

Подставляя в левую часть уравнения (4.10) постоянное значение деформации е₀, получим уравнение релаксации напряжения.

Проинтегрировав это уравнение при начальном условии o (t = 0) = а₀, получим.

С увеличением времени напряжение убывает.

Как очевидно, в основные уравнения теории течения также в явном виде входит время, поэтому она обладает теми же недостатками, что и рассмотренная выше теория старения.

Пример 4.1. Определить напряжения в стержнях стержневой системы (рис. 4.8, а), все стержни которой одинаковы (I, = L₂ = L., = 200 мм, Л, = Л₂ = Л₃ = = 1 мм²), изготовлены из стали 45Х14Н14В2М и нагреты до температуры 1093 К. В момент времени t = 0 к узлу А приложена сила F= 45 Н, и далее она остается постоянной. Модуль упругости и предел текучести этой стали при указанной температуре равны Е = 3−10¹ МПа, а_т = 300 МПа.

Рис. 4.8.

Решение. Осуществляя процедуру метода сечений (рис. 4.8, б), запишем уравнения равновесия узла А:

Из этих уравнений следует, что.

Разделив эти равенства на площади поперечных сечений стержней (Л), найдем.

Как очевидно, задача является статически неопределимой, поэтому рассмотрим дополнительно геометрическое соотношение, связывающее деформации среднего и какого-либо крайнего стержня.

Из рис. 4.8, в следует, что ДL₃ = ДА, cos а, или.

Заметим, что полученные соотношения (4.12) и (4.13) справедливы при любом времени, так как они являются следствием только уравнений равновесия и геометрических соотношений.

Продифференцировав соотношение (4.13) по времени, получим.

Найдем с помощью формулы (4.10) скорости деформаций первого и второго стержней:

Учитывая, что в силу соотношений (4.12) сг₃ = F/A — а, а а_;, = -а, скорость деформации третьего стержня выразим через напряжение в первом стержне и скорость его изменения:

Таким образом, равенство (4.14) с учетом соотношений (4.15) и (4.16) можно записать в виде Отсюда.

Проанализируем напряженное состояние стержневой системы.

В начальный момент времени (f = 0) в соответствии с формулой (4.12) сумма напряжений равна а₃ + а, = F/A = 30/1 = 30 < а_т, и, следовательно, начальные напряжения являются упругими.

Таким образом, в силу формул (4.12) и (4.13) будем иметь Отсюда.

При установившейся ползучести скорость деформации и функция B (t) должны быть постоянными (?, = const, B (t) = В, = const), поэтому из формулы (4.18) получим

Так как в любой момент времени в силу формулы (4.12) ст₃ + а, = F/A, то

При п = 4,477 найденные напряжения будут равны.

Из приведенных данных ясно, что на участке нсустановившсйся ползучести напряжение в центральном стержне падает, а в крайних стержнях возрастает.

На этом участке напряжение в первом стержне находят из уравнении (4.18), которое можно преобразовать к виду.

Вычисления по этой формуле могут производиться следующим образом: задавшись каким-либо напряжением из диапазона ст_0| — а_|уст (например, а = 26 МПа) вычисляют интеграл (/ = 1,882 10 ⁶ МПа"), далее находят момент времени, при котором правая часть равенства (4.20) окажется равной интегралу.

Так устанавливается связь между временем и соответствующим ему напряжением.

Расчеты приводят к результатам, указанным в табл. 4.2.

Таблица 4.2

По этим данным построен график о,(7), приведенный на рис. 4.9.

Рис. 4.9.

Для дальнейших вычислений удобно аппроксимировать эту кривую параболой четвертого порядка.

Таким образом:

• • при t = 0 <�т₀₁ = 0.667F//1 = 30 МПа;
• • при 0 < 1 ч ст, (0 = 30 — 47,632f + 189.648Г² — 406,94+ 361,874гф
• • при t > 1 ч ст_1уст = 24,238 МПа.

Установив напряжение в первом стержне, можно с помощью формулы (4.12) найти напряжения в остальных стержнях стержневой системы.

Определим перемещение узла А. Из формулы (4.15) следует, что

График перемещения узла приведен на рис. 4.10.

Рис. 4.10