Центральное растяжение (сжатие)

Центральным растяжением (сжатием) называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

Растяжение (сжатие) часто встречается в элементах строительных конструкций и машин. Например, растяжение возникает в тросе подъемника, сжатие — в фабричной трубе от собственного веса, в колоннах и т. д.

Для центрального растяжения (сжатия) внешние силы, приложенные к концевым или промежуточным сечениям стержня, должны быть направлены по его оси или приводиться к равнодействующей, направленной по этой оси (рис. 3.1а).

Для определения продольных сил применяется метод сечений. При этом стержень мысленно рассекается плоскостью, перпендикулярной оси стержня, на две части. Взаимодействие частей между собой заменяется продольной силой и из условия равновесия отсеченной части определяется значение этой силы (рис. 3.1 б-г).

Рис. 1.

Условимся силу считать положительной, если она вызывает растяжение (направлена от сечения) и отрицательной, если вызывает сжатие (направлена к сечению). В тех случаях, когда направление силы неизвестно, целесообразно принять ее положительной. Если из условия равновесия сила получиться со знаком (+), то стержень в данном сечении растянут, если со знаком (-), то — сжат.

В сложных случаях нагружения стержня целесообразно строить эпюру внутренних сил. Эпюрой продольной силы называется график, каждая ордината которого равна значению продольной силы в данном сечении. Этот график показывает изменение продольных сил по длине оси бруса. Для этого проводим базисную линию, параллельную оси стержня (рис. 3.1д), и перпендикулярно к ней отложим отрезки, изображающие в некотором масштабе величины продольных сил в поперечных сечениях бруса.

Очевидно, что на всем участке длиной (между точками приложения сил и) продольная сила постоянна и равна; аналогично и на других участках (между сечениями, в которых приложены внешние силы), продольные силы имеют постоянное значение.

В поперечных сечениях, в которых к брусу приложены сосредоточенные продольные силы, значение продольной силы изменяется скачкообразно на величину продольной силы.

При действии на брус внешней распределенной осевой нагрузки продольные силы на участке, на котором такая нагрузка приложена, изменяются непрерывно (рис. 3.2).

Рис. 2.

Природа внешней распределенной осевой нагрузки может быть различной. Обычно это собственный вес или инерционные силы.

Для решения этой задачи рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, вырезанного двумя сечениями, расположенными друг от друга на расстоянии (рис. 3.2б). К нижнему сечению вырезанного элемента приложим внутрен-нюю силу, а к верхнему — силу. Из условия равновесия этого элемента находим. Отсюда следует.

(3.1).

т.е. величина нормальной силы в произвольном сечении равна сумме проекций на ось стержня всех внешних сил (интегралу), приложенных к отсеченной части.

На рис. 3.2 в показана эпюра для бруса (рис. 3.2а) при .

Все вышесказанные правила построения эпюр можно свести к простым практическим приемам. Для определения в любом сечении стержня (колонн), используем метод сечений и формулы (1.5) полученные в разделе 1.

(А) При наличии погонной нагрузки учитываются и формулы (3.1).

Для горизонтальных стержней ось будем направлять слева направо. Для вертикальных стержней (колонн), ось будем направлять вниз и за правую отсеченную часть будем считать нижнюю от разреза часть, а за левую — верхнюю. Все внешние нагрузки, направленые вдоль оси, считаем положительными. Построим эпюру для колонны, показанной на рис. 3.3.

Площадь верхней части колонны А, площадь поперечного сечения нижней части 2А. Oбозначим — объемный вес материала колонны. Тогда погонные нагрузки от веса будут. R — опорная реакция. Для простоты вычислений свяжем силы и нагрузки от веса формулой.

(В) Найдем опорную реакцию из условия равновесия всей колонны .

С учетом (В) найдем .

Колонна имеет два участка.

I участок (верхний). Проведем в нем сечение на расстоянии от верхнего торца колонны,, т. е. рассмотрим верхнюю часть от разреза, что как указано выше, надо в формулах (А) считать «левой» частью.

Эпюра линейна, т.к. в первой степени. Для построения эпюры надо две точки:

В масштабе откладываем эти величины на эпюре .

II участок. Проведем в нем разрез на расстоянии от опоры, и эту нижнюю часть в формулах (А) считаем «правой».

Для построения эпюры достаточно двух точек.

