Расчеты на прочность и жесткость при колебаниях

Теория колебаний охватывает широкий круг вопросов в области механики, электротехники, радиотехники и т. д. Особое значение данный раздел физики имеет в решении задач, встречающихся в инженерной практике, в частности, при расчетах прочности машин.

Прежде всего, упругие системы различают по числу степеней свободы.

Под степенью свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы. Любое реальное тело имеет бес-численное множество степеней свободы. Число степеней свободы опре-деляется выбором расчетной схемы, т. е. степенью приближения, с которой мы считаем необходимым или возможным исследовать реальный объект. Мы будем рассматривать только колебания с одной степенью свободы, т. е. колебания, определяемые какой-либо одной величиной (координатой). Так, например, жесткая масса, связанная с пружиной, имеет одну степень свободы, поскольку ее положение определяется только одной координатой (рис. 113).

Рис. 113. Динамическая модель колебаний системы с одной степенью свободы.

При исследовании колебаний упругих систем различают свободные (собственные) и вынужденные колебания. Под свободными колебаниями понимают колебания, совершаемые системой после разового приложения усилия. Вследствие наличия сил сопротивления свободные колебания являются затухающими, т. е. их амплитуда со временем уменьшается. Примером свободных (собственных) колебаний упругой системы являются колебания кузова после преодоления автомобилем препятствия на дороге.

Вынужденными называются колебания, совершаемые системой под действием периодически повторяющейся внешней возмущающей силы, которая не позволяет упругой системе остановиться в положении статического равновесия. Так, примером вынужденных колебаний является движение, которое совершает упругое основание, если на нем установлен плохо сбалансированный двигатель. В этом случае двигатель является источником энергии, периодически подаваемой в систему и расходуемой в процессе вынужденных колебаний на работу преодоления сил трения. Сила, действующая на упругое основание со стороны двигателя, является возмущающей силой. Вынужденные колебания не затухают, а их многократное повторение может вызвать усталостное разрушение. Характер колебания при этом определяется не только свойствами упругой системы, но также существенно зависит от характера внешней силы.

Колебания бывают:

• — поперечными, или изгибными, при которых перемещения точек направлены перпендикулярно к оси стержня;
• — продольными, при которых перемещения всех колеблющихся точек происходят вдоль оси стержня;
• — крутильными, при которых вал закручивается в одну и другую стороны (например, после резкого торможения одного из концов вала);
• — сложными (например, изгибокрутильными).

Промежуток времени, за который совершается полный цикл колебаний, носит название периода собственных или вынужденных колебаний, смотря по тому, о каких колебаниях идет речь. Период колебаний обозначается через Т, а величина, обратная периоду, называется частотой колебаний:

Она представляет собой число колебаний в течение секунды. В технике в большинстве случаев используется понятие круговой частоты со, представляющей собой число колебаний за 2л секунд.

Амплитудой колебаний А называется наибольшее смещение упругой системы от положения статического равновесия.

Упругая система, выведенная каким-либо путем из равновесия, приходит в колебательное движение. Колебания происходят около положения упругого равновесия, при котором в нагруженной системе имели место статические деформации Д_Р и соответствующие им статические напряжения ар. При колебаниях к статическим деформациям добавляются динамические, зависящие от вида колебательного движения и от величины размаха (амплитуды) колебаний. В связи с этим изменяются и напряжения. Таким образом, при расчете колеблющейся системы на прочность необходимо уметь вычислять динамические добавки к статическим деформациям и соответствующим им напряжениям.

Так как динамические свойства системы определяются ее собственными колебаниями, то определим параметры собственных свободных колебаний, необходимых для дальнейших расчетов.