Статистический метод проверки гипотез о гидродинамической структуре потоков в технологических аппаратах

К решению задачи синтеза оператора, описывающего гидродинамическую структуру потоков в техйологических аппаратах, можно подходить по-разному. Например, с точки зрения формальной теории дипамических систем задача сводится к проблеме минимальной реализации (см. § 2.5). В этом случае для решения задачи достаточно знать функцию отклика системы на известные входные возмущения. Однако при моделировании процессов в технологических аппаратах, как правило, нет необходимости считать объект «черным ящиком», так как почти всегда существует априорная информация о важнейших особенностях структуры потоков в аппарате. Другая менее формальная и более технологичная точка зрения на синтез математической модели гидродинамической структуры потоков в аппаратах состоит в выборе наилучшего в известном смысле оператора из ограниченного множества возможных операторов для аппарата данной конструкции.

Как уже упоминалось (см. § 4.1), естественной характеристикой гидродинамической обстановки в технологическом аппарате служит его весовая функция К (t), которая статистически интерпретируется как функция распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. В этом смысле весовая функция полностью характеризует линейную систему. В связи с этим задача синтеза интегрального оператора объекта сводится, во-первых, к дискриминации гидродинамической структуры потоков, т. е. установлению характера весовой функции, адекватно отражающей гидродинамику потоков в аппарате, и, во-вторых, к идентификации найденного оператора, т. е. к определению численных значений входящих в него параметров.

Применение для решения второй задачи квадратичных критериев приводит к исследованию обобщенных решений в задачах минимизации квадратичного функционала вида [22]

или, что равносильно, к решению уравнения Фредгольма первого рода где.

Здесь скалярное произведение определяется в пространстве Z>2 10, t_n 1; объект с весовой функцией К (0 имеет конечную память t"; и (t) — входной сигнал; у (t) — наблюдаемый сигнал на выходе системы; (0, t_a) — интервал наблюдения системы; t — время (см. § 8.5).

Рассмотрим решение первой задачи синтеза оператора, в частности, сравнительно простой, но эффективный метод выбора математической модели потоков в аппаратах на основе вероятностностатистических характеристик моделируемых систем.

Выше было показано, что эффективным инструментом при анализе различного типа неоднородностей в потоках служит вероятностная функция интенсивности X (/), которая определяется выражением.

Здесь I (t)=t[—F (/)], F (t) — функция отклика системы на единичное ступенчатое возмущение; I — среднее время пребывания. Напомним, что физически X (/) есть мера вероятности выхода частицы потока из аппарата, которая находилась в нем в течение времени t.

Пользуясь основным свойством Х-функцпи (рельефно отражать особенности гидродинамической структуры потоков в аппаратах), можно предложить следующую методику дискриминации гидродинамической модели.

Процедура М 1:

• а) дискриминация модели осуществляется путем качественного сравнения экспериментальной Х-функции с набором теоретических Х-функций в классе стандартных;
• б) количественная оценка близости к данному классу выбранной таким образом весовой функции производится проверкой гипотезы о законе распределения с помощью методов математической статистики;
• в) окончательное установление адекватности модели реальному объекту осуществляется в результате исследования функционала (4.27).

Заметим, однако, что соотношение (4.28) не всегда приводит к простой форме связи между Х-функциями и функциями веса, которая желательна при практической реализации процедуры дискриминации модели. Кроме того, анализ весовых функций типовых гидродинамических структур потоков приводит к выводу о том, что Х-фупкции не являются наилучшими в смысле чувствительности к неоднородностям структур потоков.

С учетом сказанного введем в рассмотрение х-функцию интенсивности, которую определим как линейную комбинацию Х-функции и ее логарифмической производной [23]:

Из (4.29) видно, что х-функция отражает не только интенсивность гибели (удаления из аппарата) частиц потоков, по и скорость изменения логарифма этой интенсивности. Отсюда следует ожидать, что х-функция интенсивности не менее чувствительна к гидродинамической обстановке в аппарате, чем Х-функция. Другое толкование х-функцпи можно получить, подставляя (4.28) в (4.29):

т. е. х-функция есть логарифмическая производная от функции плотности распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате (или, что-то же, весовой функции системы).

