Ячеечная модель с застойными зонами для потоков в насадке

В практике расчетов массообменных и химических процессов широкое распространение получила ячеечная модель с застойными зонами (см. табл. 4.2). Проведем теоретический анализ этой модели и сформулируем метод определения ее параметров 122].

Структурная схема ячеечпой модели с застойными зонами при неравных потоках обмена в противоположных направлениях показана в табл. 4.2. Объем i-й ячейки V_t представляется в виде суммы двух объемов: объема проточной зоны V_u и объема застойной зоны V_2i. Пусть х_{ — концентрация вещества в проточной части i-й ячейки, где предполагается идеальное перемешивание, У* — средняя концентрация в застойной зоне. Между зонами происходит обмен веществом, причем характер обмена может быть различным. Наиболее вероятностными видами обмена могут быть конвективный, диффузионный, а также виды обмена типа адсорбции, химической реакции и т. п.

Наличие в системе конвективного обмена означает, что существует объемный расход жидкости Qo6m из проточной части системы в застойную. Ввиду предполагаемого постоянства объемов проточной и застойной зон существует точно такой же объемный расход жидкости в обратном направлении. Отношение величины QobM к полному объему системы V можно рассматривать как объемный коэффициент скорости конвективного обмепа a_K=@_o6>(/F, сек^-1. На основе материального баланса запишем выражение для конвективного обменного потока д, между проточной и застойной зонами в виде <71=0* (х—у), где g_t — количество вещества, передаваемого из застойной зоны в проточную в единицу времени в единице объема системы.

При диффузионном обмене интенсивность его определяется величиной диффузионного потока вещества из застойной в проточную часть системы:

где S — площадь поверхности контакта застойной и проточной зон; S/V — удельная поверхность контакта застойных и проточных зон; D_n — коэффициент молекулярной диффузии; AJ — характерный размер застойной зоны; Ду — изменение концентрации в застойной зоне на длине Д?. Полагая, что на границе зон концентрации растворенного вещества в зонах выравниваются, т. е. х—у, и учитывая, что величину? Д/ можно интерпретировать как объем застойной части системы V₂, перепишем соотношение (7.78) в виде q₂=(V₂D_M/VAl²)(x—y), где коэффициент скорости диффузионного обмена а_д запишется как a_x=V₂D_M/V^l².

Следует отметить, что для каждого из рассмотренных видов обмена характерно равенство коэффициентов обмена в протцроположных направлениях, поэтому величины обменных потоков из застойной зоны в проточную и обратно в каждом случае пропорциональны разности соответствующих концентраций.

Если растворенное вещество адсорбируется на стенках аппарата и частицах насадки или вступает в химическую реакцию, то наблюдается обмен с неравными скоростями в противоположных направлениях. Рассмотрим для примера явление адсорбции. Пусть т — константа равновесия адсорбции, тогда обменный поток за счет адсорбции запишется в виде д₃= а^х— о^ту, где а, — коэффициент скорости адсорбции.

В действительности в системе могут иметь место все перечисленные виды обмена одновременно. Исходя из принципа аддитивности, можно предположить, что общий обменный поток q определится как сумма отдельных потоков за счет действия каждого из рассмотренных явлений обмена:

или q=k₁x—k₂y, где.

общие коэффициенты обмена в прямом и обратном направлениях. Если адсорбция вещества па стенках аппарата и частицах насадки отсутствует, т. е. а,=0, то общий обменный поток выразится соотношением q=qi^Jrq2—k (х—у), где k=k₁=k₂=(Q_oCM!V) — + V₂D/VAl².

Пусть в начальный момент времени t=0 в проточную зону первой ячейки импульсом введено V_UB объемных единиц индикатора, т. е. концентрация в первой ячейке в момент *=0 есть х_х (0) = = V',_B/F₁₁. Начальные условия для остальных ячеек системы примут вид.

Запишем уравнения материального баланса индикатора для i-й ячейки:

Задача нахождения функции распределения времени пребывания для системы из п ячеек сводится к решению системы 2п уравнений типа (7.79) и (7.80). Аналитическое решение этой системы уравнений, полученное для частного случая к_х=к₂=к в работе 123 ], оказывается весьма громоздким и неудобным для практического использования. Однако для определения параметров модели не обязательно располагать общим выражением для функции распределения системы. Для этого достаточно иметь выражения для ряда числовых характеристик решения — моментов функции распределения, связь которых с параметрами модели значительно проще и удобнее для практических расчетов.

Найдем выражения для первых двух моментов функции распределения времени пребывания — среднего времени пребывания и дисперсии. Для этого проинтегрируем уравнения (7.79) и (7.80) по t в промежутке 0 ^ t < + оо:

где.

Для г = 1 будем иметь.

откуда.

