Теорема об общем решении однородной системы

Доказанная нами теорема позволяет ввести, как и в теории уравнений п-го порядка, понятие фундаментальной системы решений и обосновать, наконец, нашу гипотезу о формуле общего решения.

Определение 18.6 Набор из п решений системы (18.4) называется фундаментальной системой решений, если векторфункции, входящие в него, линейно независимы.

Теорема 18.3 Общие решение однородной системы (18−4) 'имеет вид

где х (t)…, xⁿ(t) произвольная фиксированная фундаментальная система решений.

Доказательство. Мы уже не в первый раз имеем дело с доказательством равенства двух множеств. Левая часть равенства (18.7) множество всех решений, правая некоторое множество функций, описываемое конечной формулой.

Включение левой части в правую следует из основных свойств решений линейной системы: линейная комбинация решений есть решение. Поэтому основное наше внимание будет сосредоточено на обратном включении, т. е. доказательстве того, что каждое решение всегда может быть представлено в виде линейной комбинации.

Пусть x (t) произвольное решение. Возьмем произвольную точку to и вычислим x (to)', это некоторый вектор, обозначим его через ?. Построим теперь другое решение линейную комбинацию.

но такую, чтобы она удовлетворяла тому лее начальному условию: y (tо) = ?. Это можно сделать, так как удовлетворение начальному условию эквивалентно системе алгебраических уравнений.

определитель которой есть определитель Вронского и не равен нулю в силу фундаментальности системы х^г(Ь).

Но в таком случае мы имеем два решения одной и той же системы первоначальное x (t) и построенное нами y (t). удовлетворяющее одному и тому же начальному условию. В силу теоремы существования и единственности (нас. конечно, интересует именно единственность) эти два решения обязаны совпадать. Значит, произвольно взятое решение x (t) нашей системы является линейной комбинацией фундаментальной системы решений. Теорема доказана.

Задание для самостоятельной работы.

1. Вычислите определитель Вронского для системы вектор-функций.

Каверзный вопрос.