Статистические методы. 
Статистические методы

Задание 1. По исходным данным построить интервальный ряд распределения по группировочному признаку. Группировку провести с равными интервалами, выделив четыре или пять групп, исходные данные округлить, если это необходимо. Для целей анализа вариации признака применить показатели центра распределения, к которым относятся средняя арифметическая, мода и медиана. Для характеристики формы распределения рассчитать показатели асимметрии и эксцесса. Проанализировать полученные значения показателей центра распределения и формы распределения. Сформулировать вывод Таблица 1.

Исходные данные для 7 варианта.

№ п/п.	Чистая прибыль отчетного периода, тыс. руб.	Основные средства, тыс. руб.

Решение Если в результате группировки указываются только значения группировочного признака и число единиц, имеющих соответствующее значение признака, то получается ряд распределения единиц совокупности по значению данного группировочного признака. Чтобы выявить характер распределения, его закономерность, строят ряды распределения. Ряды, образованные по количественным признакам, называют вариационными рядами. Они могут быть дискретными, если указаны отдельные варианты признака, и интервальными, если указаны интервалы, в которых заключены значения признака.

Построим интервальный ряд распределения по данным о величине основных средств предприятий за «N» год. Величины интервалов примем равными, число групп зададим равным 5.

Таблица 2.

Исходные данные для решение задания 1.

№ п/п.	Основные средства.	№ п/п.	Основные средства.	№ п/п.	Основные средства.

Если интервалы равные, то его величина определяется по формуле:

где h— величина интервала; - число групп;- размах вариации; -максимальное значение группировочного признака в совокупности; -минимальное значение группировочного признака.

.

Границы групп.

Номер группы.	Границы.
Верхняя.	Нижняя.
		41 006,6.
	41 006,6.	70 460,2.
	70 460,2.	99 913,8.
	99 913,8.	129 367,4.
	129 367,4.

Одно и то же значение признака служит верхней и нижней границами двух смежных (предыдущей и последующей) групп. Если значение признака единицы совокупности совпадает с верхней границей интервала, то единица относится к данной группе. После определения границ интервалов можно составить рабочую таблицу, в которую свести первичный статистический материал. Результаты группировки оформим в виде таблицы.

статистический сводка интервальный индексный Таблица 3.

Группировка предприятий по величине основных средств, тыс. руб.

Группы предприятий.	Предприятие №.	Частота.	Середина интервала.	Накопленная частота.
11 553 — 41 006,6.	7, 9, 11, 13, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 27, 28, 29.		26 279,8.	367 917,2.
41 006,6 — 70 460,2.	12, 14,15, 16, 23, 35, 36.		55 733,4.	390 133,8.
70 460,2 — 99 913,8.	8, 10, 18, 22, 30.
99 913,8 — 129 367,4.	32, 34.		114 640,6.	229 281,2.
129 367,4 — 158 821.	31, 33.		144 094,2.	288 188,4.
Итого.

Рассчитаем показатели центра распределения, Mo, Me.

Среднюю величину в интервальном ряду распределения определим по формуле средней арифметической взвешенной.

.

где — средняя величина; nчисло единиц совокупности.

тыс. руб.

В интервальном ряду распределения сразу можно указать только интервал, в котором будут находиться мода или медиана. Медиана соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

.

Медианным является интервал 41 006,6 — 70 460,2 тыс. руб., так как в этом интервале накопленная частота больше медианного номера.

Моданаиболее часто встречающееся значение признака в совокупности. Для данного ряда распределения мода находится в интервале11 553 — 41 006,6 тыс. руб.

Для определения величин моды и медианы используют следующие формулы:

гденачало модального интервала; - величина модального интервала (в случае равных интервалов =h);- частота, соответствующая модальному интервалу; - частота интервала, предшествующего модальному;- частота интервала, следующего за модальным.

.

гденижняя граница медианного интервала;-величина медианного интервала (для равных интервалов=h);- накопленная частота интервала, предшествующего медианному;- частота медианного интервала.

тыс. руб.,.

тыс. руб.

