Анализ динамики процесса абсорбции в насадочной колонне и аналитический синтез оптимального управления абсорбционным аппаратом

В этом параграфе полученные выше результаты исследования гидродинамической структуры потоков в насадке будут непосредственно использованы для анализа динамики процессов абсорбции в насадочных колоннах и аналитического синтеза оптимального управления промышленным абсорбционным аппаратом.

Динамика насадочного аппарата, но гидродинамическим каналам. Подставим в уравнение (7.24) экспериментально найденную зависимость Н₁=АН₁ ж (ЬРгжНУ+Н^', л=1,92 между перепадом давления в насадочной колонне ДЯ_Гж и динамической удерживающей способностью колонны Н_х (см. § 7.1, гл. 7). В результате получим.

где.

Уравнения (7.24) и (7.107) позволяют рассчитать динамические характеристики системы по основным гидродинамическим каналам: плотность орошения на входе—-перепад давления в колонне; нагрузка по газу—перепад давления в колонне; плотность орошения на входе—плотность орошения на выходе; нагрузка по газу—расход жидкости на выходе колонны [421.

Задача исследования динамических характеристик насадочной колонны с помощью модели (7.107) существенно упрощается, если воспользоваться полученной в работе [101 сравнительной оценкой порядков слагаемых, входящих в функцию ф (я, t): v [(«—1) DIPj] дР₁1дх. С учетом этой оценки уравнение (7.107),.

записанное для отклонения /^>=Р₁—Р₀ градиента давления Р₁ от его значения Р₀ в установившемся состоянии, примет вид.

Решение уравнения (7.108) будем искать при дополнительных условиях:

причем поиск передаточной функции будем производить на конечном расстоянии х=1 от начала слоя (см. рис. 7.27). Здесь Р_шх (t) — прирост градиента давления в двухфазной системе по сравнению с величиной Р₀ в верхнем сечении слоя насадки; третьим дополнительным условием учитывается эффект сглаживания фронта гидродинамического возмущения по мере его движения вдоль колонны.

Перепишем задачу (7.108)—(7.109), применяя преобразование Лапласа по временной координате:).

Решение краевой задачи (7.110) и (7.111) имеет вид.

где Р=Р₁—(Р₀/р) — изображение по Лапласу функции Р (х, t) р — комплексная переменная преобразования.

Обычно практический интерес представляет не характер распределения градиента давления по высоте насадочного слоя, а интегральный закон изменения перепада давления на некотором участке конечной длины (О, х). Изображением этого закона является соответствующий интеграл от выражения (7.112):

Полагая в последнем выражении х~1_у найдем передаточную функцию насадочного аппарата по гидродинамическому каналу как отношение изображения отклонения bP_tux=~E]—(bPo/p) результирующего перепада давления ЬР_Х от его стационарного значения ДР₀ к изображению входного возмущения Р_вх

С практической точки зрения важно перейти от передаточной функции вида (7.113) к эквивалентной динамической характеристике, связывающей поведение суммарного перепада давления на всей колонне с возмущениями по расходу фаз. Этот переход, специфика которого состоит в учете многофазпости системы, требует дополнительного анализа.

Канал плотность орошения—перепад давления в колонне. Плотность орошения, обеспечивающую заданный перепад давления газожидкостной системы ДРгж" определим по известному соотношению гидравлики насадочных колонн [431:

которое подвергнем линеаризации по переменной L в окрестности установившегося состояния с параметрами ?₀, G₀, Я₁₀, ДР_{ГЖ (0}.

где.

Переходя в равенстве (7.115) к изображениям и подставив значение Р_9Х в формулу (7.113), получим искомую передаточную функцию W_l (Z, р) по рассматриваемому каналу (канал 1):

Капал иагрузка по газу—перепад давления в колонне. При нанесении возмущения по расходу газа нестационарный режим двухфазной газожидкостной системы можно представить как результат двух нестационарных процессов, идущих одновременно в газовой и жидкой фазах. Рассмотрим каждый из этих процессов отдельно, пренебрегая вначале взаимодействием между фазами.

Анализ гидравлического сопротивления при движении ламинарного потока газа в сухой насадке приводит к соотношению между гидравлическим уклоном и скоростью потока газа, аналогичному уравнению Козени для пористых и зернистых сред [10]:

где Р_т — давление газа в слое сухой насадки: и_г — скорость газа, отнесенная к полному сечению колонны: 6_P=PJ/4,4a²; V_c — свободный объем насадки; а — удельная поверхность насадки: Г — индекс, относящийся к газовой фазе.

При течении газа в тесных каналах между элементами насадки существенную роль играют силы вязкости, что приводит к необходимости применения к процессу движения газа в насадке основных уравнений движения вязкой жидкости Навье—Стокса. Однако прямое интегрирование уравнений Навье—-Стокса при столь сложных граничных условиях, какие обусловливает насадочная среда, оказывается невозможным. Поэтому запишем для потока газа уравнения Навье—Стокса в форме уравнений гидродинамики Эйлера, но к действительно существующей массовой силе X прибавим фиктивную массовую силу Х_ф, которая учитывает эффект вязкого трения и называется фиктивной силой сопротивления Жуковского:

где слагаемое J учитывает действие инерционной силы, а Хф определяется в соответствии с известной методикой расчета фиктивных сил сопротивления Х_ф=^_гу_Р/р_г|_Р [44].