Здесь и на I участке использована зависимость (В). Строим эпюру. Верхний участок колонны растянут, а нижний сжат. Скачки должны быть равны силам, приложенным к колонне в этих сечениях.

Напряжения и деформации при растяжении (сжатии)

Закон Гука.

Продольная сила, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных напряжений, распределенных по площади поперечного сечения и связаны известной зависимостью (1.6):

(3.2).

Здесь представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку .

Как уже отмечалось выше, величину в каждом случае легко можно определить при помощи метода сечений. Однако из формулы (3.2) нельзя найти закон распределения нормальных напряжений по площади поперечного сечения.

Опыты показывают, что если нанести на поверхность бруса систему линий, перпендикулярных к его оси, то после нагружения стержня поперечные линии переместятся параллельно самим себе. Значит, если мысленно представить себе брус состоящим из тонких продольных призматических элементов (волокон), то все поверхностные элементы будут удлиняться одинаково. Естественно предположить, что и внутренние продольные элементы тоже удлиняются одинаково, т. е. поперечные сечения смещаются параллельно начальным положениям, что соответствует гипотезе плоских сечений (гипотезе Бернулли).

Согласно этой гипотезе сечения, плоские до деформации, остаются плоскими и после деформации.

Так как одинаковым удлинениям в однородном материале соответствуют одинаковые напряжения, то напряжения в поперечных сечениях всех призматических элементов (волокон), а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса, равны между собой. Это позволяет в (3.2) вынести величину за знак интеграла. Тогда.

(3.3).

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

Напряжения в наклонных сечениях бруса

Рассечем растянутый стержень плоскостью, наклонной к поперечному сечению под углом (рис. 3.4а). Угол условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Рис. 4.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении (сжатии) одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения во всех точках и наклонного сечения одинаковы.

Площадь наклонного сечения стержня можно выразить через площадь поперечного сечения:

Из условия равновесия отсеченной части (рис. 3.4б) легко установить, что равнодействующая внутренних сил в наклонном сечении, откуда.

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное, перпендикулярное к плоскости сечения, и касательное, параллельное этой плоскости (рис. 3.4в):

(3.4).

Нормальное напряжение считается положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремиться вращать тело относительно любой т.С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 3.4 В показано .

Из формул (3.4) видно, что в поперечных сечениях () нормальные напряжения будут наибольшими, а касательные напряжения отсутствуют. При и нормальные и касательные напряжения равны нулю. Таким образом, в площадках с наибольшими и наименьшими нормальными напряжениями касательные напряжения равны нулю.

Из второй формулы (3.4) следует, что касательные напряжения принимают значения от (при) до (при).

Таким образом, наибольшие касательные напряжения будут в площадках, наклонных под углом 45 к оси бруса:

.

Нормальные напряжения в этих площадках () равны.

.

Определение деформаций

Опыт показывает, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокращаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются (рис. 3.5).

Рис. 5.

Изменение первоначальной длины стержня называется абсолютным удлинением.

Выделим (рис. 3.5) бесконечно малый элемент стержня длиной. После приложения нагрузки он получит удлинение. Относительная продольная линейная деформация этого элемента.

и.

При простом растяжении для всех сечений, значит удлинения всех малых элементов одинаковы, т. е. .

Суммируя удлинения малых элементов по всей длине стержня получим.

Таким образом, относительная продольная деформация при растяжении равна.

(3.5).

Аналогично найдутся поперечные деформации (рис. 3.5).

(3.6).

Здесь знак (-) поставлен потому, что при растяжении поперечные размеры уменьшаются. Для изотропных материалов поперечные деформации одинаковы: .

Деформации и — безразмерные величины.

Отношение поперечной деформации к продольной, взятое по абсолютной величине, называется коэффициентом Пуассона

(3.7).

Коэффициент Пуассона есть величина постоянная только для данного материала в пределах упругих деформаций и определяется экспериментально. Для различных материалов коэффициент Пуассона имеет значения от нуля (для пробки) до величины, близкой к 0,5 (для резины и парафина). Для стали .

Чем больше величина силы, тем больше, при прочих равных условиях, удлинения бруса; чем больше площадь поперечного сечения бруса, тем удлинение бруса меньше. Брусья из различных материалов удлиняются различно.

Для целого ряда материалов при нагрузках, не превышающих некоторого предела, опытом установлена следующая зависимость.

или или, (3.8).

где Е — коэффициент, зависящий от физических свойств материалов.