Выяснение общего характера распределения включает также оценку формы распределения, определение показателей асимметрии (As) и эксцесса (EX).

Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равноотстоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой. Для симметричных распределений имеет место равенство средней арифметической, моды и медианы. В связи с этим простейший показатель асимметрии основан на соотношении показателей центра распределения. Величина показателя асимметрии может быть положительной и отрицательной. Положительная величина указывает на наличие правосторонней асимметрии. При правосторонней асимметрии между показателями центра распределения существует соотношениеMo<�МеМе>. В нашем примере 31 188,73 < 45 214,26 < 56 715,2, что указывает на правостороннюю асимметрию.

Наиболее точным и распространенным показателем асимметрии является моментный коэффициент асимметрии.

As= М₃/s³,.

где-центральный моментl-го порядка;

— среднее квадратическое отклонение.

Оценка существенности показателя асимметрии дается с помощью средней квадратической ошибки коэффициента асимметрии.

.

Если выполняется соотношение |As| /s_As< 3, то асимметрия несущественная, ее наличие объясняется влиянием различных случайных обстоятельств. Если имеет место соотношение |As| /s_As> 3, то асимметрия существенная и распределение признака в генеральной совокупности не является симметричным.

Таблица 4.

Расчет центральных моментов.

Группы предприятий.
11 553 — 41 006,6.		26 279,8.	— 30 435,387.		— 394 697 619 008 380.
41 006,6 — 70 460,2.		55 733,4.	— 981,78 667.	6 747 335,412.	— 6 624 443 942,94.	6 503 790 737 261,58.
70 460,2 — 99 913,8.			28 471,8133.
99 913,8 — 129 367,4.		114 640,6.	57 925,4133.
129 367,4 — 158 821.		144 094,2.	87 379,0133.
У.
У/n.	1 300 307 924,38.

;

;

;

;

1,026/0,41 = 2,5 < 3 — несущественная правосторонняя асимметрия.

Применяются также структурные показатели (коэффициенты) асимметрии, характеризующие асимметрию только в центральной части распределения, т. е. основной массы единиц, и независящие от крайних значений признака. Рассчитаем структурный коэффициент асимметрии Пирсона.

Что подтверждает вывод о правосторонней асимметрии, сделанный ранее.

Другой характеристикой формы распределения является эксцесс (излишество). Под эксцессом понимают островершинность или плосковершинность распределения по сравнению с нормальным распределением. Эксцесс определяется только для симметричных и умеренно асимметричных распределений. Чаще всего эксцесс оценивается с помощью показателя.

Для распределений более островершинных (вытянутых), чем нормальное, показатель эксцесса положительный (>0), для более плосковершинных (сплюснутых) — отрицательный (<0), т.к. для нормального распределения М₄/ s⁴= 3.

Чтобы оценить существенность эксцесса рассчитывают статистику.

|Ex| /s_Ex,.

гдесредняя квадратическая ошибка коэффициента эксцесса.

Если отношение |Ex|/s_Ex> 3, то отклонение от нормального распределения считается существенным.

0,044/0,7 = 0,063 < 3 — Распределение незначительно круче по сравнению с нормальным распределением.

Задание 2. Для выявления зависимости между экономическими показателями деятельности предприятий провести аналитическую группировку. Рассчитать коэффициенты вариации по группировочному признаку на основании исходных и сгруппированных данных. Объяснить расхождения в значениях полученных коэффициентов. Для выполнения задания использовать полученную в задании 1 группировку Решение Группировка — это процесс образования однородных групп на основе разбиения статистической совокупности на части или объединения изучаемых единиц в частные совокупности по существенным для них признакам. Группировка является основой научной сводки и обработки статистических данных. Различны виды группировок и задачи, выполняемые ими. Применяют группировки:

• -типологические для построения описания объекта статистического наблюдения;
• -структурные для характеристики структуры и структурных сдвигов в исследуемой совокупности;
• -аналитические — для выявления статистических связей между признаками изучаемого явления, процесса.