Сравнительная оценка значимости членов, входящих в уравнение (7.118), позволяет пренебречь весом газа, т. е. положить ЛГ =0, а также инерционным членом J =0. При сформулированных допущениях на основании уравнений (7.117) и (7.118) нетрудно получить уравнение движения газа в сухой насадке:

где 2?=4,4 а²/VI.

Аналогичным уравнением, но с другим коэффициентом В описывается движение газа в насадке в неустойчивом турбулентном режиме [10]. Решение уравнения (7.119) позволяет оценить время переходного процесса установления давления в колонне с сухой насадкой при нанесении возмущения по расходу газа. Расчеты методом последовательных приближений, выполненные на ЦВМ «Эллиот-803», показывают, что для лабораторных колонн это время.

Рис. 7.20. Зависимость динамической удерживающей способности от плотности орошения при различных нагрузках по газу (лабораторная установка) 1 — С= 0 кг/м*-ч; 2 — 1057,3; 3 — 2261; 4 — 2619; 5 — 2888; $ — 3274; 7 — 3539; 8 — 3737; 9 — 4586 кг/м'-ч составляет доли секунд, а для промышленных — величину порядка не более 1—2 сек. Этот результат остается справедливым и в условиях двухфазного потока в широком диапазоне режимов двухфазной системы: пленочном, промежуточном и на начальных участках турбулентного режима. Последнее объясняется тем, что в указанных режимах наличие жидкой фазы незначительно сказывается на величине коэффициента В в уравнении (7.119). Тем не менее в условиях двухфазной системы возникает существенное отличие поведения двухфазного потока от однофазного. Это отличие состоит в том, что в момент нанесения ступенчатого возмущения по расходу газа перепад давления на колонне претерпевает скачок, происхождение которого поясняет закон (7.119), после чего наступает период сравнительно медленного изменения перепада давления до нового значения за счет постепенного перераспределения свободного сечения колоппы между фазами. Поведение двухфазной системы в этот период полпостью определяется динамикой дисперсной жидкой фазы, математическая модель которой в виде уравнений (7.24) и (7.107) отражает многофазность системы при известной зависимости коэффициентов этой модели от режимных параметров двухфазной системы в аппарате.

Особенности динамики двухфазной системы при возмущении по расходу газа удобно проследить, анализируя рис. 7.20, на котором приведены типичные зависимости динамической удерживающей способности насадочного аппарата от плотности орошения L

при различных нагрузках по газу G. Пусть исходное установившееся состояние двухфазной системы характеризуется точкой т₀ (рис. 7.20). Из рис. 7.20 следует, что при ступенчатом изменении нагрузки по каждой из фаз система переходит в новое установившееся состояние. Увеличение расхода жидкой фазы на величину &L—L₂—-L₀ переводит систему вдоль кривой 4 в установившееся состояние п₂ с параметрами L₂, G₀, #₁₂, а при уменьшении расхода на ту же величину — в состояние п_х с параметрами L_lt G₀, Н_п. Ступенчатое увеличение нагрузки по газу AG вызывает переход системы в установившееся состояние, соответствующее точке щ. Движение из точки т₀ в точку т₁ состоит из двух переходов: т₀ т[ и т -* т,. Состояние т будем называть промежуточным. Переход из начального состояния т₀ в промежуточное происходит почти мгновенно, так как ступенчатое возмущение по расходу газа, как упоминалось выше, обусловливает в начальный момент мгновенный скачок по перепаду давления на колонне в соответствии с законом (7.119). При этом происходит торможение жидкости по всей колонне. Снижение линейной скорости жидкости в колонне, происходящее вследствие возрастания расхода газа, приводит к тому, что внутренняя плотность орошения колонны L₀₁, т. е. плотность орошения, рассчитываемая по расходу жидкости внутри колонны, в первый момент становится меньше фактической нагрузки на аппарат L₀. Таким образом, промежуточное состояние т (рис. 7.20) характеризуется большей нагрузкой, но газу G₁=G₀+AG, меньшей плотностью орошения L₀₁, большим перепадом давления АР и прежней удерживающей способностью Н[_п=Н₁₀. Поведение системы в моменты времени, следующие после нанесения скачка по расходу газа, обусловливается возникшей в печальный момент разницей между внутренней плотностью орошения L_0l и фактической нагрузкой на колонну Ь₀. Поэтому переход т -* т_х можно рассматривать как отклик системы на ступенчатое возмущение по расходу жидкости AL₈«=L₀—L₀₁, которое действует относительно промежуточного состояния т с параметрами L₀₁, G_l5 Н'₁₀=Н₁₀. Переходный процесс на участке т[ -> полностью определяется динамикой распространения гидродинамического фронта возмущения жидкости, т. е. движение системы в конечное состояние m_Y происходит в соответствии с законами движения дисперсной фазы в насадке (7.24), (7.107) или (7.108).

Проведенный анализ позволяет сформулировать закономерность, вскрывающую специфику поведения насадочных аппаратов в нестационарном гидродинамическом режиме: в насадочном аппарате ступенчатое возмущение по расходу газа, нанесенное в данном установившемся состоянии у эквивалентно в смысле воздействия на систему ступенчатому возмущению по расходу жидкостиу действующему относительно промежуточного состояния, в которое система в момент подачи исходного возмущения (по расходу газа) переходит практически мгновенно.

Учтем отмеченные особенности динамики двухфазной системы в формулировке краевой задачи при выводе передаточной функции по рассматриваемому каналу:

где Р_п — прирост градиента давления в промежуточном состоянии т[.

Решая задачу (7.120)—(7.122) методом, изложенным выше, мы получим выражение для изображения изменения перепада давления на колонне, справедливое для моментов времени ?>0,.

