Проверка гипотез при использовании линейной регрессии

Для проверки гипотез относительно углового коэффициента и отрезка на оси ординат в регрессионной модели необходимо принять дополнительное допущение о нормальности распределения слагаемого ошибки Ej, т. е. е_; ~ N (0, ст²). Позднее обсудим, как эти предположения могут быть проверены с помощью анализа остатков.

Пусть экспериментатор хочет проверить гипотезу о том, что угловой коэффициент принимает некоторое значение, например, р ₁₀. Подходящими гипотезами являются.

т.е. задана двусторонная альтернатива. Тогда из s_; — N (0, а²) непосредственно следует, что наблюдения^ ~ Л/(р₀ + р, х, а²). Таким образом, pj является линейной комбинацией независимых случайных нормально распределенных переменных, значит, р_х — jV (Pj, a ¹/S_XX) (при этом учтены несмещенность р_х и выражение для дисперсии р₂). Величины р_а и S_01II/(n — 2) независимы, а тогда вследствие допущения о нормальности оказывается, что при Н₀: Pj = Р₁₀ статистика.

подчиняется t-распределению с п — 2 степенями свободы. Гипотеза Н₀: р j = р ₁₀ отклоняется, если 11₀1 > t_a/2. _п_₂, где t₀ находится из (5.10). Аналогичную процедуру можно использовать для проверки гипотез относительно отрезка на оси ординат. Для проверки гипотез Н₀: р_о = р_оо; Н_г: Р₀ ^ р_оо используется статистика.

и гипотеза Н₀ отклоняется, если 11₀1 > t_a/2. _п_₂. Важным частным случаем является проверка гипотез Н₀: р_а = 0; Н_г: р_а * 0. Гипотеза Н₀: р₂ = 0 связана со значимостью регрессии. Принятие этой гипотезы эквивалентно выводу о том, что между х иу нет линейной связи, т. е. лучшей оценкой у_; при любом х_;— является у• = у. Во многих случаях это может означать, что междух и у нет причинной связи или что истинная связь нелинейна. Критерий проверки Н₀: р_х = 0 можно вывести двумя способами. При первом из них общая скорректированная сумма квадратов у разбивается на два компонента.

являющиеся мерами соответственно величин изменчивости у, объясняемой линией регрессии и остаточных изменений, ко;

торые линия регрессии не объясняет. Обычно S_0U1 = X (уу,)²

;= 1.

определяется как сумма квадратов ошибки, a S_per =? (У/ ~У З²

j= 1.

как регрессионная сумма квадратов (строго говоря, обе суммы скорректированные). Тогда соотношение (5.11) можно переписать в виде = S_per + S_0U1.

Расчетная формула для S_per находится из соотношения (5.8): S_per = (З^^.

Число степеней свободы S_yy составляет п — 1, а у S_per и S_01II оно равно 1 и п — 2 соответственно. Можно показать, что M[S_om/(ji — 2)] = ст² и M[S_pcr/l] = а² + и S_0UI и S_pcr независимы. Таким образом, если справедлива гипотеза Н₀: = О, то статистика.

подчиняется F-распределению с 1 и п — 2 степенями свободы, а гипотеза Н₀ отклоняется, если F₀ > F_a. _1;п_₂. Процедура проверки обычно оформляется в виде таблицы дисперсионного анализа (табл. 5.1).

Таблица 5.1. Дисперсионный анализ для проверки значимости регрессии.

Критерий значимости регрессии можно также получить из уравнения (5.10) при р₁₀ = 0, т. е.

Заметим, что t^ в этом соотношении эквивалентно F₀. И в общем случае оказывается справедливым утверждение, что квадрат случайной переменной, подчиняющейся t-распределению с/степенями свободы, подчиняется F-распределению с 1 и/ степенями свободы числителя и знаменателя соответственно. Таким образом, критерий, в котором используется t^, эквивалентен критерию, основанному на F₀.

Пример 5.1.

Проводилось исследование влияния скорости вытягивания слитка из кристаллизатора для непрерывной разливки сплавов на отклонение от заданного химического состава цветного металла (табл. 5.2).

Таблица 5.2. Результаты наблюдений

Была предложена линейная модель у = P₀ + Pi* + ?^H вычислены.

Используя (5.4) и (5.5), находим.

следовательно, подобранная модель имеет вид.

Если необходимо выразить модель в терминах исходного отрезка, то р_о = Ро — р_Ах = 13,87 — 0,46×31 = -0,29 и, поскольку у = Ро + pjX, получаем у = -0,29 + 0,46х.

Проверим значимость регрессии. Находим.

Таким образом,.

Поскольку F_00l. _{1; 10} = 10, гипотеза Н₀ отклоняется, следовательно, р! * 0 (табл. 5.3).

Таблица 5.3. Дисперсионный анализ