Тонкостенные оболочки и толстостенные цылиндры

Цель: сформировать представление об особенностях деформирования и расчета на прочность тонкостенных оболочек и толстостенных цилиндров.

Расчет тонкостенных оболочек

Оболочка — это элемент конструкции, ограниченный поверхностями, расположенными на близком расстоянии друг от друга. Оболочка называется тонкостенной, если для нее выполняется условие р/h> 10, где h — толщина оболочки; р— радиус кривизны срединной поверхности, которая представляет собой геометрическое место точек, равноотстающих от обеих поверхностей оболочки.

К деталям, моделью формы которых принимают оболочку, относятся автомобильные покрышки, сосуды, гильзы ДВС, несущие кузова автомобилей, фюзеляжи самолетов, корпуса кораблей, купола перекрытий и т. д.

Следует отметить, что оболочечные конструкции во многих случаях являются оптимальными, т. к. на их изготовление затрачивается минимум материалов.

Характерной чертой большинства тонкостенных оболочек является то, что по форме они представляют собой тела вращения, т. е. каждая их поверхность может быть образована вращением некоторой кривой (профиля) вокруг неподвижной оси. Такие тела вращения называются осесимметричными. На рис. 73 приведена оболочка, срединная поверхность которой получена вращением профиля ВС вокруг оси АС.

Выделим из срединной поверхности в окрестностях точки К., лежащей на этой поверхности, бесконечно малый элемент 1122 двумя меридиональными плоскостями АСт и АСт₂ с углом d (p между ними и двумя нормальными к меридианам сечениями HO_t и 220₂.

Меридиональным называется сечение (или плоскость), проходящее через ось вращения АС. Нормальным называется сечение, перпендикулярное меридиану ВС.

Рис. 73. Схема осесимметричной оболочки.

Нормальные сечения для рассматриваемого сосуда являются коническими поверхностями с вершинами 0 и О_г, лежащими на оси АС.

Введем следующие обозначения:

р_т — радиус кривизны дуги 12 в меридиональном сечении;

р, — радиус кривизны дуги 11 в нормальном сечении.

В общем случае р_т и р, являются функцией угла в — угла между осью АС и нормалью 0,1 (см. рис. 73).

Особенностью работы оболочечных конструкций является то, что все ее точки, как правило, находятся в сложном напряженном состоянии и для расчетов оболочек применяют теории прочности.

Для определения напряжений, возникающих в тонкостенной оболочке, обычно пользуются так называемой безмоментной теорией. По этой теории полагают, что среди внутренних усилий отсутствуют изгибающие моменты. Стенки оболочки работают только на растяжение (сжатие), а напряжения равномерно распределены по толщине стенки.

Эта теория применима в том случае, если:

• 1) оболочка представляет собой тело вращения;
• 2) толщина стенки оболочки S весьма мала по сравнению с радиусами кривизны оболочки;
• 3) нагрузка, газовое или гидравлическое давление распределены полярно симметрично относительно оси вращения оболочки.

Совокупность этих трех условий позволяет принять гипотезу о неизменности напряжения по толщине стенки в нормальном сечении. Основываясь на этой гипотезе, заключаем, что стенки оболочки работают только на растяжение или сжатие, так как изгиб связан с неравномерным распределением нормальных напряжений по толщине стенки.

Установим положение главных площадок, т. е. тех площадок (плоскостей), в которых отсутствуют касательные напряжении (т= 0).

Очевидно, что любое меридиональное сечение разделяет тонкостенную оболочку на две части, симметричные как в геометрическом, так и в силовом соотношении. Так как соседние частицы деформируются одинаково, то между сечениями полученных двух частей отсутствует сдвиг, значит, в меридиональной плоскости касательные напряжения отсутствуют (т = 0). Следовательно, она является одной из главных площадок.

В силу закона парности не будет касательных напряжений и в сечениях, перпендикулярных меридиональному сечению. Следовательно, нормальное сечение (площадка) также является главным.