откуда при s==/ будем иметь.

Повторяя вывод (7.114), (7.115) для случая возмущения, но расходу газа, можно записать /Р_ВЖ = ДР_ГЖ где k_G =

= [с?Ф (?₀, G)ldG]o^}_o. Переходя к изображениям по Лапласу и подставляя значение Р_шх в формулу (7.123), получим искомую передаточную функцию W₂(l_t р) но рассматриваемому каналу.

где.

Принимая во внимание выражение (7.116) для передаточной функции по каналу 1, перепишем соотношение (7.124):

Из выражения (7.126) следует, что передаточная функция по каналу нагрузка по газу—перепад давления в колонне представляет собой сумму двух передаточных функций. Первое слагаемое W₀ (Z, р) характеризует динамику перехода системы в промежуточное состояние т и, как видно из формулы (7.125), является коэффициентом усиления. Второе слагаемое характеризует динамику перехода системы из промежуточного состояния т[ в конечное т₁ (рис. 7.20) и с точностью до постоянного множителя (k_Glki) повторяет передаточную функцию по каналу плотность орошения-перепад давления в колонне. На рис. 7.21 представлена структурная схема динамических связей насадочного аппарата по каналам 1 и 2, построенная в соответствии с соотношением (7.126).

Канал плотность орошения на входе—плотность орошения на выходе аппарата. Динамика распространения фронта Рис. 7.21. Структурная схема динамических связей пасадочной колонны по каналам 1 и 2

гидродинамического возмущения вдоль колонны описывается уравнением (7.24). Решая для уравнения (7.24) краевую задачу в изображениях по Лапласу, аналогично задаче (7.108)—(7.109), получим искомую передаточную функцию по рассматриваемому каналу 3:

Канал нагрузка по газу—расход жидкости на выходе из колонны. Представим эмпирическую зависимость (7.32)—(7.35) удерживающей способности от плотности орошения и нагрузки по газу в виде, разрешенном относительно плотности орошения L—L (H_lf G). Пусть исходное установившееся состояние, принимаемое за начало отсчета в переходном процессе, характеризуется постоянной удерживающей способностью Я₁₀ и нагрузкой по газу G₀, тогда расход жидкости в колонне можно представить как L=L (Я₁₀, G₀). В момент подачи положительного ступенчатого возмущения по расходу газа &G=G_l—G₀ движение жидкости в насадке по всей колонне сразу же затормаживается, и расход жидкой фазы внутри колонны становится равным L₀₁—L (Я₁₀, Gy). Возникающая при этом разность между внутренней плотностью орошепия L_0l и внешней нагрузкой на аппарат L₀, равная L₀—L₀₁= =Д7/_ЭКВ, обусловливает начало распространения фронта гидродинамического возмущения от верха колонны к низу. При этом текущее значение внутренней плотности орошения может быть представлено как L=L [Н_х (х, t), Gy), причем динамика распространения Н_х (х, /) подчиняется уравнению (7.24). Разложим величину L, как функцию H_lt в ряд Тейлора до членов второго порядка малости относительно промежуточного состояния т с параметрами Я₁₀ и G_x:

Тогда искомую передаточную функцию можно записать в [виде.

где 1clq=—Д?_в«/А (т=(1 /AG)[L (Я₁₀, G_x)—L (Я₁₀, G₀) 1 — величина относительного скачка по расходу жидкости внутри колонны (и па ее выходе) в момент ступенчатого изменения нагрузки по газу.

Как видно из соотношения (7.128), в выражение для W_A (Z, р) составной частью входит передаточная функция по каналу 3. Подставляя в равенство (7.128) выражение (7.127) и учитывая, что с изменением знака возмущения AG знак W_i (/, р) меняется на противоположный, получим окончательное выражение для передаточной функции по рассматриваемому каналу:

Проверку адекватности математического описания нестационарных процессов гидродинамики в насадочном аппарате выполним на примере наиболее важных с практической точки] зрения каналов 1 и 2 путем сравнения экспериментальных и расчетных кривых переходных процессов по этим каналам. Как следует из выражений (7.116) и (7.124), главной частью передаточных функции по каналам 1 и 2 является передаточная функция W (I, р)_у которая определяется выражением (7.113). Непосредственное использование передаточной функции W (i, р) в виде иррационального и трансцендентного выражения (7.113) как для целей проверки адекватности, так и для целей анализа динамики объекта и синтеза соответствующей системы управления затруднительно. Поэтому решим задачу приближения передаточной функции (7.113) дробнорациональными функциями путем применения интерполяционных дробей Паде 145), с помощью которых экспоненциальная функция переменной z с удовлетворительной точностью представляется в виде (42).

Воспользуемся представлением (7.130) для показательной функции exp [(vl/2D) (1—Д + (4Gp/y²)], входящей в выражение передаточной функции (7.113). В результате передаточная функция (7.113) примет вид, свободный от трансцендентных выражений:

Чтобы освободиться от иррациональности в соотношении (7.131), разложим функцию /1-f-4/^p/y² комплексного переменного р в степенной ряд [46], при подстановке которого в знаменатель выражения (7.131) ограничимся тремя членами разложения. В результате приближенное дробно-рациональное выражение передаточной функции примет вид.

где.

Расчет теоретических кривых переходных процессов проводился с помощью ЦВМ «Эллиот-803». Параметры стационарного гидродинамического состояния, которое принимается за начало отсчета в исследуемом переходном процессе, определялись по следующим уравнениям.