Для выявления зависимости между показателями деятельности предприятий построим аналитическую группировку, рассчитаем абсолютные и относительные показатели вариации по исходным и сгруппированным данным. Для удобства расчетов переведем тыс. руб. в млн. руб.

Таблица 5.

№ п/п.	Чистая прибыль, млн. руб.	Основные средства, млн. руб.
	2,363.	12,95.	— 43,77.	1915,81.
	1,007.	84,609.	27,89.	777,85.
	1,145.	13,596.	— 43,12.	1859,33.
	0,998.	79,203.	22,49.	505,8.
	8,124.	29,351.	— 27,36.	748,57.
	1,478.	62,651.	5,94.	35,28.
	0,941.	40,633.	— 16,08.	258,57.
	18,18.	64,567.	7,85.	61,62.
	3,03.	58,711.
	8,882.	62,741.	6,03.	36,36.
	4,813.	20,705.	— 36,01.	1296,72.
	1,653.	72,342.	15,63.	244,3.
	4,589.	14,546.	— 42,17.	1778,31.
	9,882.	19,107.	— 37,61.	1414,51.
	1,235.	18,184.	— 38,53.	1484,56.
	13,123.	87,21.	30,5.	930,25.
	2,271.	57,195.	0,48.	0,23.
	1,17.	11,553.	— 45,16.	2039,43.
	2,189.	40,15.	— 16,57.	274,56.
	1,776.	13,488.	— 43,23.	1868,83.
	1,621.	39,282.	— 17,43.	303,8.
	2,017.	33,465.	— 23,25.	540,56.
	6,154.	32,176.	— 24,54.	602,21.
	7,85.	92,805.	36,09.	1302,49.
	10,413.	135,305.	78,59.	6176,39.
	20,891.	115,587.	58,87.	3465,68.
	1,007.	158,821.	102,11.	10 426,45.
	22,364.	106,447.	49,73.	2473,07.
	5,076.	52,187.	— 4,53.	20,52.
	11,429.	46,234.	— 10,48.	109,83.
Всего.	177,671.	1675,801.	42 955,89.

Произведем построение аналитической группировки.

Таблица 6.

Аналитическая группировка предприятий по основным средствам и чистой прибыли, млн. руб.

Группы предприятий.	Предприятие №.	Частота.	Всего по группе.	Средний размер по группе.	Всего по группе.	Средний размер по группе.
11 553 — 41 006,6.	7, 9, 11, 13, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 26, 27, 28, 29.		339,19.	24,23.	48,02.	3,43.
41 006,6 — 70 460,2.	12, 14,15, 16, 23, 35, 36.		404,29.	57,76.	50,34.	7,19.
70 460,2 — 99 913,8.	8, 10, 18, 22, 30.		416,17.	83,23.	24,63.	4,93.
99 913,8 — 129 367,4.	32, 34.		222,03.	111,02.	43,26.	21,63.
129 367,4 — 158 821.	31, 33.		294,12.	147,06.	11,42.	5,71.
Итого.		1675,80.	177,67.

Объемы признаков по группам рассчитывается путем сложения значений соответствующих признаков предприятий из рассматриваемых групп, средние размеры признаков по группам определяются соотношениями.

; .

Расчет средней величины проведем по средней арифметической простой (по исходным данным табл. 1.5) и по средней арифметической взвешенной (по сгруппированным данным табл. 1.3).

Формулы для расчета средних величин имеют вид:

.

Здесьn— численность совокупности;- варианта или значение признака (для интервального ряда принимает серединное значение);- частота повторения индивидуального значения признака (его вес).

Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем колеблется величина признака у единиц исследуемой совокупности и определяется в зависимости от характера исходных данных.

При расчете по исходным данным используем формулу:

;

по сгруппированным данным:

.

Величина вариации признака в статистической совокупности характеризует степень ее однородности, что имеет большое практическое значение. Относительным показателем уровня вариации признака является коэффициент вариации (н).Он представляет собой отношение среднего квадратического отклонения к средней величине признака и выражается обычно в процентах:

.

гдеs-среднее квадратическое отклонение;-средняя величина.