Коэффициент пропорциональности Е между напряжениями и деформациями называется продольным модулем упругости или модулем Юнга.

Размерность Е такая же, как и у напряжения.

Из формулы (3.8) получим.

(3.9).

Величина называется жесткостью бруса при осевой нагрузке.

Впервые закон о прямой пропорциональности между напряжениями и деформациями сформулировал Роберт Гук и этот закон носит его имя.

Формулы (3.8) — (3.9) являются математическими выражениями закона Гука при растяжении (сжатии) бруса.

Для определения полного удлинения ступенчатого бруса и бруса, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются на участках с постоянными и А и результаты суммируются алгебраически по всем участкам.

(3.10).

При продольной нагрузке, распределенной по длине бруса, а также в случае, когда площадь бруса переменна по длине его оси, для определения перемещения необходимо рассматривать брус, состоящий из бесконечного множества бесконечно малых участков длиной. Удлинения каждого такого участка определяются выражением, а полное изменение участка бруса длиной.

или (3.11).

Здесь и выражения нормальной силы и площади в произвольном сечении.

Рис. 6.

Иногда требуется определить перемещение какого-либо поперечного сечения стержня. Смещение сечения зависит от деформации не всего бруса, а лишь некоторой его части между сечением и неподвижной заделкой.

Так, например, для стержня, показанного на рис. 3.6а, смещение сечения равно удлинению заштрихованной части.

Если требуется определить изменение расстояния между двумя сечениями: и (рис. 3.6б), то для этого необходимо определить изменение длины заштрихованных участков, лежащих между указанными сечениями.

Учет собственного веса бруса (колонны)

Рис. 7.

Рис. 8.

Вначале рассмотрим брус переменного сечения (рис. 3.7), для которого задан закон изменения площади поперечных сечений. Продольная сила в любом сечении такого бруса равна.

(3.12).

где объемный вес материала бруса. погонная распределенная нагрузка от веса.

Напряжения в любом сечении равны.

(3.13).

Перемещение любого сечения относительно заделки находиться так:

или (3.14).

Рассмотрим частный случай, брус постоянного сечения (рис. 3.8).

Эпюры и, показывающие изменение продольной силы и нормальных напряжений по длине бруса, изображены на рис. 3.8б, в.

Перемещение любого сечения относительно заделки:

при при .

Учитывая, что вес бруса. Эпюра перемещении сечений бруса показана на рис. 3.8г.

Найдем изменение длины колонны, показанной на рис. 3.3. Используем формулы (3.11).

(3.15).

Здесь интеграл от 0 до разбит на сумму двух интегралов по двум участкам, т.к. для каждого участка различны и.

I участок.

II участок.

Подставив это в (3.15), получим.

растяжение сжатие деформация брус Если, то колонна удлиняется, если станет короче.

Статически неопределимые задачи растяжения (сжатия)

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить при помощи уравнений равновесия, называется статически определимыми. В отличии от них статически неопределимыми называются системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Недостающие уравнения составляются из условия деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В статически неопределимых системах усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки — в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений.

Проследим порядок решения таких задач на примерах:

Рис. 9.

I. Определить усилия в призматическом стержне, заделанным двумя концами, от одной внешней продольной силы (рис. 3.9). Отбросим одну из заделок и заменим ее действие неизвестной реакцией (рис. 3.9б). В данном случае можно составить только одно уравнение равновесия:

Откуда.

(а) В этом уравнении два неизвестных усилия и. Задача является один раз статически неопределимой. Для ее решения составим дополнительное уравнение деформации из условия, что общая длина стержня не может измениться, т. е. .

По (3.10), здесь. На каждом участке найдем по формулам (А).

(в).

или © Решаем уравнения а) и с), учитывая, что, получим.

Эпюры строим по формулам (в), которые показаны на рис. 3.9 В.

Следует отметить, что направления неизвестных реакций можно принимать произвольно. После расчета знаки уточнят действительное направление реакций. Если реакция получается со знаком (+) значит направление выбрано правильно, если со знаком (-) — то направление действительное противоположно выбранному.

II. Определить усилия в стержнях плоской шарнирно-стержневой системы, состоящей из трех стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром и загружены в нем вертикальной силой (рис. 3.10).

Пусть площадь сечения среднего стержня равна, а крайних стержней, угол между стержнями, длины стержней и .

Если определить реакции в шарнирах А, В и С, то задача решена.