Перепад давления на сухой насадке [43]:

где Х_г — коэффициент сопротивления, g — ускорение свободного падения.

Скорость газа в точке инверсии и_явв [43]:

Перепад давления на орошаемой насадке ДР_ГЖ [43]: где

Динамическая удерживающая способность двухфазной системы определялась по формулам (7.32)—(7.35). Коэффициент сглаживания фронта гидродинамического возмущения D рассчитывается по эмпирическим зависимостям для числа Пекле (7.38), (7.39).

Расчет функций отклика системы при возмущениях по расходу орошения включает следующие этапы. Пользуясь соотношениями (7.137) и (7.138), вычисляют коэффициент k_L в приближенном равенстве (7.115). Затем производится расчет основных параметров К, Т_х и Т₂ аппроксимированного вида (7.132) передаточной функции W_x (Z, р) по каналу 1. Для этого необходимо знать линейную скорость v дисперсной (жидкой) фазы и коэффициента сглаживания фронта гидродинамического возмущения D. При известных нагрузках на аппарат L₀ и G₀ параметры и и D рассчитываются на основании соотношений (7.32)—(7.35) и (7.38), (7.39).

Для расчета динамических характеристик системы при возмущениях по расходу газа необходимо определить передаточную функцию W₀ (Z, р), являющуюся, как уже упоминалось, коэффициентом усиления, и пересчитать возмущение по газу на эквивалентное возмущение по расходу жидкости. Перепад давления, соответствующий промежуточной точке т[, переход в которую осуществляется при постоянной удерживающей способности #₁₀, рассчитывается по соотношениям (7.34) и (7.35). Затем при известном перепаде давления АР_п и нагрузке по газу G_x определяется соответствующая точке т нагрузка по жидкости L₀₁, для чего методом половинного деления решаются относительно плотности орошения уравнения (7.137), (7.138). Определение параметров состояния, соответствующего промежуточной точке т_х, решает задачу нахождения передаточной функции W₀ (I, р) и величины эквивалентного возмущения ДЬ_лы по расходу жидкости.

Блок-схема алгоритма расчета приведена в работе авторов 142].

Сравнение расчетных переходных функций с экспериментальными динамическими характеристиками проводили на лабораторной и промышленной установках. Лабораторная установка представляла собой насадочную колонну диаметром 150 мм, заполненную кольцами Рашига размерами 15×15×2 мм на высоту 1 м. В качестве двухфазной системы использовали систему воздух— вода. Диаметр промышленной колонны составлял 2,4 м; насадкой служили керамические кольца Рашига размером 60×60×8 мм; высота слоя насадки составляла 12 м. Давление в колонне 29— 31 атм; температура газовой фазы 50—60° С; температура жидкости 6−10° С. Для лабораторного и промышленного аппаратов получено удовлетворительное совпадение экспериментальных и расчетных динамических характеристик (см. рис. 7.22). На рисунке отчетливо виден характерный скачок по величине АР, наблюдающийся в момент подачи возмущения по расходу газа и характеризующий практически мгновенный переход системы в промежуточное состояние т. После указанного скачка картина переходного процесса по каналу 2 аналогична процессу, наблюРис. 7.22. Расчетные (пунктирные линии) и экспериментальные (сплопшыо линии) динамические характеристики насадочной колонны при возмущениях по расходу жидкости и газа.

1 — О_в = 2540 кг/м* • ч, Lo = = 3440 кг/м* • ч, vr!v_впв = 0,618,.

Д?, — 1160 кг/м* • ч;

2 —G₀ — 2450 кг/м* • ч; Ь₀ = = 9530 кг/м* • ч, ®г («ивв = О*⁷⁹».

AL = 1810 кг/м* • ч;

• 3 — Go = 2580 кг/м* .ч, L₀ = = 2110 кг/м* • ч, Vr/Vans =0,56,
• 4G = 144 кг/м* • ч;
• 4 —Go — 3300 кг/м* .ч, L₀ = = 2110 кг/м* • ч, Гг/Оинв =0,684,

ДС = 340 кг/м* • ч;

5 — G₀ — 2710 кг/м* • ч, L₀ = = 165 930 кг/м* • ч, v_rlvпвв = 0,72,.

ДО = 650 кг/м* • ч дающемуся при возмущениях по расходу жидкости (см. рис 7.22). На рис. 7.22 кривые 1—4 получены на лабораторной установке, кривая 5 — на промышленной колонне.

Математическую модель нестационарного процесса абсорбции в насадочном аппарате построим так, чтобы она отражала три основных фактора, наиболее важных в общем динамическом поведении процесса: 1) неравномерность распределения по времени пребывания элементов потока в аппарате; 2) распределенность в пространстве и времени основных гидродинамических параметров процесса: удерживающей способности, расхода жидкости в колонне, перепада давления; 3) наличие полной замкнутой цепи обменных процессов в насадочном аппарате: газовая фаза—проточная зона потока жидкости—застойная зона потока жидкости—газовая фаза с количественным выражением интенсивности обменных процессов всех звеньев замкнутой цепи.