Считают, что если коэффициент вариации больше 33%, то совокупность неоднородна и ее средняя нетипична.

млн. руб.;

по сгруппированным данным:

млн. руб.

Среднее квадратическое отклонение по исходным данным:

млн. руб.;

по сгруппированным данным:

млн. руб.

Коэффициент вариации по исходным данным:

;

по сгруппированным данным:

.

В обоих расчетах коэффициент вариации значительно больше 33%. Следовательно, рассмотренная совокупность неоднородна и средняя для нее недостаточно типична. В таком случае при практических исследованиях различными статистическими приемами приводят совокупность к однородному виду.

Задание 3. Провести 50% механическую выборку из совокупности данных Вашего варианта по результативному признаку. Начало отбора начинать с номера предприятия, совпадающего с номером Вашего варианта. С вероятностью 0,95 рассчитать по выборочной совокупности границы изменения средней величины и сравнить со средней, рассчитанной по всей исследуемой совокупности. Сформулировать вывод Решение Выборочное наблюдение — один из наиболее распространенных видов несплошного наблюдения. При этом обследуются не все единицы генеральной совокупности, а лишь их часть.

Таблица 7.

№ п/п.	Чистая прибыль отчетного периода, млн. руб.	№ п/п.	Чистая прибыль отчетного периода, млн. руб.
	2,363.		13,123.
	1,007.		2,271.
	1,145.		1,170.
	0,998.		2,189.
	8,124.		1,776.
	1,478.		1,621.
	0,941.		2,017.
	18,180.		6,154.
	3,030.		7,850.
	8,882.		10,413.
	4,813.		20,891.
	1,653.		1,007.
	4,589.		22,364.
	9,882.		5,076.
	1,235.		11,429.
Всего.	177,671.

Механическая выборка предполагает, что отбор единиц совокупности производится через равные промежутки, т. е. через определенное число единиц. Следовательно, нужно установить шаг отсчета, т. е. расстояние между отбираемыми единицами, и начало отсчета, т. е. номер той единицы, которая должна быть обследована первой.

По заданию следует начать с номера предприятия, совпадающего с номером варианта. При 50% выборке шаг отсчета (1/0,5) равен 2.

Таблица 8.

Исходные данные.

№ п/п.	Чистая прибыль отчетного периода, млн. руб.	№ п/п.	Чистая прибыль отчетного периода, млн. руб.
	2,363.		2,271.
	1,145.		2,189.
	8,124.		1,621.
	0,941.		6,154.
	3,030.		10,413.
	4,813.		1,007.
	4,589.		5,076.
	1,235.	Всего.	54,971.

Величина ошибки механического отбора определяется по формуле случайного бесповторного отбора:

.

Где N— объем генеральной совокупности (число входящих в нее единиц);n— объем выборки (число обследованных единиц);- дисперсия признака в генеральной совокупности.

Для расчета границ изменения средней характеристики генеральной совокупности по материалам малой выборки воспользуемся следующими формулами:

.

где-средняя генеральной совокупности;

— средняя выборочной совокупности;

;

— выборочная дисперсия признака;

— предельная ошибка малой выборки;

— средняя ошибка малой выборки;

— нормированное отклонение, коэффициент кратности (доверия), задаваемый табличным значениемt — распределения Стьюдента c k = n — 1степенями свободы и уровне значимостиб=1-p .

Наиболее часто употребляемые уровни доверительной вероятности и соответствующие значения коэффициента доверияtдля выборок малого объема приведены в таблице:

Значенияt — распределения Стьюдента ().

k.	0,95.	0,99.	0,999.
	2,262.	3,250.	4,781.
	2,145.	2,977.	4,140.
	2,093.	2,861.	3,883.

Расчет выборочных показателей произведем в таблице.

Таблица 9.

№ п/п.	Чистая прибыль отчетного периода, млн. руб.
	2,363.
	1,145.
	8,124.
	0,941.
	3,03.
	4,813.
	4,589.
	1,235.
	2,271.
	2,189.
	1,621.
	6,154.
	10,413.
	1,007.
	5,076.
Всего.	54,971.

Средняя чистая прибыль на одном предприятии по выборочной совокупности равна:

млн. руб.

выборочная дисперсия.

;

число степеней свободы k= 14; коэффициента доверия= 2,145; n / N= 15 / 30 = 0,5, т. к. процент отбора составляет 50%;

.

Рассчитаем предельную ошибку и определим границы изменения средней:

.

Таким образом, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что чистая прибыль на одном предприятии в генеральной совокупности будет находиться в пределах от — 1,709 млн руб. до 9,029 млн руб.

Средняя прибыль для исследуемой совокупности предприятий = 177,671/30 = 5,922 находится в доверительном интервале значений.

Задание 4. По данным своего варианта исчислите:

• 1. Базисные, цепные и среднегодовые показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста величины прожиточного минимума.
• 2. Среднегодовую величину прожиточного минимума.
• 3. Изобразите динамику величины прожиточного минимума на графике

Таблица 10.

Исходные данные.

Номер варианта.	Величина прожиточного минимума.	Период в кварталах.
	В целом по РФ на душу населения.	IIIкв. 2007 -IVкв. 2009.

Решение Таблица 11.

Величина прожиточного минимума по кварталам.

Период в кварталах.	IIIкв. 2007.	IVкв. 2007.	I кВ. 2008.	II кВ. 2008.	IIIкв. 2008.	IVкв. 2008.	I кВ. 2009.	II кВ. 2009.	IIIкв. 2009.	IVкв. 2009.
Величина, руб.

Динамический ряд представляет собой ряд последовательных уровней, сопоставляя которые между собой можно получить характеристику скорости и интенсивности развития явления. В результате сравнения уровней получается система абсолютных и относительных показателей динамики, к числу которых относятся абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение одного процента прироста и пункты роста. Показатели динамики могут представляться также в виде коэффициентов (в долях единицы).

Абсолютный прирост ()определяется как разность между двумя уровнями динамического ряда. При сравнении с постоянной базой он равен:

.

гдеабсолютный прирост базисный;- уровень сравниваемого периода;- уровень базисного периода.

При сравнении с переменной базой.

.

гдеабсолютный прирост цепной;- уровень непосредственно предшествующего периода.

Темп роста определяется как отношение двух сравниваемых уровней. При сравнении с постоянной базой.

.

При сравнении с переменной базой.

.

Темп прироста показывает, на сколько процентов уровень данного периода больше (меньше) базисного или предшествующего уровня.

или.

также определяется как разность между темпом роста и 100%.

.

Абсолютные значения одного процента прироста равны:

,.

Пункты роста, прироста определяются соотношениями.

.

Определим средние показатели динамики.

Средний уровень интервального ряда динамики задается в простой и взвешенной форме (для ряда с неравными интервалами).

,.

где-величины интервалов.

Средний уровень моментного ряда определяется средней хронологической простой и взвешенной (с неравноотстоящими уровнями ряда).

;-интервал времени между смежными уровнями ряда.

Средний абсолютный прирост:

.

Среднегодовой темп роста определяется по формуле среднегеометрической:

.

Средний темп прироста вычисляется через средний темп роста.

.

Данные расчета представим в таблице.

Таблица 12.

Итоги расчета.

Период.	Прожиточный минимум, руб.	Абсолютный прирост, тыс. руб.	Темп роста, %.	Темп прироста, %.
IIIкв. 2007.		;		;		;
IVкв. 2007.				103,2.	103,2.	3,2.	3,2.
I кВ. 2008.				109,9.	113,5.	9,9.	13,5.
II кВ. 2008.				105,5.	119,8.	5,5.	19,8.
IIIкв. 2008.		— 16.		99,7.	119,4.	— 0,3.	19,4.
IVкв. 2008.				101,4.		1,4.
I кВ. 2009.				108,3.		8,3.
II кВ. 2009.					133,7.		33,7.
IIIкв. 2009.				100,2.		0,2.
IVкв. 2009.		— 54.			132,6.	— 1.	32,6.
S.