Число реакции три. Но т.к. сис-тема и нагрузка симметричны, то. Для решения задачи доста-точно определить реакции и, т.к. усилия в стержнях .

Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке можно составить два уравнения равновесия:

Рис. 10.

Однако условие равносильно уже использованному условию симметрии. Таким образом, для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение совместности деформаций стержней.

Уравнения равновесия имеет вид.

(а).

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим перемещение системы: удлинение стержня BD равно, стержень АD удлиняется на.

Из построений на рис. 3.10 видна связь между и.

(б) Стержень 2 из начального положения (сплошная линия) переводим в деформированное состояние (пунктир) так: отсоединим в т.D, удлиним на, вращая вокруг т.А соединим в т. При этом получим прямоугольный треугольник с и .

Подставим в выражения (б) значения и полученные выше и учитывая, что, получим:

.

откуда.

(в) Решая совместно уравнения (а) и (в) получим:

(г) Из уравнений (г) видно, что с увеличением площадей поперечных сечений стержней 2 (т.е. n), усилия в них увеличиваются, а усилие в стержне BD при этом уменьшается.

В статически же определимых системах распределение усилий в конструкции не зависит от жесткости его элементов.

III. Бесконечно жесткий брус АВ шарнирно прикреплен к неподвижной опоре, подвешен на трех стержнях и нагружен силой (рис. 3.11). Определить усилия в стержнях?

Рис. 11.

В стержнях появятся растягивающие усилия. Для бруса АВ можно записать три уравнения равновесия: и. Число неизвестных пять: усилия в трех подвесках, вертикальная и горизонтальная составляющие реакции в шарнире А. Таким образом, задача дважды статически неопределимая. Следует заметить, что для определения усилий только в стержнях использовать уравнения равновесия и здесь нецелесообразно, т.к. в них войдут две не интересующие нас опорные реакции в шарнире А.

Условия равновесия дает:

(а) Дополнительные уравнения можно записать, рассматривая деформацию системы. Брус АВ считаем очень жестким, его собственными деформациями пренебрегаем. Тогда он, оставаясь прямым, займет положение .

Удлинения стержней (подвесок) будут равны по закону Гука.

(б) Из подобия треугольников можно найти соотношения между, и, что дает два дополнительных уравнения, а именно:

и (в) Это условия совместности деформаций стержней.

Здесь, так же как и в задаче №II считаем, что при деформации системы угол между стержнем 3 и брусом АВ остался неизменным.

Подставив в уравнения (в) соотношения (б) получим два уравнения, связывающих между собой усилия и. Совместно с уравнением (а) получаем систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными величинами и, из которых они и могут быть найдены.

IV. Определение монтажных напряжений

Бесконечно жесткий брус закреплен одним концом и подвешен на двух стержнях (рис. 3.12). При изготовлении стержня ВС его длина оказалась короче проектной на величину. При сборке системы стержень ВС придется вытянуть силой, что вызывает в свою очередь сжатие стержня DE силой. Определить усилия в стержнях ВС и DE.

Рис.12 Опора А даст две реа-кции, уравнений статики можно составить три:

и.

данная система является од-нажды статически неопреде-лимой.

Здесь, так же как и в предыдущей задаче, нецеле-сообразно использовать пер-вые два уравнения равно-весия, т.к. в них войдут не интересующие нас реакции в шарнире А. Последнее уравнение равновесия даст.

(а) Деформированный вид системы изображен пунктиром на рис. 3.12. Из условия деформации (подобия треугольников) получим:

Подставляя значения удлинений по закону Гука, найдем.

(б) Решая совместно уравнения (а) и (б) найдем и, а затем и напряжения в стержнях.

(в).

Если площади стержней и не заданы, то усилия в стержнях и найти нельзя, но можно найти напряжения в них, если задать соотношения площадей, например. Тогда уравнение б) с учетом в) примет вид.

(г).

а уравнение а) с учетом заданного соотношения запишется так.

(д) Решая уравнения г) и д) можно найти и .

V. Определение температурных напряжений

Определить внутренние усилия в призматическом брусе, заделанном двумя концами, от равномерного нагрева всего бруса на (рис. 3.13).

Рис.13 При повышении температуры брус стремиться удлиниться и оказывает давление на заделки, в которых возникнут реакции Отбросим одну из заделок, а ее действие заменим опорной реакцией. Тогда стержень свободно удлиниться на величину.