Динамическая удерживающая способность аппарата Н_г, а также расход жидкости по колонне L в условиях нестационарного режима двухфазного потока в аппарате являются функциями времени t и координаты х в продольном направлении: Н₁=Н₁ (я, t) и L=L (х, t)=vSH₁ (х, t), где v — средняя скорость распространения вдоль колонны фронта гидродинамического возмущения; S — площадь поперечного сечения аппарата. Если при выводе уравнений динамики процесса абсорбции пренебречь членами порядка произведения частных производных (дН₁/дх)(дс/дх)_у то совместное рассмотрение эффектов распределенности гидродинамической обстановки в аппарате, продольного перемешивания и наличия полной замкнутой цепи обменных процессов между фазами приводит к следующей системе уравнений сохранения массы [47,48]:

в которой первые два уравнения постулируют сохранение массы растворенного вещества в жидкой и газовой фазах; третье уравнение описывает динамику распространения фронта гидродинамического возмущения в системе; четвертое уравнение представляет собой уравнение баланса массы для застойной части потока жидкости, обменивающейся веществом как с проточной зоной потока жидкости, так и с газовой фазой.

Если нестационарный процесс абсорбции протекает в стационарной гидродинамической обстановке, а источником нестационарности служат только возмущения по составу потоков, то Н_г (x, t) = =const, следовательно, dH₁/dx—dH₁/dt=0, и система уравнений (7.139) приводится к виду.

При условии полной стационарности процесса абсорбции и система уравнений (7.139) принимает вид.

В уравнениях системы (7.139) Н (я, t)—H_l (х, t)+H₂, где Н₂ — относительный объем застойных зон в системе, который рассчитывается, но эмпирическим соотношениям (7.36) и (7.37); D_lt D₂ — коэффициенты продольного перемешивания соответственно в проточной зоне потока жидкости и в потоке газа, которые определяются по известным эмпирическим формулам [И, 16]; ку, Ат, A’f, к_1У к₂ — величины, характеризующие интенсивность обмен;

ку

ных процессов замкнутой обменной цепи: газовая фаза _<__> про точная зона потока жидкости застойная зона потока жидкости газовая фаза, где к? — коэффициент массопередачи; величина определяется из эмпирической зависимости (7.77). Способ расчета коэффициента обмена к₂ и равновесных данных, помеченных звездочкой, будет дан ниже.

Таким образом, система (7.139) представляет собой замкнутую систему уравнений относительно четырех неизвестных: концентрации растворепного вещества в проточной части жидкой фазы Cj (х, t), концентрации в застойной зоне аппарата с₂ (х, /), концентрации растворенного вещества в газовой фазе у (х, t) и динамической удерживающей способности аппарата H₁ (х, t). Как видно.

Рис. 7.23. Структурная схема ячеечной модели с замкнутой цепью обменных процессов для нестационарного процесса абсорбции в пасадочной колонпе.

из структуры системы (7.139), совместное решение ее уравнений сопряжено со значительными трудностями. С точки зрения нахождения численных результатов удобнее перейти от системы (7.139) к эквивалентной симметричной ячеечной модели, учитывающей распределенность в пространстве и времени объемов ячеек:

Структурная схема ячеечной модели, отвечающая системе уравнений (7.140), представлена на рис. 7.23. Здесь с_1п, с_2п — концентрация растворенного вещества соответственно в проточной и застойной частях тг-й ячейки потока жидкости; у_п — концентрация в л-й ячейке потока газа; V_nl=hH₁ (.х, t) S — переменный объем проточной части /i-й ячейки потока жидкости; V"2=hlI₂S — объем застойной части п-й ячейки потока жидкости; V_n~h [V_c— — Н (х, t)] S — переменный объем п-й ячейки потока газа; ку, Л_1э к₂ — коэффициенты обмена замкнутой цепи обменных процессов между ячейками. Частные случаи модели (7.140) не раз встречались в литературе. Так, если пренебречь распределенностью гидродинамических параметров по длине аппарата и во времени, а также обменом между проточными и застойными зонами в жидкости, то система уравнений (7.140) примет вид, который исследовался в работе [49]:

где H_L, H_G — удерживающая способность по жидкой и газовой фазам аппарата соответственно. Пренебрегая распределенностью гидродинамических параметров в пространстве и времени, а также обменом между газовой фазой и застойными зонами в жидкости, мы сведем уравнения (7.140) к системе.

которая использовалась в работе [50) при моделировании динамики процесса ректификации в насадочной колонне.

Система уравнений (7.140) представляет собой смешанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными. Для решения этой системы удобно воспользоваться независимостью последнего уравнения от остальных уравнений системы. Решая это уравнение при^{дополнительных} условиях, соответствующих закрытому аппарату.

найдем характер изменения динамической удерживающей способности по длине колонны х и во времени t при ступенчатом возмущении ДН₁ на входе в аппарат:

В соответствии с дискретной природой ячеечной модели (7.140) следует перейти от непрерывного по времени и длине распределения (7.142) к дискретному по длине и непрерывному по времени распределению объемов ячеек:

где h — высота колонны, соответствующая одной ячейке. Выражение (7.143) означает, что весь объем п-й ячейки непрерывно изменяется во времени, начиная с момента t=nhlv поступления на эту ячейку фронта гидродинамического возмущения. Реализация выражения (7.143) при моделировании системы (7.140) на ЭВМ не представляет труда.

Помимо характера распределения объемов ячеек для расчета динамики процесса абсорбции в насадочном аппарате с помощью модели (7.140) необходимо знать входящие в нее параметры: число ячеек N, коэффициент массопередачи k_v, а также коэффициенты обмена к_х и к₂.

Исходя из граничных условий для закрытого аппарата, мы определим число ячеек N симметричной ячеечной модели по формуле (1 /iV)=(2/Ре) {1 — [1 —ехр (—Ре) ]/Ре }, где число Пекле 'Pe=vl/D_l вычисляется для проточной зоны потока жидкости в соответствии с ранее изложенной методикой (см. § 7.1).