Рассчитаем средние показатели:

руб. -средний уровень;

руб. -средний абсолютный прирост;

— средний темп роста.

Рассчитанные показатели динамики характеризуют изменение еличины прожиточного минимума. Абсолютный прирост выражает абсолютную скорость роста прожиточного минимума, по сравнению с IIIкв. 2007 года он составил 1265 рублей. Темп роста показывает, что величина рожиточного минимума за IVкв. 2009 года составляет 132,6% от уровня базисногоIIIкв. 2007 года. Темп прироста дает возможность оценить на сколько процентов прожиточный минимум в IVкв. 2009 года возрос по сравнению с IIIкв. 2007 года — 32,6%.

Задание 5. По данным своего варианта определите:

• 1) Общие индексы цен, физического объема проданных товаров, выручки от реализации товаров. Какую роль в изменении выручки от реализации товаров сыграли изменения цен и количества проданных товаров?
• 2) Абсолютную величину изменения расходов населения в связи с изменением цен.

Решение В практике статистики с помощью индексов анализируются результаты производственно-хозяйственной деятельности предприятий и организаций, исследуется роль отдельных факторов в формировании важнейших экономических показателей, выявляются резервы производства. По степени охвата элементов совокупности различают индивидуальные и общие индексы.

Реализация строительных материалов.

Вариант №.	Вид товара.	Предыдущий период.	Отчетный период.
Кол-во, шт.	Цена за единицу, руб.	Кол-во, шт.	Цена за единицу, руб.
	Садовый бордюр		69,7.		72,5.
Бордюр дорожный.		170,8.		174,5.

Рассчитаем общий индекс товарооборота по формуле:

.

Товарооборот в августе снизился на 7% по сравнению с июлем.

Общий индекс физического объема товарооборота (количества проданных товаров) исчислим по формуле:

.

Количество проданного товара в августе было меньше на 13,7%, чем в июле.

Общий индекс цен рассчитаем по следующей формуле:

Цены на оба товара в среднем выросли на 7,8%.

Прирост товарооборота за счет изменения цен составит:

руб.

В то же время произошло снижение товарооборота за счет изменения количества проданных товаров:

руб.

Задание 6. Для выявления зависимости между группировочным и результативным показателями по данным своего варианта, приведенным в табл. 2, рассчитайте линейный коэффициент корреляции. Постройте линейное уравнение парной регрессии Решение Для ответа на вопрос о наличии или отсутствии корреляционной связи в статистике используется ряд специфических методов: параллельное сопоставление рядов значений результативного и факторного признаков, графическое изображение исходных данных, а также корреляционный анализ. Охарактеризовать зависимость вариации результативного признака от вариации признака-фактора дают возможность показатели степени тесноты связи. К простейшим показателям тесноты связи относят коэффициент корреляции знаков. Более совершенным является линейный коэффициент корреляции ().

Рассмотрим пример. По данным о стоимости основных производственных фондов и объеме валовой продукции предприятий необходимо оценить тесноту связи признаков, построить линейное уравнение регрессии.

Линейный коэффициент корреляцииможет принимать любые значения в пределах от -1 до +1. Чем ближе коэффициент корреляции по абсолютной величине к 1, тем теснее связь между признаками. Знак при линейном коэффициенте корреляции указывает на направление связи — прямой зависимости соответствует плюс, а обратной зависимости — знак минус. Считают, что если коэффициент корреляции более 0,9, то связь между исследуемыми признаками тесная. Степень тесноты связи определяется шкалой Чеддока:

0,1 — 0,3.	0,3 — 0,5.	0,5 — 0,7.	0,7 — 0,9.	0,9 — 1,0.
слабая.	умеренная.	заметная.	высокая.	тесная.

Расчет линейного коэффициента корреляции производится по следующей формуле:

=,.

==,.

где, — индивидуальные значения факторного и результативного признаков;,-средние значения признаков;-средняя из произведений индивидуальных значений признаков;, — выборочные средние квадратические отклонения признаков.

Табл…