Схема со стабилизирующей поправкой

Преобразуем с помощью метода дробных шагов неявную разностную схему (9.4) в схему со стабилизирующей поправкой, имеющую вид с учётом обозначений (9.2):

Для записи схемы (9.16) необходимо выделить два пространственных направления (в данном случае у и г) и учесть поправку по каждому из них (во второй и третьей подсхемах, соответственно). Схема.

Рис. 9.3. Блок-схема решения схемы расщепления (9.7)—(9.9), аппроксимирующей трёхмерное дифференциальное уравнение параболического типа.

со стабилизирующей поправкой (9.16) рекомендуется для использования в случае, если существует особенность поведения (например, осцилляции) искомой функции u (t, х_у у у г) в одном или двух пространственных направлениях.

Первая подсхема в схеме со стабилизирующей поправкой (9.16) аппроксимирует производную по времени на первой трети интервала At и является неявной по координате х_у явной по координате у и явной по координате г. Вторая подсхема аппроксимирует производную du/dt на второй трети интервала At, является неявной по координате у и учитывает поправку по этой координате. Третья подсхема аппроксимирует производную du/dt на последней трети интервала At, является неявной по координате z и учитывает поправку по этой координате. Каждая из подсхем (как и в случае схемы расщепления (9.7)-(9.9)) является абсолютно устойчивой и решается с помощью метода прогонки.

Складывая подсхемы, получаем:

Данное соотношение показывает, что схема со стабилизирующей поправкой (9.16) имеет, как и неявная разностная схема (9.4), первый порядок аппроксимации, но времени и второй — по каждой из координат:

Алгоритм решения схемы со стабилизирующей поправкой (9.16) аналогичен алгоритму решения схемы расщепления (9.7)-(9.9). Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

— для первой подсхемы.

— для второй подсхемы

— для третьей подсхемы.

Легко видеть, что для всех трёх подсхем достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется.