Преобразования случайных процессов в нелинейных неинерционных элементах

Нелинейный неинерционный элемент с одним входом и одним выходом г|(/) = /[^(0] •.

При прохождении случайного процесса %(/) через нелинейный элемент (2.20) получается другой случайный процесс г|(/). Пусть известка плотность вероятности w (jt) случайного процесса %(/) в произвольный момент времени t и нужно найти плотность вероятности W (y) случайного процесса (рис. 2.7. а).

Рис. 2.7. Функциональное преобразование случайной величины: а прямое функциональное преобразование; б — обратное функциональное преобразование; в — плотность вероятности входного процесса; г — плотность вероятности процесса на выходе нелинейного элемента Предположим пока, что существует однозначная обратная функция х = (р (у) (рис. 2.7. б). Так как случайные величины хну связаны однозначной детерминированной зависимостью, то если ?, заключено в достаточно малом интервале [л*₀, х₀+ dx, величина г) будет находиться в интервале [у₀₉у₀+ dy]₉ где у, = / (х₀) (рис. 2.7, в, г). Отсюда следует, что вероятности этих двух событий равны (свойство инвариантности дифференциала вероятности): W (y)dy = W[x)dx, т. е.

Плотность вероятности W (y) всегда неотрицательна, поэтому в равенстве (2.33) взято абсолютное значение производной.

Если функция у =/(л:) такова, что обратная ей функция х = ср (р) неоднозначна, то одному значению у соответствуете L ветвей <�р,(у),.

/ = 1 , L функции <�р (у).

В этом случае плотность вероятности процесса на выходе нелинейного элемента имеет вид:

Приведенные результаты можно обобщить на случай функционального преобразования случайного процесса Qt) в произвольные моменты времени /_г, т. е. для отсчетных значений процесса.

ш ш-, т

Если известны совместная плотность вероятности уф,…,х_г) и якобиан преобразования.

отсчетных значений —ч 4(Х) случайного процесса b,(t), то плотность распределения преобразованного процесса равна.

где <�Р/ {У>У2'—'Уг)~ ветвь обратного преобразования отсчетных значений.

Совместное распредечение выходных процессов нелинейного элемента с одним входом и несколькими выходами

Были получены общие формулы плотности вероятности выходных процессов нелинейных неинерционннх элементов радиотехнических устройств с одним входом к с одним выходом. Рассмотрим нелинейное неинерционное устройство, структурная схема которого показана на рис. 2.8. Выходные процессы данного устройства функционально связаны с входным следующими нелинейным соотношениями:

Рис. 2.8. Структурная схема нелинейного неинерционного элемента с одним входом и несколькими выходами.

Вначале получим формулу совместной плотности вероятности в произвольно выбранное время t = t₀. Известно, что многомерная плотность вероятности Р случайных величин зависит только от одной случайной величины у, и записывается в виде произведений априорной и условных вероятностей:

В данном случае случайные процессы г|,(/) = f [%(/)],. .*1.

…ц_у, (/) = f_p [^(0] порождены случайным процессом ^(/), причем 4 = тогда.

Отсюда следует, что при любом фиксированном г|,= у, отсчстнос значение каждого случайного процесса г|₂,…, г|₍, принимает с вероятностью единица значения г)₂ =Ф|(у_]) = 3^;2>—^г1р = Ф,-| (>"i) ⁼ Д⁷, — Следовательно, словная плотность вероятности отсчетного значения каждого случайного процесса i = 2, P в произвольно выбранное время I = t₀ при г|, =у, определяется:

откуда с учетом (2.37) следует формула совместной плотности вероятности выходных случайных процессов рассматриваемого нелинейного неинерционного устройства:

Формула (2.38) обобщается для произвольно выбранных отсчетов t_r, т. е. для произвольного числа отсчетных значений Пи =>![^)]. …=yi[4U)]…=Л[^)] случайных процессов Т1:

Совместное распределение случайных процессов г|, (/),…, г|", (?) при т < Р получается из (2.39) интегрированием по переменным.

Совместное распределение, выходных процессов нешнейного неинерционного элемента с несколькими входами и выходами

Рассмотрим прохождение К случайных процессов%_к(/), заданных совместной плотностью тф,…, х_[2,%_г), через нелинейное неинерционное устройство, имеющее К входов и Р выходов. Вывод формулы совместной плотности вероятностей выходных процессов г|,(*),.Г|Д/) устройства, показанного на рис. 2.9, осуществляется описанными методами.

Для произвольного момента времени t = t₀ совместная плотность вероятности выходных процессов записывается P-мерной плотностью при помощи дельта-функций в виде:

где у, = у, (/"), i =, P.

Рис. 2.9. Структурная схема нелинейного инерционного элемента с несколькими входами и выходами.

Формула (2.40) может быть обобщена для произвольного числа отсчетных значений г|_;> = Л/ (tj) > i = l, P, j = 1, г выходных процессов Л,(0' ^{/ = 1}>Р^;

Формулы (2.38) и (2.40) являются частными случаями (2.41) при К= 1 , r= 1.

Рассмотрим несколько конкрешых примеров применения полученных формул.

1. Линейное и квадратичное преобразование. Линейное преобразование случайного процесса v|(/) = aJ;(/) + Z> является взаимно однозначным. Поэтому согласно (2.37) одномерные и двумерные распределения записываются.

Таким образом, при линейном преобразовании случайного процесса его функция распределения смещаегся на величину b и масштабы вдоль осей изменяются в а раз.

При квадратичном преобразовании: (квадратичный детектор) случайного процесса л (0 ⁼ ^ (0 ^кажДОму значению t)(f)" которое всегда положительно, соответствуют два значения случайного процесса:

⁼ -/п (0 > ⁼ у]л (т) • Тогда по формуле (2.34) находим при у > 0:

Если случайный процесс является полигауссовым (1.41), то с учетом (2.29) и (2.44) распределение выходного процесса запишется.

Таким образом, как и следовало ожидать, компоненты выходного распределения являются негауссовскими.

2. Плотность вероятности линейных функций одного и того же случайного процесса (рис. 2.8). Здесь рассматривается устройство с одним входом и двумя выходами. Воспользуемся формулой (2.38) для определения двумерной плотности распределения fV (y_l, y₂)случайных процессов г|,(/) и г|₂(/), связанных со случайным процессом ?,(1) линейными зависимостями.

где а" а₂, 6, Ь₂ — любые неслучайные величины. С учетом (2.38) и (2.40) в произвольное время t = t_Q плотность вероятности каждого отсчетного значения г|,= г|,(/₀) и г|₂= г|₂(/₂) примет вид.

или.

При Л, = Ь₂= 0 и я, = я, = 1, т. е. когда п,=т|₂=%; имеем.

Функция плотности W (y_l, y₂), определяемая (2.49), представляет собой двумерную плотность случайных процессов р, (/) = !;(/).

и р, (?) = t (t) в произвольный момент времени t = t₀.

Если распределение процесса уфс) является полигауссовым, то плотность вероятности выходных процессов данного устройства в соответствии с (2.47) — (2.48) и с учетом свойств полигауссовых явлений записывается в виде:

Заметим, что выражения (2.50) и (2.51) равносильны.