Проверка гипотез о равенстве средних двух и более совокупностей

Сравнение средних двух совокупностей имеет важное практическое значение. На практике часто встречается случай, когда средний резуль-^[1]

таг одной серии экспериментов отличается от среднего результата другой серии. При этом возникает вопрос, можно ли объяснять обнаруженное расхождение средних неизбежными случайными ошибками эксперимента или оно вызвано некоторыми закономерностями^[2]. В промышленности задача сравнения средних часто возникает при выборочном контроле качества изделий, изготовленных на разных установках или при различных технологических режимах, в финансовом анализе — при сопоставлении уровня доходности различных активов и т. д.

Сформулируем задачу. Пусть имеются две совокупности, характеризуемые генеральными средними х₀ и у₀ и известными дисперсиями а^1[3] и а-. Необходимо проверить гипотезу Я₀ о равенстве генеральных средних, т. е. Я₀: х₀=у₀. Для проверки гипотезы Я₀ из этих совокупностей взяты две независимые выборки объемов п_{ и п₂₇ по которым найдены средние арифметические х и у и выборочные дисперсии s^[3] и s^[3].

При достаточно больших объемах выборки, как отмечено в параграфе 9.6, выборочные средние х и у имеют приближенно нормальный закон распределения, соответственно Я (х₀^д)^и

В случае справедливости гипотезы #₀ разность ху имеет нормальный закон распределения с математическим ожиданием М (х-у) =

G^[3] СУ^.

= М (х)-М (у)= х₀-у₀=Ои дисперсией а|^=а|+о|= —+ — (напом;

ним, что дисперсия разности независимых случайных величин равна сумме их дисперсий, а дисперсия средней п независимых слагаемых в п раз меньше дисперсии каждого).

Поэтому при выполнении гипотезы Я₀ статистика.

имеет стандартное нормальное распределение N (0; 1).

Согласно равенствам (10.2)—(10.4) в случае конкурирующей гипотезы Н_х х₀>у₀ (или Н_х х₀ < у₀) выбирают одностороннюю критическую область и критическое значение статистики находят из условия (рис. 10.3).

а при конкурирующей гипотезе Я₂: х₀ Фу₀ выбирают двустороннюю критическую область и критическое значение статистики находят из условия (рис. 10.4).

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 10.3.

Рис. 10.4.

Если фактически наблюдаемое значение статистики t дольше критического ?_кр, определенного на уровне значимости, а (по абсолютной величине), т.с. |^| > ?_кр, то гипотеза //₀ отвергается. Если |^| < ?_кр, то делается вывод, что нулевая гипотеза /У₀ не противоречит имеющимся наблюдениям.

t> Пример 10.1а. Для проверки эффективности новой технологии отобраны две группы рабочих: в первой группе численностью п_Л = 50 чел., где применялась новая технология, выборочная средняя выработка составила х = 85 (изделий), во второй группе численностью п₂ = 70 чел. выборочная средняя — у = 78 (изделий). Предварительно установлено, что дисперсии выработки в группах равны соответственно о² = 100 и =74. На уровне значимости, а = 0,05 выяснить влияние новой технологии на среднюю производительность.

Решение. Проверяемая гипотеза Я₀: х₀ = г/₀, т. е. средние выработки рабочих одинаковы по новой и старой технологиям. В качестве конкурирующей гипотезы можно взять Яр х₀ > у₀ или Я₂: х₀ Ф г/₀ (в данной задаче более естественна гипотеза Н_{, так как ее справедливость означает эффективность применения новой технологии).

По формуле (10.5) фактическое значение статистики критерия.

При конкурирующей гипотезе Я_х критическое значение статистики находится из условия (10.6), т. е. Ф^_кр) = 1−2*0,05 = 0,9, откуда по табл. II приложений? = Г₀₉= 1,64, а при конкурирующей гипотезе Я₂ — из условия (10.7), т. е. Ф^_кр) = 1−0,05 = 0,95, откуда по таблице ?_кр = ?₀₉₅= 1,96.

Так как фактически наблюдаемое значение t = 4,00 больше критического значения ?_кр (при любой из взятых конкурирующих гипотез), то гипотеза Я₀ отвергается, т. е. на 5%-ном уровне значимости можно сделать вывод, что новая технология позволяет повысить среднюю выработку рабочих. ?

Будем теперь предполагать, что распределение признака (случайной величины) X и Y в каждой совокупности имеет нормальный закон. В этом случае, если дисперсии а² и а² известны, то проверка гипотезы проводится так же, как описано выше, не только для больших, но и для малы> по объему выборок.

Если же дисперсии о² и о² неизвестны, но равны, т. е. о² = о² = а², тс в качестве неизвестной величины а² можно взять ее оценку — «исправленную» выборочную дисперсию.

Однако «лучшей» оценкой для а² будет дисперсия «смешанной» совокупности объема щ + п₂, т. е.

а оценкой дисперсии разности независимых выборочных средних.

(обращаем внимание на то, что число степеней свободы k = п_х + п₂ — 2 на 2 меньше общего числа наблюдений п_{ + п₂, так как две степени свободы «теряются» при определении по выборочным данным средних х и у). Доказано, что в случае справедливости гипотезы #₀ статистика.

имеет^{-распределение} Стьюдента с k = п_х + п₂ — 2 степенями свободы. Поэтому критическое значение статистики t находится по тем же формулам.

