Характеристика третьей подсхемы

Третья подсхема (9.9) схемы расщепления, являясь аналогом неявной разностной схемы для одномерного дифференциального уравнения параболического типа, обладает всеми свойствами последней: она абсолютно устойчива, решается с помощью метода прогонки.

Приведём подсхему (9.9) к виду (4.10), удобному для использования метода прогонки:

Коэффициенты, соответствующие уравнению (4.10), имеют вид:

Легко видеть, что для третьей подсхемы (9.9) схемы расщепления достаточное условие сходимости прогонки (4.16) выполняется:

Рекуррентное прогоночное соотношение для третьей подсхемы.

(9.9) имеет вид:

Прогоночные коэффициенты определяются согласно соотношениям (4.13):

Для определения значений прогоночных коэффициентов на 1-м шаге, т. е. §, p," и решения на правой границе используются граничные условия по координате г. Методики определения, а также алгоритм решения аналогичны описанным ранее в разделе 4.2.2. Отличие состоит лишь в том, что соотношения (9.14) и (9.15) включают переменные j и k_y поэтому необходимо задать внешние циклы по этим переменным:

следовательно, при решении третьей подсхемы (9.9) (т.е. на последней трети интервала ДО метод прогонки будет использован (N_x -2){N_y -2) раза.

Результатом решения третьей подсхемы (9.9) схемы расщепления являются значения функции u{t_y х_у у_у г) на (п + 1)-м шаге по времени.

Алгоритм решения

На рис. 9.3 приведён алгоритм решения (в виде блок-схемы) схемы расщепления (9.7)-(9.9), являющейся наиболее простым способом интерпретации неявной разностной схемы (9.4), аппроксимирующей трехмерное дифференциальное уравнение параболического типа (9.1).