Аналогично для i = 2, 3,.п получим

Таким образом, отношение площадей под кривыми распределения для проточной и застойной частей системы равно отношению коэффициентов обмена в прямом и обратном направлении. Умножим теперь уравнения (7.79) и (7.80) почленно на t и повторим прежнюю операцию интегрирования:

tvie.

Полагая в равенствах (7.82) и (7.83) i=l и интегрируя по частям левые части уравнений, получим.

Совместное решение этих уравнений позволяет найти выражения для среднего времени пребывания 1_и в проточной зоне первой ячейки:

и в застойной зоне этой ячейки.

Очевидно, эти же соотношения остаются справедливыми и для t-й ячейки:

Для системы из п ячеек будем иметь.

где — полный объем проточной части системы; V₂=

—nV_2i — полный объем застойной части системы.

Из соотношений (7.85) и (7.86) следует, что среднее время пребывания в проточной зоне системы тем больше, чем больше отношение к₁1к₂. Среднее время пребывания вещества в застойной части системы всегда больше, чем в проточной. Эта разница, равная V₂/Vk₂, увеличивается с ростом относительного объема застойных зон V₂/V и с уменьшением константы скорости обмена к₂. Любопытно отметить, что разница между 1_Х и 1_у не исчезает при к_у=к₂ и что она вообще не зависит от величины к_х.

Для определения дисперсии распределения времени пребывания преобразуем уравнения (7.79) и (7.80) к виду.

где.

Запишем в принятых обозначениях выражения для дисперсий распределения времени пребывания в проточных зонах:

и в застойных зонах.

Принимая во внимание соотношения (7.89), (7.90), (7.81).

и (7.84), решим систему уравнений (7.87) и (7.88) относительно ^{и a}Vi Д^ля

Значение дисперсии системы из п ячеек можно получить следующим образом/Рассмотрим множество величин t_{ (t=l, 2, 3,.. ., я), каждая из которых представляет время^пребывания произвольной частицы в пределах i-й ячейки и, таким. образом, является случайной величиной. Так как величины t_{ образуют систему независимых случайных величин с одинаковым распределением, то дисперсия о* цепочки из п ячеек определится из соотношения o=zno²_Xi, т. е. будет равна.

а дисперсия кривой распределения времени пребывания, фиксируемой в застойной зоне последней ячейки системы, выразится соотношением.

Специфика предлагаемого ниже метода определения параметров модели требует знания среднего времени пребывания ?_ср и дпспер-" сии окривой распределения на выходе системы, полученной по средней концентрации с в проточных и застойных зонах системы.

где при выводе полагалось, что.

В случае только конвективного и диффузионного обмена к₁=к₂⁼к и формулы (7.92) и (7.93) примут вид

Аналогичные соотношения имеют место и при описании потока диффузионной моделью с застойными зонами (см. § 7.1).

При формулировке метода определения параметров модели будем считать, что располагаем неадсорбирующимся индикатором, так что обмен между проточной и застойной частями системы происходит в основном за счет конвекции и диффузии (к₁=к₂=к). Неизвестными параметрами модели при этом будут являться число ячеек п, объем проточной части V_lt объем застойной зоны V₂, константа скорости обмена к. Применение в качестве индикатора радиоактивных изотопов позволяет измерить на выходе из аппарата две функции распределения: одну в проточной зоне и вторую — по средней концентрации в полном сечении аппарата. Для каждой из этих кривых можно найти первый начальный и второй центральный моменты распределения. Тогда для определения неизвестных параметров модели следует воспользоваться уравнениями (7.85) и (7.91), где надо положить к₁=к₂—к, а также уравнениями (7.94) и (7.95). Решая совместно эти уравнения, получим.

Пользуясь моментами более высоких порядков, эту же задачу можно решить путем регистрирования кривой распределения только в проточной зоне на выходе системы. Однако при этом резко возрастает влияние экспериментальных погрешностей на результаты расчета. В этом смысле метод анализа структуры потоков с применением радиоактивных изотопов имеет существенные преимущества.

Исследование влияния параметров модели на форму выходной кривой распределения проводилось путем решения на ЦВМ системы дифференциальных уравнений модели для случая импульсного возмущения в проточной зоне первой ячейки. В результате расчета получен ряд кривых распределения в проточной зоне последней ячейки для различных значений параметров модели. Исходные данные для расчета и числовые характеристики полученных функций распределения сведены в табл. 7.4.

На рис. 7.9 показана деформация выходных кривых с ростом от нуля до бесконечности коэффициента скорости обмена, одинакового в прямом и обратном направлениях: к=к₁=к₂. Числовые характеристики, связанные с этой серией кривых, помещены в разделе 1 таблицы. Из рис. 7.9 видно, что все функции распределения этой серии располагаются между кривыми, соответствующими двум крайним случаям: ячеечной модели без застойных зон с общим объемом V_x (кривая 2—7; к=.0) и ячеечной модели без застойных зон с общим объемом V (кривая 7—7; к -> со). При переходе из одного крайнего случая в другой зависимость положения точки максимума кривых от коэффициента обмена носит ярко.

