Отношение логического следования

Сущность всех дедуктивных умозаключений составляет отношение логического следования, выражаемое в простейшем виде утверждением «суждение /3 есть необходимое следствие суждения а». Именно это отношение делает суждения необходимыми следствиями других суждений (и себя самих также). Благодаря ему дедуктивные умозаключения в случае истинности своих посылок способны гарантировать истинные следствия. Если нет логического следования одних суждений из других, не может быть и дедуктивного умозаключения. Если умозаключение дедуктивно, задано отношение логического следования, есть посылки и заключения.

Отношение логического следования упорядочивает все суждения таким образом, что некоторые из них выполняют функцию посылок, а остальные — их необходимых заключений.

Заключение

называется дедуктивным, если и только если оно —.

необходимое следствие всех посылок.

Следствие называется необходимым, если и только если его дополнение (логическое отрицание) несовместимо с посылками.

Принимая во внимание проблему сохранения истины (см. «Введение»), возможно определить отношение логического следования просто как способность умозаключений сохранять истинность. Поскольку этот признак не единственный, ниже даются несколько равнозначных определений данного отношения.

Пусть а и Р обозначают произвольные множества суждений (в простейшем случае а и /3 обозначают суждения). Справедливо следующее определение, в котором все три условия взаимозаменяемые:

Р логически следует из а (р—дедуктивное заключение посылок а),

если и только если:

• 1) Р — необходимое следствие а;
• 2) если а истинно, то р также истинно;
• 3) объем «полностью включен в объем р(содержание рполностью включено в содержание а).

Допустим, а= «Сегодня понедельник», /3= «Сегодня понедельник или вторник». Докажем, используя введенное определение, что между суждениями а и Д существует отношение одностороннего логического следования: Д — дедуктивное следствие а, но не наоборот.

Логическим отрицанием р будет суждение_—i/З * «Неверно, что сегодня понедельник или вторник», которое эквивалентно суждению «Сегодня или среда, или четверг… или воскресенье». Но -«Д очевидно несовместимо с посылкой а. Значит, суждение р — необходимое, т. е. дедуктивное следствие а. В то же время логическое отрицание а, суждение —, а = «Неверно, что сегодня понедельник», совместимо с Д, когда сегодня означает вторник. Следовательно, а не может быть дедуктивным следствием Д Допустим, суждение а истинно. Тогда и суждение ртакже истинно, потому что его отрицание ->Д несовместимо с истинностью а. Значит, Р — необходимое и тем самым дедуктивное следствие а. Допустим теперь, что р истинно, а, а ложно. Ложность суждения а не опровергает истинность Д Стало быть, а не может быть дедуктивным следствием Д Объем суждения а равен классу «Сегодня первый день недели». Содержание а — сумме всех остальных альтернатив: «Сегодня второй день недели».. «Сегодня седьмой день недели». Объем суждения Д равен сумме классов «Сегодня первый день недели» и «Сегодня второй день недели». Содержание Д — сумме остальных возможностей: «Сегодня третий день недели».. «Сегодня седьмой день недели». Из сказанного следует, что объем суждения а включен в объем Д, а содержание последнего суждения есть часть содержания а. Значит, Д — необходимое и тем самым дедуктивное следствие суждения ос. Из этого также следует, что объем Д не является частью объема а и содержание а не есть часть Д. Следовательно, суждение а не может быть дедуктивным следствием суждения Д.

Введенное определение отношения логического следования распространяется как на понятия, так и на суждения и умозаключения. Оно образует фундамент всей логики (классической и неклассической). Различаются только способы вывода заключений, удовлетворяющие этому отношению, но само оно принадлежит к незыблемым основаниям логики как науки об открытии, обосновании и сохранении истины.

Отношение логического следования при истинности посылок гарантирует истинность заключения. На этом основании многие рационалисты считали, что при выборе надлежащих посылок одних только дедуктивных рассуждений достаточно, чтобы познать всю природу. Но оправданны ли эти надежды? Дедуктивные умозаключения действительно гарантируют перенос истинности с посылок на заключение, но при этом происходит неизбежная потеря логической информации. При последовательном выведении каждое новое следствие не может исключать больше, чем ему предшествующее. Поэтому чем длиннее цепь дедуктивных следствий, тем тривиальнее последнее из них.

Рассмотрим простой пример. Напомним, что логическая информация суждения пропорциональна числу исключаемых им классов универсума. Допустим, универсум состоит из восьми классов, образующих объем суждения «Некоторые 5естьР». Тогда логическая информация суждения «Только Sесть Р> равна 6/8, суждения «Все Sесть Р» — 4/8, суждения «Некоторые S есть Р» — 0. И все три суждения связаны отношением логического следования: «Некоторые 5 есть Р» следует из суждения «Все 5 есть Р», а последнее представляет необходимое следствие суждения «Только 5 есть Р». Таким образом, если истинно «Только S есть Р», то с необходимостью истинны «Все Sесть Р» и «Некоторые 5 есть Р». Будучи все истинными, каждое из них n. Meef разное информационное содержание, убывающее по мере увеличения длины цепи следствий. Это означает, что вывод одних только истинных следствий нельзя считать исчерпывающим критерием дедуктивного рассуждения. Необходимо также учитывать информативность выводимых следствий. Из рассмотренного примера следует также, что своеобразным пределом дедуктивного рассуждения выступает логически истинное суждение, каковым в нашем примере служит «Некоторые 5есть Р». Информативность таких суждений равна нулю. Следовательно, все попытки получить знание о мире с помощью одной только дедукции обречены, по крайней мере, на информационное бесплодие.

Приведенное определение логического следования общее, но оно еще неконструктивно, так как не указывает, как именно следует искать дедуктивные следствия из посылок. В следующем параграфе этот недостаток устраняется. Предлагается простой алгоритм вывода всех необходимых следствий из посылок, представляющих простые суждения.