Как уже упоминалось, коэффициент обмена к_х между проточными и застойными зонами жидкости рассчитывается по формуле (7.77).

Существующие в литературе [48, 49] попытки количественной оценки коэффициента обмена к₂ между газовой фазой и застойными зонами жидкости для частного случая (7.141) модели (7.140) сводятся к предположению о равенстве значений коэффициента обмена к₂ и общего коэффициента массопередачи ку, т. е. к₂=ку_у что, по-видимому, является не вполне корректным допущением. В то время как эффективность массообмена между газовой фазой и проточной зоной жидкости в значительной степени зависит от интенсивности гидродинамического взаимодействия фаз, интенсивность обмена между газовой фазой и застойными зонами жидкости, по-видимому, будет определяться в основном гидродинамической обстановкой только в газовой фазе, которая движется мимо застойных зон жидкости, характеризующихся установившейся, фиксированной поверхностью раздела фаз. Это подтверждается результатами работы [22], в которой показано, что перемещение жидкости застойных зон в направлении оси колонны отсутствует. В соответствии с представлениями о межфазной турбулентности [43] коэффициент массопередачи можно рассматривать независимым от взаимодействия потоков фаз. Это приводит к тому, что в уравнениях массопередачи для двухфазных систем [43] фактор гидродинамического состояния /_Р=0. При этом для расчета коэффициентов массопередачи в случае хорошо растворимых газов можно использовать уравнение.

а для плохо растворимых газов — соотношение.

Здесь Re, Рг — критерии Рейнольдса и Прапдтля соответственно; индексы «г» и «ж» относятся к газу и жидкости соответственно; п, т, р, q — постоянные коэффициенты [43].

Остается определить коэффициент массопередачи ку, входящий в уравнения модели (7.140). Трудности в определении коэффициента к_у состоят в том, что в литературе подавляющее большинство корреляций для ку дано без учета продольного перемешивания в аппарате, т. е. исходя из модели идеального вытеснения. Непосредственно использовать эти данные в модели (7.140), учитывающей неравномерность распределения элементов потока по времени пребывания в аппарате, нельзя, так как эти значения ку не соответствуют принятой структуре модели (7.140). Таким образом, для расчета процесса по модели (7.140) необходима либо постановка соответствующих экспериментов по определению коэффициента ку с учетом продольного перемешивания в колонне, либо разработка специальной методики пересчета существующих экспериментальных данных, которая позволила бы ввести поправку в известные значения ку на неидеальность модели структуры потоков в аппарате.

Здесь мы ограничимся исследованием особенностей динамики процесса абсорбции для случая низких концентраций абсорбируемого компонента в газовой фазе и больших плотностей орошения. В этом случае можно приближенно оценить поправку в величине коэффициента ку, которую необходимо учитывать при использовании в модели (7.140) литературных данных. Будем полагать, что коэффициент ку, рассчитанный на основе модели идеального вытеснения, связан с коэффициентом массопередачи ку, определяемым на основе ячеечной модели соотношением.

где т_у — корректирующий множитель, подлежащий определению.

В принятых предположениях рабочая и равновесная липии близки к прямым, и количество абсорбированного компонента q_t6, выраженное через среднелогарифмическую движущую силу, имеет вид.

Подставим вместо q_%i в левую часть написанного равенства количество абсорбированного компонента, выраженное через параметры ячеечной модели q_a6=G {у₀—у#). Тогда, учитывая соотношение (7.146), получим.

где V=NAV, e=k_vAV/G.

Покажем, что величина е может быть приближенно выражена через известные параметры процесса. На основании уравнения материального баланса для п-й ячейки газовой фазы можно записать.

При сделанных предположениях концентрация абсорбируемого компонента в жидкой фазе изменяется незначительно, и для приближенного расчета равновесной концентрации в соотношениях (7.148) можно использовать среднюю концентрацию в жидкости по высоте колонны. На этом основании мы перейдем в соотношениях (7.148) к соответствующим приближенным равенствам, в которых будем полагать const, п=1, 2,.. ., N. Под ставляя у_п__х в выражение (7.148) для у" последовательно для п=1, 2,.. N, получаем.

откуда.

Подставляя (7.149) в (7.147), получаем искомое выражение для корректирующего фактора.

Расчет динамических характеристик процесса абсорбции производился] на ЦВМ «Эллиот-503». Для расчета необходима следующая исходная информация: величины нагрузок по фазам, значения конструктивных параметровколонньги насадки, данные * физикохимических свойств фаз.

Расчет таких параметров, как перепад давления, скорость газа в точке инверсии фаз^_янв, число’Пекле и динамическая удерживающая способность аппарата, которые характеризуют гидродинамическое состояние, принимаемое за начало отсчета в переходном процессе, производился по формулам (7.32)—(7.39), (7.136)—(7.138). Относительный объем застойных зон Н₂ определялся по эмпирическим соотношениям (7.36), (7.37).

Расчет начинался с ввода исходной информации в машину и определения профиля распределения концентрации по длине колонны в стационарном состоянии, которое принималось за начало отсчета при количественном анализе динамических характеристик. Этот расчет производился, но алгебраическим уравнениям, вытекающим из системы (7.140), в которой производные по времени полагались равными нулю, а также предполагалось, что в стационарном состоянии значения концентрации абсорбируемого компонента в проточных и застойных зонах одипаковы. Так как начальные концентрации задавались на противоположных концах колонны, расчет стационарного состояния носил итерационный характер. Итерации осуществлялись методом половинного деления, где варьируемой переменной являлась концентрация абсорбируемого компонента в газовой фазе на выходе из колонны. В качестве условия окончания итерационной процедуры использовалось неравенство | yfQ — | ^ а₀, ^гД^{е а}о — заданная погрешность вычисления.