Рис. 7.9. Деформация кривых отклика системы на импульсное возмущение с ростом коэффициента обмепа в прямом и обратном направлении (к₁=к_г).

Рис. 7.10. Деформация кривых отклика системы на импульсное возмущение с ростом коэффициента обмена к_х при к^= const выраженный экстремальный характер. Для всех кривых рассматриваемой серии среднее время пребывания 1_Х постоянно и равно единице. Как видно из табл. 7.4, разность между 1_Х и 1_у особенно велика при пизких значениях коэффициента обмена к. Аналогичный вывод можно сделать и для зависимостей дисперсий в проточных и застойных зонах от значения к.

На рис. 7.10 показана деформация выходных кривых с ростом коэффициента обмена в прямом направлении /с_х при постоянном значении коэффициента обмена в обратном направлении к₂=. Числовые характеристики этой серии кривых даны во втором разделе табл. 7.4. Из рис. 7.10 видно, что с ростом к_х функции распределения претерпевают существенную деформацию. Так, при увеличении к_х от 0,1 до 10 средпее время пребывания возрастает в 10 раз, размерная дисперсия увеличивается в 100 раз, а закон изменения безразмерной дисперсии оИ носит экстремальный характер. Из выражения для безразмерной дисперсии в проточной зоне последней ячейки.

следует, что точка максимума зависимости оН от&_х для принятых исходных данных приходится на значение &₁=&₂=1.

Таблица 7.4.

Числовые характеристика кривых отклика, изображенных на рис. 7.9,.

7.10, 7.11, 7.12 (объем системы , V=i м^э, объемный расход Q=1 м³/сек).

Рис. 7.11. Деформация функций распределения при изменении числа ячеек системы

Рис. 7.12. Деформация кривых распределения в зависимости от относительного объема застойных зон системы (VJV).

На рис. 7.11 показан ряд кривых распределения при вариации числа ячеек в системе. Числовые характеристики этой серии кривых находятся в третьем разделе табл. 7.4. На рис. 7.11 видно, что характер влияния роста числа ячеек на форму кривой распределения ячеечной модели с застойными зонами аналогичен влиянию числа ячеек на вид кривой распределения обычной ячеечной модели. Однако следует подчеркнуть, что при неограниченном возрастании числа ячеек дисперсия функции распределения для ячеечной модели с застойными зонами стремится не к нулю, как это имеет место для обычной ячеечной модели, а к величине^, 5 (при принятых исходных данных). Таким образом, функция распределения времени пребывания для системы с идеальным вытеснением в проточной части и при наличии застойных зон не является 8-функцией, а представляет собой асимметричное распределение с отличной от нуля дисперсией.

Любопытно проследить поведение эффективного числа единиц перемешивания, определяемого как число ячеек такой ячеечной модели без застойных зон, безразмерная дисперсия которой совпадает с безразмерной дисперсией ячеечной модели с застойными.

Рис. 7.13. Функции распределения, полученные в проточной (кривая 1) и застойной частях (кривая 2) последней ячейки системы при л=5, Р=1, Q=i, ki=А*= 1.

зонами: Nz=l²Jo (см. предпоследнюю колонку таблицы 7.4). Из таблицы видно, что во всех исследованных случаях эффективное число единиц перемешивания значительно ниже числа ячеек системы с застойными зонами. Например, кривая 3—4 соответствует системе из 20 ячеек с застойными зонами, в то время как эффективное число единиц перемешивания в данном случае не превышает двух. Это лишний раз подчеркивает тот факт, что неучет застойных зон при моделировании реальных потоков может привести к значительным ошибкам.

На рис. 7.12 показана деформация выходных кривых с ростом относительного объема застойных зон V₂/V. Числовые характеристики этой серии кривых помещены в разделе 4 табл. 7.4. Из рис. 7.12 видно, что при малых значениях отношения V₂IV кривая распределения приближается по своим характеристикам к функции распределения ячеечной модели без застойных зон. Так, эффективное число единиц перемешивания для кривой 4—1 (У₂/И==0,05) равно 4,88, что близко к числу ячеек исследуемой системы л=5.

При больших значениях V₂/V кривая распределения по своей форме приближается к функции распределения системы с байпасом (см. кривую 4—7 рис. 7.12).

Различие между параметрами 1_Х и t_y, а также а и oj становится очевидным, если проследить характер функций распределения времени пребывания, фиксируемых в проточной и застойной зонах последней ячейки системы. Две такие кривые изображены на рис. 7.13. Из рис. 7.13 видно, что изменение концентрации в застойной зоне происходит всегда с некоторым запаздыванием по сравнению с изменением концентрации в проточной зоне, что и объясняет наличие разницы между моментными характеристиками этих кривых.