Из сравнения (4.28) и (4.30) видно, что аналитические выражения х-функций для важнейших типов структур потоков в аппаратах получаются значительно проще, чем для Х-функций.

Повышенная чувствительность х-функций к гидродинамической структуре потоков в технологических аппаратах позволяет предложить следующую методику дискриминации гидродинамической модели (, процедура М 2):

• а) дискриминация модели осуществляется путем качественного сравнения экспериментальной х-фупкции с набором теоретических х-функций в классе стандартных;
• б) количественная оценка близости к данному классу выбранной таким образом весовой функции производится путем проверки гипотезы о законе распределения с помощью методов математической статистики:
• в) окончательное установление адекватности модели реальному объекту осуществляется в результате исследования функционала (4.27).

Для практической реализации изложенных процедур дискриминации необходим набор стандартных выражений и номограмм для Xи х-функций. Ниже приводятся эти выражения для важнейших типовых операторов, используемых при моделировании гидродинамической структуры потоков в аппаратах.

1. Структура идеального перемешивания. Уравнение:

Здесь l—VIQ — среднее время пребывания частиц в системе; V — объем ячейки перемешивания; Q — объемная скорость потока; с_шх (t), с (I) — концентрация вещества на входе в аппарат и в самом аппарате. В момент t—0 на вход системы подано возмущение типа S-функции.

С-кривая (функция веса):

F-кривая:

Х-функция:

х-функция:

2. Структура идеального вытеснения. Уравнение.

Здесь v — линейная скорость потока. В момент t=0 на границе s=0 наносится возмущение в виде S-функции.

С-кривая (функция веса):

F-кривая:

где т) — единичная функция:

Х-функция:

Структура идеального вытеснения характеризуется тем, что все частицы потока покидают аппарат в момент времени /=?= = V/Q—l/v. Поэтому Х-функция графически изображается в виде луча, проведенного в положительную сторону из точки t~l

или 0=1 параллельно оси ординат (см. рис. 4.1, 4.3). х-функция:

Чтобы наглядно представить себе вид х-функцпй (4.31), воспользуемся представлением 8-функции в виде предела непрерывно дифференцируемых функций. Это можно сделать различными способами:

либо.

либо.

Пользуясь, например, выражением (4.32), можно представить х-функцию модели идеального вытеснения в виде.

Отсюда следует, что графически х-функция представляется в виде прямой, проходящей через точку t=t или 0=1 параллельно оси ординат (см. рис. 4.4).

3. Ячеечная модель. Уравнения.

Здесь 1—V/Q — среднее время пребывания потока во всей системе; tin — среднее время пребывания в одной ячейке; V — суммарный объем всех ячеек. В момент г=0 на вход первой ячейки подается возмущение типа 8-функции.

С-кривая (на выходе п-й ячейки):

или.

F-кривая:

или.

Х-функция:

или.

Предельные значения Х-функции:

Отсюда видно, что графики Х-функций начинаются в нуле и асимптотически приближаются к числам nji или п, располагаясь между Х-кривой идеального перемешивания и Х-кривой идеального вытеснения (см. рис. 4.3). х-функция:

или.

Продельные значения х-функции:

Из (4.33) видно, что при п-+ со и 0-> 1 график х-функции изображается в виде прямой, параллельной оси ординат и проходя;

Рис. 4.4 х-фуикции для различного числа ячеек

Рис. 4.3. Х-фупкции для ячеечной модели о зависимости от числа ячеек.

щей через точку 6=1, т. е. он принимает тот же вид, что и для структуры идеального вытеснения.

В отличие от Х-функций, графики х-функций не сходятся в нуле. При 0 -* О графики х-функций проходят узловую точку (0=1, х=1) и опять расходятся. Можно сказать, что при 0 -+ О Х-функции теряют информацию о структуре потока в аппарате, в то время как х-функции ее сохраняют. Графики х-функций для различных чисел ячеек приведены па рис. 4.4.

