УНМ на основе функциональных рядов

Линейные цепи полностью характеризуются реакцией y (t) на воздействие в виде единичной импульсной функции §(/) при нулевых начальных условиях, что отражается формулой интеграла наложения.

где И (/) — импульсная характеристика цепи; *(/) — произвольное воздействие.

Для нелинейных цепей такую же явную зависимость выходного сигнала y (t) от входного воздействия *(/) позволяет задать функциональный ряд Вольтерра:

где /ц (Т|, Тг,…, т*) — многомерные функции, называемые ядрами Вольтерра А'-го порядка, к = 1,2, … Эти ядра не зависят от внешних воздействий и полностью определяются свойствами самой цепи. Они обращаются в нуль, если хотя бы одна из переменных т_ь …, т* отрицательна. Ядра являются симметричными, т. е. перемена местами любых двух переменных т," и т" не меняет значения ядра.

В выражении (9) y (t) представляет собой реакцию линейной системы на входной сигнал x (t). Аналогично составляющие yi (t), y${t),… можно рассматривать как реакции нелинейной цепи с квадратичной, кубической и т. д. характеристиками. Схемное представление модели приведено на рис. 3.

Применив многомерное преобразование Лапласа к (9), можно получить ряд Вольтерра в области изображений

где H{s, S2Sk) — изображение ядра А:-го порядка.

Рис. 3. Универсальная нелинейная модель на основе функциональных рядов.

Универсальную модель в виде ряда Вольтерра можно сформировать либо для каждого парциального двухполюсного и многополюсного нелинейного элемента с последующим подсоединением к линейной части модели, либо для всей нелинейной системы (путем нахождения ядер Вольтерра).

Достоинства модели:

=> явная связь отклика и воздействия;

=> одновременный учет инерционных и нелинейных свойств моделируемого устройства;

=> возможность простого разделения нелинейных продуктов различных порядков за счет блочного представления преобразования входного сигнала.

Недостатки:

=> резкое усложнение всех расчетов и преобразований по мере увеличения порядка к рассчитываемого ядра;

=> плохая сходимость ряда Вольтерра при увеличении степени нелинейности цепи или амплитуды входного воздействия;

=> громоздкость многомерного преобразования Лапласа.

Поэтому в настоящее время в основном применяют полиномы Вольтерра с 3—5 членами, где указанные недостатки проявляются мало. При этом требуемой точности получаемых результатов можно достигнуть только при анализе цепей с малой степенью нелинейности.

О соответствии моделей нелинейных элементов и цепей. При проведении многовариантного анализа или решении задач оптимизации в качестве модели нелинейных элементов (НЭ) используют.

схему замещения. В этом случае она должна быть согласована с УНМ [1]:

=> при формировании УНМ относительно переменных состояния схема замещения НЭ должна содержать удобно и просто разделимые безынерционные и инерционные части;

=> для УНМ, использующей в качестве искомых величии токи (напряжения) на НЭ, модель НЭ целесообразно представить в виде многополюсника с разделенными линейной и нелинейной частями;

=> при построении УНМ на основе метода узловых потенциалов модели НЭ целесообразно укрупнять до многополюсников, в качестве полюсов которых выступают выходные зажимы моделируемых приборов;

=> при построении УНМ на основе рядов Вольтерра модели НЭ целесообразно представлять в виде многополюсников соответствующего порядка, на полюсах которых действуют векторы токов или напряжений этого же порядка.

Эффективность применения гой или иной модели зависит от особенностей проектируемого устройства. В составе САПР целесообразно иметь все четыре типа моделей. В тех случаях, когда число реактивных элементов сравнительно невелико, а нелинейных элементов достаточно много, наименьший порядок системы уравнений будет иметь УНМ в базисе переменных состояния либо узловых потенциалов. В тех же случаях, когда устройство содержит большое число реактивных и сравнительно небольшое число нелинейных элементов (например, широкополосные устройства, содержащие сложные селективные, формирующие и согласующие цепи), наименьший порядок системы уравнений соответствует обобщенной нелинейной модели.