Решение дифференциальных уравнений параболического типа, содержащих производную по координате первого порядка

Постановка задачи

В разделе 1.6 мы рассматривали математическую модель трубчатого реактора с продольным перемешиванием, в котором протекает простая необратимая реакция. Баланс по концентрации исходного реагента для нестационарного режима имеет вид:

где с — концентрация исходного реагента; и — линейная скорость потока; к — константа скорости химической реакции; х — координата по длине реактора; D_l— коэффициент диффузии.

Данное уравнение относится к дифференциальным уравнениям параболического типа. Однако оно отличается от уже изученных нами уравнений параболического типа наличием первой производной по координате. Рассмотрим влияние этой производной на характеристики и методику решения разностных схем, аппроксимирующих одномерное дифференциальное уравнение параболического типа.

Для простоты дальнейшего изложения мы будем рассматривать одномерные дифференциальные уравнения параболического типа, содержащие производную по координате первого порядка, в следующем общем виде:

Значение параметра и в общем случае может быть положительным или отрицательным. Напомним, что согласно правилу выбора конечной разности для аппроксимации производной первого порядка по координате при положительном и следует использовать левую конечную разность, при отрицательном и — правую конечную разность. Поэтому рассмотрим только случай и > 0 (случай и < 0 будет аналогичным при аппроксимации производной ди/дх левой конечной разностью). Также отдельно рассмотрим случай аппроксимации первой производной по координате центральной конечной разностью.

Уравнение (6.1) следует дополнить начальным и граничными условиями (для определённости будем рассматривать граничные условия 1-го рода):