4. Однопараметрическая диффузионная модель. Основное уравнение:

Вид характеристических функций зависит от начальных и граничных условий. Мы будем использовать граничные условия, соответствующие бесконечно длинному и полубесконечному аппарату.

Аппарат бесконечной длины.

С-кривая [5]:

/'-кривая:

Х-функция:

Предельные значения Х-функции: х-функция:

Предельные значения х-функции:

Полу бесконечный аппарат при условии Ре ^>4.

С-кривая:

/^-кривая:

Х-функция:

Предельные значения Х-функции: х-функция:

Предельные значения х-функции:

Из выражений (4.34) и (4.35) видно, что х-функции носят экстремальный характер. Графики X-и х-функцпй для полубесковечного канала при условии Ре 4 показаны на рис. 4.5 и 4.6. Сравнительный анализ графиков Xи х-функций приводит к тем же выводам, какие были сделаны в случае ячеечной модели.

5. Диффузия в неподвижной среде. Основное уравнение:

Рис. 4.5. Х-функции для различных чисел Пекле.

Рис. 4.6. х-фупкцип для различных чисел Пекле

Уравнение (4.36) будем решать для полубесконечпого канала с граничными условиями:

Отсюда передаточная функция:

С-кривая f A (t) = Ь (?)]:

F-кривая [Л (?) = т] (?)]:

Х-функция:

х-функцйй?

Предельные значения х-функции!

Из выражения (4.37) видно, что х-функция носит экстремальный характер. Экстремум лежит в точке t=l²ISD.

6. Комбинированная структура (ячейка идеального перемешивания с застойной зоной). Физическая схема структуры характеризуется объемным расходом среды через ячейку Q; объемной скоростью обмена веществом между ячейкой и застойной зоной (?обк ⁼ aQ; относительной скоростью обмена а=(?_овм/(); объемами ячейки смешения V_x и застойной зоны V_а ,; концентрацией вещества на входе в ячейку c_tx и на выходе из нее с; концентрацией вещества в застойной зоне с₉ ,.

Уравнения комбинированной структуры потоков имеют вид:

Дифференцируя первое уравнение по t и подставляя второе в первое, сведем систему (4.38), (4.39) к дифференциальному уравнению второго порядка:

Здесь V=Vx+V_{t в} — объем всего аппарата; V, ,= р₀У; р₀— доля объема застойной зоны; Vi = (l — р₀) У- Определим характерные временные параметры структуры соотношениями:

с учетом которых уравнение (4.40) примет вид.

Будем полагать, что в момент t = 0 на вход в ячейку идеального смешения наносится возмущение по концентрации потока типа 8-функции:

ИЛИ.

где.

Запишем передаточную функцию.

Заметим, что по известной передаточной функции легко определяется среднее время пребывания системы:

Отсюда видно, что ранее введенный параметр р является средним временем пребывания частиц потока в системе, которое не зависит ни от скорости обмена между проточной и застойной зонами, ни от относительного объема застойной зоны.

/'-кривая:

или.

Х-функция:

или

Рпс. 4.7. Х-функцпи для различных значений, а Рпс. 4.8. «-функции для различных зпачеппй а.

Предельные значения Х-функции:

Графики Х-функций для различных значений параметров, а приведены на рис. 4.7 (Р₀ = 0,5). х-функция:

или.

Предельные значения х-функции:

Графики х-функций для различных значений параметра, а приведены на рис. 4.8 (Р₀ = 0,5).

7. Комбинированная структура (две последовательно соединенные ячейки идеального перемешивания с различными объемами), Основное уравнение:

где l_v t₂ — средние времена пребывания частиц потока в отдельных ячейках системы Передаточная функция.

Среднее время пребывания во всей системе f = Предполагая, что ^и обозначив а = ljl_v где 0^а<1, получим основные характеристики этой структуры.

