Вариационные ряды и их характеристики

Вариационные ряды и их графическое изображение

Установление статистических закономерностей, присущих массовым случайным явлениям, основано на изучении статистических данных — сведений о том, какие значения принял в результате наблюдений интересующий нас признак (случайная величина X).

> Пример 8.1. Необходимо изучить изменение выработки на одного рабочего механического цеха в отчетном году, но сравнению с предыдущим. Получены следующие данные о распределении 100 рабочих цеха по выработке в отчетном году (в процентах к предыдущему году):

Различные значения признака (случайной величины X) называются вариантами (обозначаем их через х).

Рассмотрение и осмысление этих данных (особенно при большом числе наблюдений п) затруднительно, и по ним практически нельзя представить характер распределения признака (случайной величины X).

Решение. Первый шаг к осмыслению имеющегося статистического материала — это его упорядочение, расположение вариантов в порядке возрастания (убывания), т. е. ранжирование вариантов ряда:

В таком виде изучать выработку рабочих тоже не очень удобно из-за обилия числовых данных. Поэтому разобьем варианты на отдельные интервалы, т. е. проведем их группировку*.

1 Группировка исходных данных приводит к некоторой потере информации о рассматриваемом признаке и уменьшению точности расчетов его характеристик по сравнению с первоначальными (см. далее параграфы 8.2, 8.3, 8.5). Тем не менее группировка целесообразна для достаточно большого массива данных, упрощения расчетов его характеристик.

Число интервалов т следует брать не очень большим, чтобы после группировки ряд не был громоздким, и не очень малым, чтобы не потерять особенности распределения признака.

Согласно формуле Стерджеса рекомендуемое число интервалов т — 1 + + 3,322 lg п, а величина интервала (интервальная разность, ширина интервала)

где x_nVAX — x_min — разность между наибольшим и наименьшим значениями признака.

В примере 8.1 к = (141,0 — 97,0)/(1 + 3,322 IglOO) = 5,76(%).

Примем k = 6,0(%). За начало первого интервала рекомендуется брать величину х_нач = х_тт — к/2. В данном случае х_нач = 97,0 — 6,0/2 = 94,0(%). Сгруппированный ряд представим в виде таблицы (табл. 8.1).

Таблица 8.1.

Числа, показывающие, сколько раз встречаются варианты из данного интервала, называются частотами (обозначаем я,), а отношение их к общему числу наблюдений — частостями, или относительными частотами, т. е. Wj = п_х jя . Частоты и частости называются весами.

Определение. Вариационным рядом называется ранжированный в порядке возрастания (или убывания) ряд вариантов с соответствующими им весами (частотами или частостямиУ.

1 Если вариант х, (i = 1, 2, п) вариационного ряда рассматривается как случайная величина X, получаемая в результате многократного наблюдения интересующего нас признака X, то Xj называется порядковой статистикой.

Если просмотр первичных, несгруинированных данных делал затруднительным представление об изменчивости значений признака, то полученный теперь вариационный ряд позволяет выявить закономерности распределения рабочих по интервалам выработки. Мы видим, например, что выработка колеблется от 94,0 до 142,0%, наибольшее число рабочих (28, или 0,28 от общего числа) увеличили выработку до 118,0—124,0%, уменьшили выработку (в пределах от 94,0 до 100%) трое рабочих и т. п.

При изучении вариационных рядов наряду с понятием частоты используется понятие накопленной частоты (обозначаем я" ^ак). Накопленная частота показывает, сколько наблюдалось вариантов со значением признака, меньшим х. Отношение накопленной частоты тг-^{, ак} к общему числу наблюдений п назовем накопленной частостью wj^mK.

Накопленные частоты (частости) для каждого интервала находятся последовательным суммированием частот (частостей) всех предшествующих интервалов, включая данный (см. табл. 8.1). Например, для х = 124 накопленная частота тг" ^ак = 3 + 7 + 11 + 20 + 28 = 69, т. е. 69 рабочих имели выработку, меньшую 124%. ?