Расчет нестационарного режима процесса абсорбции сводился к интегрированию системы уравнений (7.140) при ступенчатом изменении расхода жидкости относительно его значения в стационарном состоянии. Интегрирование осуществлялось методом Рунге—Кутта с автоматическим выбором шага интегрирования. В момент подачи возмущения динамическая удерживающая способность первой ячейки изменяется в соответствии с уравнением (7.143). При этом удерживающая способность по газу определялась по формуле Hg=V_c—(Н₁—Н₂). Одновременно производился пересчет всех коэффициентов обмена замкнутой обменной цепи па новые нагрузки по формулам (7.77), (7.144)—(7.146). По истечении времени t=hlv от момента подачи возмущения на первую ячейку аналогичная процедура повторялась для второй ячейки и т. д. Блок-схема алгоритма расчета приведена в работе [47].

Проверку адекватности математического описания нестационарного процесса абсорбции в насадочной колонне и определение влияния различных факторов на характер переходных процессов в аппарате производили путем сравнения экспериментальных и расчетных динамических характеристик системы для хорошо-, средне- и плохорастворимых газов (соответственно системы NH_S—Н₂0, S0₂—Н₂0, С0₂—Н₂0). Для системы NH₃—Н₂0 равновесные данные рассчитывали по формуле (511 lg тп=4,705—1922/7¹; для системы С0₂—Н₂0 — по формуле [52] т = 1245/(а— b Р); для системы S0₃—Н₂0 — по формуле [53] с* = (Psojm) + 'JKpP&ojm* где т — константа равновесия; а, Ъ — постоянные коэффициенты; Т — абсолютная температура; К₉ — константа равновесия реакции.

Опыты проводили на лабораторной и промышленной насадочных колоннах, описанных выше (см. стр. 404). Средняя концентрация С0₂ в газе на входе в промышленный абсорбер составляла 25−27 об.% СО_?.

Рис. 7.24. Сравнение расчетных и эксперименальных динамических характеристик (отклик ио составу газа) при возмущении по расходу жидкости 1 — система NH,—Н, 0; L*=2590 кг/м*ч; С_в=2630 кг/м*ч; ДЬ=1130 кг/м²ч; Vf/Vene*³ =0,57; Увх=2,9 об.% NH,; 1 — расчет по уравнениям (7.140); 2 —расчет по уравнениям (7.141); 3 — эксперимент; II — система SO*—Н, 0; L_o=3950 кг/м*-ч; G_e=3020 кг/м²-ч; AL=1100 кг/м*ч; Увх=0,286 вес.% SO,; 1 — эксперимент; 2 —расчет по уравнениям (7.140); 3 — расчет по уравнениям (7.141).

Результаты сравнения экспериментальных и расчетных динамических характеристик лабораторного насадочного аппарата представлены на рис. 7.24. На этом рисунке приведены два типа расчетных характеристик: кривая 1 представляет переходный процесс системы, рассчитанный по предложенной математической модели; кривая 2 представляет переходный процесс, рассчитанный по ячеечной модели, структура которой не учитывает распределенности гидродинамической обстановки в аппарате и эффектов обмена между проточными и застойными зонами жидкости. Подача возмущения по расходу жидкости при расчете кривой 2 осуществляется путем мгновенного измепения плотности орошения по всей длине колонны. Указанные допущения в структуре модели (7.141) являются источником значительных расхождений между экспериментальными и рассчитанными по этой модели динамическими характеристиками в области средних частот: наблюдается существенная разница в величинах постоянных времени расчетной и экспериментальной кривых отклика, а также сокращение расчетного времени переходного процесса по сравнению с фактическим. Из рис. 7.24 видно, что указанные расхождения значительно меньше для кривой 7, полученной с помощью описанного алгоритма расчета динамики процесса абсорбции. Хорошее соответствие экспериментальных и расчетных кривых 1 по всей полосе частот системы обусловливается принятой структурой модели (7.140) и алгоритмом решения ее уравнений, которые отражают все основные источники инерционных свойств процесса: постепенность распространения фронта гидродинамического возмущения', замкнутость цепи обменных процессов с адекватным количественным выражением всех потоков обмена', продольное перемешивание вещества в аппарате. В первые моменты^ после подачи возмущения, когда разница в значениях концентрации в проточных и застойных зонах жидкости невелика, инерционные^ свойства объекта в основном определяются обменом _ между ^ газовой_фазой_лнепроточной зоной жидкости, обменом между газовой фазой и застойной зоной жидкости, а также постепенностью распространения фронта гидродинамического возмущения. Эти эффекты вносят основной вклад в формирование начального, высокочастотного участка кривой переходного процесса системы. По мере роста разности концентраций между проточными и застойными зонами жидкости возрастает величина обменного потока между этими зонами, влияние которого начинает заметно сказываться на динамическом поведении системы, внося наряду с упомянутыми выше факторами существенный вклад в формирование среднечастотного участка кривой переходного процесса системы.

Сравнение расчетной и экспериментальной динамической характеристики процесса абсорбции плохорастворимого газа (система С0₂—Н₂0) производилось на промышленной насадочной колонне. Результаты сравнения показали, что совпадение экспериментальной и расчетной кривых отклика для промышленной колонны вполне удовлетворительное 147].