С-кривая:

/'-кривая:

Х-функция:

Предельные значения Х-функций: х-функция:

Предельные значения х-функции: limx (0) =—оо; limx (6)=l —а.

• 8->0+ •-?со
• 8. Комбипировапная структура (ячейка идеального перемешивания с байпасом). В этой модели предполагается, что доля входного потока fQr, где 0^/<1, поступает мгновенно на выход аппарата. Доля (1—f)Qг поступает в ячейку идеального перемешивания.

Основное уравнение:

где t₀=VIQv> V — объем ячейки идеального перемешивания. Передаточная функция:

Среднее время пребывания в системе:

С-кривая:

F-крнвая:

Х-функция:

х-функция:

9. Комбинированная структура (параллельное соединение ячейки идеального перемешивания и идеального вытеснения). Если обозначим долю потока, поступающего в зону идеального вытеснения, через mQy и среднее время пребывания частиц в зоне идеального перемешивания через t₁ = V₁/(l—m)Qy, то получим основное уравнение модели в виде.

где t₂ = VJmQv — время пребывания в зоне идеального вытеснения; V_v V₂ — объемы зон идеального перемешивания и вытеснения. Передаточная функция:

Среднее время пребывания в системе:

С-кривая:

/^-кривая:

Х-функция:

10. Комбинированная структура (диффузионная модель с распределенной застойной зоной). Широкое распространение при математическом описании потоков в проточных аппаратах получила схема (см. § 7.1).

где (4.41) — уравнение математической модели проточной части аппарата; (4.42) — уравнение математической модели застойной.

Рпс. 4.9. Схема комбипированпой структуры диффузионной модели с раснределенной застойной зоной зоны аппарата; Н_х и # ₂ — доля проточной и застойной вон объема аппарата; с_г и с₂ — концентрация в проточной и застойной зонах; к_{а я} — коэффициент, характеризующий скорость обмена между зонами.

Физическая схема структуры потоков, описываемая уравнениями (4.41), (4.42), показана на рис. 4.9.

Линейная динамическая система со многими входами и выходами характеризуется матрицей весовых функций К (t), причем элемент K_tAt) этой матрицы определяется как функция отклика системы на i-м выходе при подаче на /-й вход единичного импульса в начальный момент времени при условии, что все остальные возмущения равны нулю (см. § 5.4). В соответствии с принципом суперпозиции для линейных систем связь между входными функциями Ui (t), U₂(0t • • • 1 U_r(t) И ВЫХОДНЫМИ функциями Ухф, y₂(t),. .. , y_m(t) при известной матрице весовых функций К (?, т) = = х)) дается соотношением вида.

Применительно к нашей системе поступаем аналогичным путем: расчленим ее на две подсистемы (проточную и застойную) и, считая выходами концентрации c_x(z, t) и c_a(z, t), построим для них соотношения типа (4.43). Подадим в момент t=0 на вход про точной зоны возмущение типа 8-функции. В нашем случае объекта с распределенными параметрами входом системы служит возмущение па его правой границе z=О (см. рис. 4.9). От входа z=0 до выхода z=l при прочих нулевых возмущениях (в том числе со стороны застойной зоны) система описывается дифференциальным уравнением.

Весовая функция проточной зоны системы, соответствующая уравнению (4.44), для краевых условий типа бесконечной системы имеет вид.

С момента нанесения возмущения *=0 начинается массообмен между зонами в поперечном направлении по всей длине аппарата с движущей силой, равной разности концентраций растворенного вещества в проточной и застойной зоне: c_x(z, t)—c₂(z, J).

Согласно принципу суперпозиции, теперь необходимо изучить поведение объекта при возмущении, наносимом по концентрации с₂ па границе контакта двух подсистем. В отличие от точечного источника возмущения в предыдущем случае, в данном случае возмущение типа 8-функции равномерно распределено по пространству вдоль границы застойная зона—проточная зона. При таком возмущении по параметру с₂ проточная часть системы описывается уравнением (4.41), которое с учетом (4.42) можно записать в виде.