где коэффициент темпе-ратурной деформации. Под дейс;

твием внутренней силы равной опорным реакциям (), брус должен сократиться на такую же величину, т.к. его длина между заделками не может измениться, т. е.

С учетом закона Гука.

откуда.

При нагревании возникают сжимающие усилия, а при охлаждении — растягивающие и они не зависят от длины бруса.

Общий случай статически-неопределимых задач растяжения (сжатия).

Иногда в статически неопределимых конструкциях приходиться одновременно учитывать влияние внешней нагрузки, изменение температуры и неточности изготовления.

Первый путь — это одновременный учет всех факторов. В этом случае в уравнения совместности деформаций должны быть включены члены, отражающие влияние всех этих обстоятельств. Полученные в результате расчета усилия и напряжения являются окончательными.

Второй путь — заключается в раздельном определении усилий и напряжений, вызванных нагрузкой, температурой, неточностью изготовления. Решается как бы несколько отдельных задач, в каждой из которых учитывается только один из факторов. Окончательные усилия и напряжения определяются путем алгебраического суммирования этих величин. Последний путь часто являются более ясным и удобным, вызывая лишь небольшое увеличение количества выкладок. Он носит название сложения действия сил.

VI. Бесконечно жесткий брус KВ подвешен на трех стержнях из разных материалов и сечений, нагружен силой, при этом средний стержень короче проектной длины на величину. Во время эксплуатации система может нагреваться на. Определить усилия в стержнях (рис. 3.14).

Рис.14 Полагаем, что усилия во всех стержнях растягивающие. Можно составить два уравнения равновесия Первое сумма проекций на вертикаль ;

(а) Второе — сумма моментов относительно т. D

(б) Третье уравнение составим из рассмотрения условий дефор;

мации системы, показанной пунктиром на рис. 3.14 (из подобия и).

или (в) Значения входящих в это уравнение удлинений с учетом влияния температуры будут следующими:

(г) Подставив соотношения г) в уравнение в) и учитывая уравнения а) и б) придем к системе трех уравнений с тремя неизвестными величинами .

Из этой системы можно найти усилия и. Если наши предположения о направлении усилий в каком-нибудь стержне оказалось ошибочными, то из решения мы получим отрицательное значение этого усилия. Здесь использован первый путь.

Механические свойства материалов

а) Диаграмма растяжения.

Эти диаграммы получают при нагружении специальных стандартных образцов из испытываемого материала на специальных испытательных машинах. Испытания проводят для определения механических характеристик материалов. Испытательные машины снабжены устройствами, показывающими величину приложенной нагрузки и величину изменения длины образца или самописцами, рисующим диаграмму зависимости от. На практике удобнее пользоваться диаграммой в осях и, где начальная площадь поперченного сечения образца, его начальная длина.

Диаграмма растяжения стали Ст. 3.

Рис.15 Ст. 3 — малоуглеродистая сталь, широко используется в строительстве. По ГОСТу образ-цы изготавливаются из Ст. 3 круглыми 20 мм и длиной 220 мм или плоскими с сече-нием 30×10мм и длиной 220 мм При испытании таких образ-цов на растяжение получается диаграмма, показанная на рис. 3.15. На диаграмме отчетливо видны несколько участков:

ОВ — линейный участок до — предел пропорциональности. На;

клон этого участка определяет продольный модуль упругости согласно закону Гука. Поэтому, законом Гука можно пользоваться до напряжений, не превышающих ;

ОС — участок упругих деформаций до предел упругости. Эти деформации исчезают после снятия нагрузки;

DL — горизонтальный участок (площадка текучести при предел текучести). Здесь образец удлиняется при постоянной нагрузке (течет).

Величины и отличаются незначительно, поэтому на практике их считают совпадающими, участок упрочнения, т.к. дальнейшая деформация образца происходит только при увеличении нагрузки до предел прочности (временное сопротивление). До т. Р () поперечные деформации образца по всей его длине одинаковы. После т. Р эти деформации концентрируются в одном (слабом) месте, где начинает образовываться шейка — местное значительное сужение образца. За т. Р ординаты диаграммы уменьшаются, нагрузка падает, что объясняется значительным уменьшением поперечного сечения в шейке. В т. К происходит разрыв образца в шейке.

Итак: из этого испытания можно получить следующие механические характеристики Ст.3:, ,, Е.