Для задания вариационного ряда достаточно указать варианты и соответствующие им частоты (частости) или накопленные частоты (частости) (в табл. 8.1 приведены и те и другие).

Вариационный ряд называется дискретным, если любые его варианты отличаются на постоянную величину, и — непрерывным (интервальным), если варианты могут отличаться один от другого на сколь угодно малую величину. Так, вариационный ряд, представленный в табл. 8.1, — интервальный (проценты выработки условно округлены до десятых долей). Примером дискретного ряда является распределение 50 рабочих механического цеха по тарифному разряду (табл. 8.2).

Таблица 8.2.

Для графического изображения вариационных рядов наиболее часто используются полигон, гистограмма, кумулятивная кривая.

Полигон, как правило, служит для изображения дискретного вариационного ряда и представляет собой ломаную, в которой концы отрезков прямой имеют координаты (x_i} щ), i = 1, 2,…, т.

Гистограмма служит только для изображения интервальных вариационных рядов и представляет собой ступенчатую фигуру из прямоугольников с основаниями, равными интервалам значений признака = x_j+{ - x_jy i = 1, 2,…, /гг, и высотами, равными частотам (частостям) п_{ (z&j) интервалов. Если соединить середины верхних оснований прямоугольников отрезками прямой, то можно получить полигон того же распределения.

Кумулятивная кривая (кумулята) — кривая накопленных частот (частостей). Для дискретного ряда кумулята представляет ломаную, соединяющую точки (x_jf я" ^ак) или (x_iy w" ^aK), i = 1,2, т. Для интервального вариационного ряда ломаная начинается с точки, абсцисса которой равна началу первого интервала, а ордината — накопленной частоте (частости), равной нулю. Другие точки этой ломаной соответствуют концам интервалов. Весьма важным является понятие эмпирической функции распределения.

Определение. Эмпирической функцией распределения F_n(x) называется относительная частота (частость) того, что признак (случайная величина X) примет значение, меньшее заданного х, т. е.

Другими словами, для данного х эмпирическая функция распределения представляет накопленную частость да" ^ак= п" '^ЛК/п.

О Пример 8.2. Построить полигон (гистограмму), кумуляту и эмпирическую функцию распределения рабочих:

• а) по тарифному разряду по данным табл. 8.2;
• б) по выработке по данным табл. 8.1.

Решение. На рис. 8.1 и 8.2 изображены полигон (гистограмма), кумулята и эмпирическая функция распределения соответственно для дискретного (табл. 8.2) и интервального (табл. 8.1) вариационных рядов.

Рис. 8.1.

Обращаем внимание на то, что для дискретного вариационного ряда эмпирическая функция распределения представляет собой разрывную ступенчатую функцию по аналогии с функцией распределения для дискретной случайной величины (параграф 3.5) с той лишь разницей, что теперь по оси ординат вместо вероятностей располагаются частости (см. рис 8.1).

Рис. 8.2.

Для интервального вариационного ряда (см. табл. 8.1) имеем лишь значения функции распределения F_n{x) на концах интервала (см. последнюю графу табл. 8.1). Поэтому для графического изображения этой функции целесообразно ее доопределить, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. В результате полученная ломаная совпадет с кумулятой (см. рис. 8.2, б). ?

Вариационный ряд является статистическим аналогом (реализацией) распределения признака (случайной величины X). В этом смысле полигон (гистограмма) аналогичен кривой распределения, а эмпирическая функция распределения — функции распределения случайной величины X.

Вариационный ряд содержит достаточно полную информацию об изменчивости (вариации) признака. Однако обилие числовых данных, с помощью которых он задается, усложняет их использование. В то же время на практике часто оказывается достаточным знание лишь сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик центральной тенденции; характеристик изменчивости (вариации) и др. Расчет статистических характеристик представляет собой второй после группировки этап обработки данных наблюдений.