Соответствующая весовая функция для случая бесконечной схемы краевых условий по с, и при возмущении типа распределенной вдоль застойной зоны 8-функции по с₂ имеет вид.

Застойная часть системы описывается дифференциальным уравнением.

Весовая функция этой подсистемы есть реакция на распределенный вдоль аппарата импульс 8 (0, z):

Граничное условие для этой части объекта со стороны проточной зоны определяется весовой функцией K_n(t, z).

Для симметрии можно ввести формально весовую функцию А'₂₂(^* ^z)" соответствующую переносу растворенного вещества в застойной зоне в продольном направлении. По физическому смыслу рассматриваемой модели перенос вещества в застойной зоне в продольном направлении отсутствует, а существует лишь обмен между зонами в поперечном направлении, следовательно, весовая функция /Г₂₂(/, z) тождественно равна нулю К₂₂=0. Таким образом, определены все элементы матрицы весовых функций системы.

Вместо системы дифференциальных уравнений (4.41), (4.42) для случая импульсного возмущения по c_Y на границе z=0 при ?=0 теперь можно записать основное интегральное соотношение (4.43), выражающее принцип суперпозиции линейной распределенной системы:

где с₁₀(*, z)=A'₁₁(/, z) * 8(0, 0) — граничное условие для застойной зоны со стороны проточной зоны системы; символ «*» означает операцию свертки.

Решая систему (4.45), получим интегральное уравнение свертки относительно интересующей нас переменной c_x(t, z):

Полученное выражение для с_х (t, z) описывает функцию отклика системы на входное возмущение типа 8-функции, т. е. является искомой весовой функцией анализируемой структуры потоков Ci (J, z)—K (t_y z). Выполняя операции свертки в соотношении (4.46), будем иметь.

Количественная проверка гипотезы о законе распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате. Предположнм, что в результате исследования х-функций удалось установить гидродинамическую структуру потока в аппарате, иными словами — принять гипотетическую функцию распределения частиц потока по времени или в пространстве. Проверку принятой гипотезы можно осуществить с помощью ряда статистических критериев, например Колмогорова, Романовского, х^2-кР^итеР^ия Пирсона и др.

Воспользуемся критерием соответствия у². Гипотезы подразделяются на простые и сложные.

Если известна полная информация о гипотетической¹ функции распределения, то такая гипотеза называется простой. Допустим мы имеем информацию о реакции объекта на импульсное возмущение в виде последовательности дискретных величин в результате N наблюдений. Строим гистограмму распределения этих величин во времени. Для этого сгруппируем величины t_iy близкие по вероятности, в интервалы Д_;. Полученная таким путем гистограмма будет разбита на некоторое число v интервалов Д_г Количество значений времени t. из всего объема выборки N, попавших в интервал Д, обозначим через Пусть P_t — вероятность того, что t принимает значение на множестве Д<, тогда величина Р*= —nJN характеризует частоту этого события, где n_i — случайная величина. Итак, каждой случайной величине*тгд$=1, 2,. .. .. v) может быть поставлена в соответствие вероятность Р_{ попадания в интервал Д, и непопадания — q_{. Иными словами, каждая из случайных величин п₍ имеет биноминальный закон распределения, зависящий от Р_{ и N — объема выборки, причем.

Известно, что при больших значениях N биномиальное распределение приближается к нормальному. Для биномиального распределения математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение определяются по формулам.

Кроме того, распределение суммы случайных величин, имеющих биноминальный закон распределения, также стремится к нормальному распределению с ростом числа членов суммы. Введем вспомогательную величину.

зависящую от Р_{, причем Р_t в данном случае может быть любым распределением. Существо проверки гипотезы о распределении P (t) состоит в том, что в случае правильности гипотезы распределение будет близко к нормальному в смысле критерия у².

Таким образом, общее число степеней свободы в результате группировки величин t_{ в интервалы и наложения условия несмещенности становится равным г= v—1.

Для количественной оценки степени близости выборки n_i предполагаемым теоретическим значениям NP_{ вводится величина.