Если разгрузить образец из т. М, то диаграмма разгрузки пойдет по линии MN параллельной ОВ, часть деформаций исчезает, а часть останется. — упругие деформации, — остаточные, объясняются пластическими свойствами материала.

Если сразу вновь начать нагружать образец, то диаграмма пойдет по линии NMPK. Эта диаграмма отличается от диаграммы начальной следующим: 1) увеличился, 2) исчезла площадка текучести. Это новое поведение материала объясняется «наклепом», полученным при первом нагружении. «Наклеп» может возникать и при других видах деформации. При всякой холодной обработке металла, при которой возникают напряжения выше, появляется «наклеп». Например, при продавливании отверстий в стальных листах их края подвергаются «наклепу», становятся хрупкими (могут появиться трещины). «Наклеп» устраняется отжигом, а также со временем он сам исчезает (при «отдыхе»).

Полученная диаграмма называется условной, т.к. определяются по начальной площади сечения образца, а эта площадь постоянно уменьшается при нагружении и особенно при появлении шейки. Можно построить диаграмму с учетом этого, она называется истинной. Истинная диаграмма мало отличается от условной почти до конца участка упрочнения и значительно отличается после появления шейки. В реальных конструкциях не допускаются напряжения выше, поэтому для практики достаточно условной диаграммы.

После разрушения образца можно определить его остаточные деформации.

б) Диаграммы растяжения различных материалов

Рис.16 На рис. 3.16 показаны сравнительные условные диаграммы различных материалов при растяжении Ст.6: обладает более высокой прочностью, чем Ст. 3, площадка текучести отсутствует, шейка почти не образуется. Остаточные деформации после разрушения меньше, чем у Ст. 3.

Чугун: диаграмма не имеет линейного участка, строго говоря, не подчиняется закону Гука.

Для определения условного Е проводят хорду на участке рабочих напряжений. Шейка не образуется. Разрушается с малыми остаточными деформациями.

По величине остаточных деформаций после разрушения, материалы делят на хрупкие (чугун, камень, бетон, кирпич и др.) и пластичные (сталь, медь, алюминий и т. д.). Это деление условно, т.к. один материал в разных условиях может разрушаться по-разному. Например, сталь в обычных условиях — пластичный материал, но при очень низких температурах разрушается как хрупкий материал. Поэтому точнее говорить о хрупком и пластичном виде разрушения.

в) Сравнения диаграмм растяжения и сжатия материалов.

Рис. 17.

Для испытания материалов на сжатие, образцы из них делают в виде кубиков или коротких цилиндров.

Ст.3: при сжатии имеет, , Е такие же, как и при растяжении. Но площадки текучести нет, есть наклонный участок при. При больших — образец сплющивается, приобретает вид бочонка из-за трения на торцах о площадки нагружающего устройства. Разрушение не получается (получается «лепешка»).

Чугун: диаграмма при сжатии (сж) похожа на диаграмму растяжения (р),, но в несколько раз больше, чем, т. е. чугун хорошо работает на сжатие и плохо на растяжение. Чугун при сжатии немного приобретает форму бочонка, а потом раскалывается по площадке к его оси. Согласно (3.4) на этой площадке возникают максимальные касательные напряжения, следовательно, чугун при сжатии и разрушается от. Бетон, камень деформируются при сжатии аналогично. У них тоже .

г) Наряду с упругостью и пластичностью к основным механическим характеристикам относится и ползучесть — развитие со временем деформаций при постоянном напряжении. Зависимость — деформации ползучести от Т — времени, можно представить графиком (рис. 3.18). На кривой ползучести различаются три участка: АВ — неустановившаяся ползучесть; ВС — установившаяся ползучесть; CD — стадия разупрочнения.

Рис.18 Скорость ползучести увеличивается с повышением температуры и уровня напряжений. Для каждого материала есть свои сочетания (напряжения) и (температура) при которых возникает ползучесть. Цель расчетов на ползучесть — определение времени эксплуатации конструкции до разрушения.

д) Влияние различных факторов на механические характеристики материалов.