(10.6) или (10.7) в зависимости от типа критической области, в которых вместо функции Лапласа Ф (^) берется функция 0(?,&) для распределения Стыодеита при числе степеней свободы k = п_{ + п₂ — 2, т. е. 0(?,&) =1−2а или Q (t, k) = l-a.

При этом сохраняется то же правило опровержения (принятия) гипотезы: гипотеза #₀ отвергается на уровне значимости а, если |^|>^_2а^ (в случае односторонней критической области), либо если 111 > t_x__a.^ (в случае двусторонней критической области); в противном случае гипотеза Я₀ не отвергается (принимается).

Замечание. Если дисперсии о² и о² неизвестны и не предполагается, что они равны, то статистика t = [x-y) /$х-у также имеет^{-распределение} Стыодента, однако соответствующее ему число степеней свободы определяется приближенно и более сложным образом.

> Пример 10.2. Произведены две выборки урожая пшеницы: при своевременной уборке урожая и уборке с некоторым опозданием. В первом случае при наблюдении 8 участков выборочная средняя урожайность составила 16,2 ц/га, а среднее квадратическое отклонение — 3,2 ц/га; во втором случае при наблюдении 9 участков те же характеристики равнялись соответственно 13,9 ц/га и 2,1 ц/га. На уровне значимости, а = 0,05 выяснить влияние своевременности уборки урожая на среднее значение урожайности.

Решение. Проверяемая гипотеза #₀: х₀ = г/₀, т. е. средние значения урожайности при своевременной уборке урожая и с некоторым опозданием равны. В качестве альтернативной гипотезы берем гипотезу Н_{: х₀>у₀, принятие которой означает существенное влияние на урожайность сроков уборки.

Фактически наблюдаемое значение статистики критерия по формуле.

(10.8).

Критическое значение статистики для односторонней области определяется при числе степеней свободы k = п_л+ п₂ — 2 = 9 + 8 — 2 = 15 из условия Q (t_yk) = 1−2-0,05 = 0,9, откуда по табл. IV приложений ?₀, 9_;i5⁼ 1>75. Так как t = 1,62 < ?₀, 9;i5⁼ 1>75, то гипотеза #₀ принимается. Это означает, что имеющиеся выборочные данные на 5%-ном уровне значимости не позволяют считать, что некоторое запаздывание в сроках уборки оказывает существенное влияние на величину урожая. Еще раз подчеркнем, что это не означает безоговорочную верность гипотезы #₀. Вполне возможно, что только незначительный объем выборки позволил принять эту гипотезу, а при увеличении объемов выборки (числа отобранных участков) гипотеза Н₀ будет отвергнута. ?

Сравнение средних нескольких совокупностей. Эта задача рассматривается в гл. 11 «Дисперсионный анализ».

Исключение грубых ошибок наблюдений. Рассмотренный критерий можно применять для исключения грубых ошибок наблюдений. Грубые ошибки могут возникнуть из-за ошибок показаний измерительных приборов, ошибок регистрации, случайного сдвига запятой в десятичной записи числа и т. д.

Пусть, например, х*, х_и х₂,…, х" — совокупность имеющихся наблюдений, причем х* резко выделяется. Необходимо решить вопрос о принадлежности резко выделяющегося значения к остальным наблюдениям.

Для ряда наблюдений x_vx₂,…, х_п рассчитывают среднюю арифметическую х и «исправленное» среднее квадратическое отклонение s. При справедливости гипотезы Я₀: х₀=х* о принадлежности х* косталь;

х — X*.

ным наблюдениям статистика t = —-— (получаемая как частный случай из фор;

s

мулы (10.8) при у = х*, п₂ = 1) имеет^{-распределение} Стьюдента с k = п — 1 степенями свободы. Конкурирующая гипотеза Н_{ имеет вид: х₀ > х* или х₀ < х* — в зависимости от того, является ли резко выделяющееся значение больше или меньше остальных наблюдений. Гипотеза Я₀ отвергается, если У > ?_кр, и принимается, если |^| < ?_кр.

> Пример 10.3. Имеются следующие данные об урожайности пшеницы на 8 опытных участках одинакового размера (ц/га): 26,5; 26,2; 35,9; 30,1; 32,3; 29,3; 26,1; 25,0. Есть основание предполагать, что значение урожайности третьего участка х* = 35,9 зарегистрировано неверно. Является ли это значение аномальным (резко выделяющимся) на 5%-ном уровне значимости?

Решение. Исключив значение х* =35,9, найдем для оставшихся наблюдений х =27,93 (ц/га) и s = 2,67 (ц/га). Фактически наблюдаемое значение 35,9−27,93.

t = —¹-¹— = 2,98 больше табличного t_K[) = t_x__2а."_₁ = ?₀₉.₆ = 1,94, следова;

2,67 ¹

тельно, значение х* = 35,9 является аномальным, и его следует отбросить. ?

• [1] В литературе такие критерии называются также свободными от распределения.
• [2] Поэтому проверку гипотез такого тина называют проверкой (оценкой) значимости
• [3] (iсущественности) различия выборочных средних или других характеристик.
• [4] (iсущественности) различия выборочных средних или других характеристик.
• [5] (iсущественности) различия выборочных средних или других характеристик.
• [6] (iсущественности) различия выборочных средних или других характеристик.