Третья главная площадка перпендикулярна двум первым: в наружной точке К (см. рис. 73) она совпадает с боковой поверхкостью оболочки, в ней г = о = 0, таким образом, в третьей главной площадке о₃ = 0. Поэтому материал в точке К испытывает плоское напряженное состояние.

Для определения главных напряжений выделим в окрестностях точки К бесконечно малый элемент 1122 (см. рис. 73). На гранях элемента возникают только нормальные напряжения а" и о,. Первое из них а_т называется меридиональным, а второе а, — окружным напряжением, которые являются главными напряжениями в данной точке.

Вектор напряжения а, направлен по касательной к окружности, полученной от пересечения срединной поверхности нормальным сечением. Вектор напряжения о" направлен по касательной к меридиану.

Выразим главные напряжения через нагрузку (внутреннее давление) и геометрические параметры оболочки. Для определения а_т и а, нужны два независимых уравнения. Меридиональное напряжение о" можно определить из условия равновесия отсеченной части оболочки (рис. 74, а):

Подставив г-р_тsin 9, получим.

Второе уравнение получаем из условия равновесия элемента оболочки (рис. 74, б). Если спроектировать все силы, действующие на элемент, на нормаль и приравнять полученное выражение нулю, то получаем.

Ввиду малых углов принимаем

В результате проведенных математических преобразований получаем уравнение следующего вида:

Данное уравнение носит название уравнения Лапласа и устанавливает зависимость между меридианальным и окружным напряжениями в любой точке тонкостенной оболочки и внутренним давлением.

Так как опасный элемент тонкостенной оболочки находится в плоском напряженном состоянии, на основании полученных результатов с_т и a_h а также исходя из зависимости <�Т, 2<7₂ЭД3, определяют значения главных напряжений. Далее, зная главные напряжения, составляют условие прочности.

Рис. 74. Фрагмент тонкостенной осесимметричной оболочки: а) схема нагружения; б) напряжения, действующие по граням выделенного элемента оболочки Так, по третьей теории прочности: а" ¹ =&-ст_ъ<[<�х].

Таким образом, для цилиндрических сосудов радиуса г и толщины стенок И получаем.

исходя из уравнения равновесия отсеченной части, а"

следовательно, <7₍ = а, <�т₂ = а_т, <�г_} = 0.

При достижении предельного давления цилиндрический сосуд (в том числе все трубопроводы) разрушается по образующей.

Для сферических сосудов (р, = р_т = г) применение уравнения Лапласа дает следующие результаты:

_ Р^г рг _ рг

о, = о_т =-, следовательно, <7 = <�т,=-, а₂= и" = —, <7₃ = 0.

2 h 2 h 2 h

Из полученных результатов становится очевидно, что по сравнению с цилиндрическим сосудом сферический является более оптимальной конструкцией. Предельное давление в сферическом сосуде в два раза больше.

Рассмотрим примеры расчета тонкостенных оболочек.

Пример 23. Определить необходимую толщину стенок ресивера, если внутреннее давление р- 4 атм = 0,4 МПа; R = 0,5 м; [а]= 100 МПа (рис. 75).

Рис. 75. Ресивер, находящийся под действием внутреннего давления.

Анализ.

• 1. В стенке цилиндрической части возникают меридианальные и окружные напряжения, связанные уравнением Лапласа: а_т о, Р
• —+—=—. Необходимо найти толщину стенки п.

Рт Р, ^h

2. Напряженное состояние точки В — плоское.

Условие прочности: er" =сг₁-ет₃?[<7].

• 3. Необходимо выразить и о$ через сг" и а, в буквенном виде.
• 4. Величину а", можно найти из условия равновесия отсеченной части ресивера. Величину напряжения а, — из условия Лапласа, где р_т = со.
• 5. Подставить найденные величины в условие прочности и выразить через них величину И.
• 6. Для сферической части толщина стенки h определяется аналогично, с учетом р"= р, — R.

Решение.

1. Для цилиндрической стенки:

Таким образом, в цилиндрической части ресивера о, > о_т и 2 раза.

Таким образом, h = 2 мм — толщина цилиндрической части ресивера.

Таким образом, h₂ = 1 мм — толщина сферической части ресивера.