• 1. Влияние скорости нагружения: при динамическом нагружении повышаются, ,, площадка текучести уменьшается или исчезает, разрушение происходит при меньших деформациях. Модуль Е не меняется.
• 2. Влияние температуры: с повышением уменьшаются, ,, характеристики пластичности увеличиваются, Е — уменьшается, (коэффициент Пуассона) увеличивается. Может появиться ползучесть. Жаростойкость — способность материала сопротивляться окислению. Жаропрочность — способность материала сохранять высокие механические характеристики при высоких температурах.
• 3. Релаксация — постепенное падение напряжений при неизменной деформации материала (имеет место в болтовых соединениях — со временем «стяжка» соединения ослабевает, поэтому периодически болты надо «подтягивать»). Релаксация происходит при нормальной температуре.
• 4. Старение — самопроизвольное изменение механических характеристик со временем (прочность бетона увеличивается, прочность полимеров — уменьшается).

Расчеты на прочность

В сопротивлении материалов обычно решаются две задачи:

• 1. Определение размеров поперечных сечений стержней А при заданной нагрузке.
• 2. Определение допускаемой нагрузки при заданных размерах сечения А.

Обе задачи можно решать двумя основными методами:

• 1. расчет по допускаемым (расчетным) напряжениям (Д.Н);
• 2. расчет по разрушающим нагрузкам (Р.Н) (предельному состоянию).

Метод допускаемых напряжений (Д.Н.).

Обозначим — допускаемое напряжение. Условие прочности имеет вид напряжения в стержнях не должны превышать допустимых. Отсюда можно найти или А.

Здесь опасное напряжение, коэффициент запаса прочности. Для хрупких материалов, 2,5ч5, для пластичных, 1,5ч2,5. Рекомендации для выбора приводятся в справочниках. Величины зависят: а) от класса конструкции (капитальное, временное); б) характера нагрузки (статическая, динамическая и др.); в) возможной неоднородности строительных материалов (бетон); г) от вида деформации (растяжения, сжатия, изгиба, кручения).

Необходимость введения обуславливается: а) разбросом опытных и; б) неточностью определения нагрузок (ветровой, снеговой и т. д.); в) приближенностью методов расчета; г) неточностью изготовления деталей конструкций (допуски).

Метод разрушающих нагрузок (Р.Н)

Обозначим — допускаемое усилие в стержне. Условие прочности усилия в стержнях не должны превышать допускаемых., где разрушающие усилие в стержне. Для пластичных материалов, для хрупких. Коэффициент запаса прочности выбирается так же, как указано выше.

Нетрудно убедиться, что для статически определимых конструкций, элементы которых подвергаются центральному растяжению (сжатию), расчет по методу разрушающих нагрузок приводит к тем же результатам, что и расчет по допускаемым напряжениям, если коэффициенты запаса прочности в том и другом случае одинаковы.

Совсем другие результаты получим, если будем применять метод разрушающих нагрузок к статически неопределимым системам из пластичных материалов, т.к. появление текучести только в одном наиболее нагруженном элементе еще не приводит систему к разрушению.

Рис.19Так, например, если в статически неопределимой системе, изображенной на рис. 3.19, при увеличении силы напряжения, равные пределу текучести, появятся вначале в одном каком-то стержне, то это еще не выведет конструкцию из строя, т.к. в другом стержне напряжения будут меньше. Для полного разрушения конструкции необходимо, чтобы текучесть появилась во всех стержнях. В этом случае разрушающая сила определиться из условия равенства нулю суммы моментов относительно точки А:

допускаемая нагрузка.

Таким образом, метод расчета по разрушающим нагрузкам позволяет спроектировать статически неопределимую систему из пластичного материала экономичнее, чем при расчете по допустимым напряжениям.

Энергия деформации

Выделим из бруса с площадью поперечного сечения А малый элемент.

длиной. Брус растянут силой, от которой возникнут:, по закону Гука и. Загрузим брус дополнительной малой силой, от которой возникнут и. Сила совершит на пути работу, которая перейдет в потенциальную энергию деформации элемента бруса.

(а) Здесь объем элемента бруса,, т.к. значительно меньше основного напряжения .

Обозначим удельная энергия деформации, т. е. энергия в единице объема тела. Тогда приращение с учетом а) будет.

(б) Если известна зависимость, то.

(в) Для упругих деформаций по закону Гука, тогда.

(3.16).

Учитывая, что из (3.16) получим.

(3.17).

Энергию деформации всего бруса можно представить так:

(3.18).

Возможны несколько частных случаев:

1. и А постоянны по длине бруса:

2. и скачкообразно меняются по участкам бруса.

Из зависимости в) следует, что определяется площадью, ограниченной диаграммой деформирования. Полезно отметить следующие зависимости, получаемые из (3.16) с учетом закона Гука:

(3.19).