В теории доказывается, что если принятая гипотеза верна, то распределение х² при N -> со стремится к распределению х² с (v — 1) степенями свободы. При этом Р (х² > Х?)⁼0п/ЮО" где х^[1] представляет ^"-процентный предел для закона х² с (v—1) степенями свободы. Этот предел находится по справочным таблицам^[1] при заданном уровне значимости q_n и числе (v—1). Если x^[1]^Xj^{[1] то} гипотеза принимается и наоборот. При вычислении х^{2 в} качестве Р₍ берутся величины, соответствующие гипотетическому закону распределения.

Проверяемая гипотеза называется сложной, если гипотетическая функция распределения объекта известна с точностью до параметров объекта. Например, принимается ячеечная модель объекта, но неизвестно число ячеек, или принимается диффузионная модель, но неизвестно численное значение коэффициента диффузии и т. п. В этом случае, прежде чем приступить к проверке гипотезы, сначала определяются по выборочным значениям результатов эксперимента необходимые параметры математической модели объекта. Определенные по результатам эксперимента параметры уменьшают число степеней свободы системы на величину, равную числу этих параметров. Так, если число неизвестных параметров равно Z, то в результате общее число степеней свободы уменьшится до r=v—I—1.

В остальном методика проверки гипотезы остается той же, что и в предыдущем случае, и сводится к следующим операциям: разбить выборку на v интервалов; сгруппировать выборки в интервалы по принципу близости величин их ординат; определить границы интервалов; определить частоты п_{ в интервалах; любым способом определить параметры функции распределения; по гипотетическому распределению рассчитать величины Р_{; рассчитать численное значение критерия х²‘> принять процентную достоверность гипотетического закона распределения q_a для степени свободы системы r=v—I—1; по критерию х² проверить гипотезу.

Пример. Рассмотрим приближенный метод дискриминации математической модели структуры потока жидкой фазы в насадочной колонне.

На рис. 4.10 изображена экспериментальная весовая функция насадочной колонны высотой 2.0 м и диаметром 0.15 м. Размер насадки 10X10. Параметры технологического режима: плотпость орошепия ?=6725 кг/м*час, нагрузка по газу С=2038 кг/м³час, линейная скорость орошения t;=0,4X ХЮ" ¹ м/сек, коэффициент продольного перемешивания ?=3,36 10"* м²/сек. По этой экспериментальной кривой была выполнепа идентификация моделей № 4 и JN6 10. Графики весовых функций этих моделей показаны на рис. 4.10, там же изображены соответствующие им х-функцип.

Из сравпепия х-функций (рис. 4.10) можпо сделать вывод о том, что математическая модель с застойной зоной в большей степени отвечает реальной структуре потока. Для количественной проверки этой гипотезы использовался критерий х²— Вычисление критерия х² выполнялось по 16 точкам весовой функции, v=16. Результаты проверки для степеней свободы r=v—1—1 (условие несмещенности в оценке х² и идентификация модели по одному параметру D уменьшают число степеней свободы на две единицы), для которой Xj—21.064, были в пользу модели с застойной зоной с процентной вероятностью достоверности д"=10%; расчетное значение критерия х²—9- Расчетное значение критерия х² для модели № 4 равно х²=19.

• [1] См., например, Н. В. Смирнов. И. В. Дунин-Барковскии. Курстеории вероятностей и математической статистики. Для техническихприложений. М., «Наука», 1969, с 511.
• [2] См., например, Н. В. Смирнов. И. В. Дунин-Барковскии. Курстеории вероятностей и математической статистики. Для техническихприложений. М., «Наука», 1969, с 511.
• [3] См., например, Н. В. Смирнов. И. В. Дунин-Барковскии. Курстеории вероятностей и математической статистики. Для техническихприложений. М., «Наука», 1969, с 511.
• [4] См., например, Н. В. Смирнов. И. В. Дунин-Барковскии. Курстеории вероятностей и математической статистики. Для техническихприложений. М., «Наука», 1969, с 511.