Исследовался характер деформации рассчитанных по разработанному алгоритму кривых отклика системы при вариации константы равновесия и коэффициента массообмена ку. Константа равновесия оказывает существенное влияние на характер переходного процесса системы. С ростом константы равновесия наблюдается резкое возрастание коэффициента усиления и уменьшение постоянной времени системы. Например, для системы аммиак— вода изменение температуры на 2° приводит к изменению константы равновесия на 9%, что, в свою очередь, вызывает такую деформацию кривой переходного процесса, при которой коэффициент усиления возрастает на 10%, а постоянная времени уменьшается на 11% от начального значения.

Интересно было проследить деформацию кривых отклика системы при вариации различных коэффициентов обмена замкнутой обменной цепи. Оказалось, что с ростом коэффициента массообмена ку между газовой фазой и проточными зонами жидкости объект становится менее инерционным: возрастает коэффициент усиления и уменьшается постоянная времени системы. Аналогичный характер носит деформация функций отклика при изменении коэффициента обмена к₂ между газовой фазой и застойными зонами жидкости. Напротив, с ростом объект становится.

более инерционным: кривые переходного процесса становятся более затянутыми, т. е. возрастает постоянная времени системы при неизменном коэффициенте усиления. Аналогичный характер носит деформация функций отклика системы при увеличении удерживающей способности аппарата 147]. .

Управляемость насадочного абсорбера по каналам гидродинамики и массообмсна. Из гидродинамических каналов выделим два (как наиболее важные [54]): расход жидкости на входе L — перепад давления на всей колонне ДР (передаточная функция (р)); нагрузка по газу G — перепад давления па колонне (передаточная функция V₂ (р)). С практической точки зрения наиболее неблагоприятными возмущениями по каналу массообмена являются колебания в нагрузках на аппарат [54]. Поэтому из каналов массообмена выделим два канала: расход жидкости на колонну L — состав газа на выходе из аппарата у (передаточная функция W₆ (р)); нагрузка по газу G — состав газа на выходе из колонны у (передаточная функция W_e (р)). Соответствующие приближенные передаточные функции имеют вид.

где Kq=W_q, причем, как показали расчеты по уравнениям (7.133) — (7.135) и моделирование на ЦВМ, для постоянных времени 7, Т2″ Г₃, 7, Т_ь справедлива оценка.

Таким образом, насадочный абсорбер представляется как многосвязный объект, переменные которого связаны соотношениями.

Обследование характера входных возмущений на насадочные абсорберы в промышленных абсорбционных системах [54] показало (рис. 7.25), что нагрузка по газу на аппарат G изменяется случайно и скачкообразно, т. е. переход на новое значение нагрузки происходит практически мгновенно. Поэтому функцию G (0 можно считать кусочно-постоянной со случайной длиной интервала постоянства. Пусть (*₀, <_х) — любой из интервалов, на котором 6г=(г₀⁼⁼ const и где предполагается строить управление. Для интервала постоянства (t₀, t_x) равенства (7.151) и (7.152) при G=G₀ примут вид.

Приведем уравнения (7.153), (7.154) к каноническому виду:

где х, и — вектор состояния и вектор управления; А, В — матрица состояния и матрица управления.

Рис. 7.25. Характер возмущений по газу G и жидкости L на промышленном насадочпом аппарате Введем новые переменные х (t) и z (t), изображения, но Лапласу которых есть.

В переменных (7.156) соотношения (7.153), (7.154) запишутся как.

Возвращаясь из комплексной в действительную область в соотношениях (7.157), (7.158), получим

Выбирая в качестве переменных состояния по гидродинамическому каналу х₁ = х₁ х₂ = х, приведем уравнение (7.159) к виду (7.155).

Выбирая в качестве переменных состояния по каналу массообмена z₁ = z, z₂ = z, z₃ = f, приведем уравнение (7.160) к виду (7.155).

Критерием управляемости динамической системы (7.155) является равенство (см. § 2.5)

где п — размерность системы; п_у — степень минимального многочлена М (X), который определяется как Для системы (7.161) имеем.

Таким образом, по каналу гидродинамики при указанном характере возмущений по расходу газа система вполне управляема.

Учитывая оценку (7.150) и пренебрегая членами порядка 1 Hi и выше, для системы (7.162) получим.

Так как размерность системы п=3, можно сделать вывод, что система по каналу массообмена плохо управляема. Таким образом, с точки зрения управляемости канал гидродинамики является предпочтительным.

Аналитический синтез оптимального регулятора. Часто в таких процессах, как водная очистка синтез-газа от двуокиси углерода, очистка газов от аммиака, улавливание хвостовых газов и т. п., основное требование к промышленному абсорберу состоит в том, чтобы концентрация абсорбируемого компонента в газовой фазе на выходе из аппарата не превышала заданной величины: у ^ у_зд. Если входные возмущения по составу фаз таковы, что концентрация абсорбируемого компонента не выходит за допустимые границы на выходе из аппарата (что можно наблюдать особенно при больших плотностях орошения), а наиболее опасными являются возмущения по расходу газовой фазы, то сформулированный выше вывод относительно управляемости каналов насадочного абсорбера находит эффективную практическую реализацию. Действительно, сведем задачу регулирования выходной концентрации по каналу массообмена к эквивалентной задаче по каналу гидродинамики. При задапных нагрузках па аппарат и фиксированном диапазоне допустимых концентраций на выходе всегда можно рассчитать соответствующий этим условиям перепад давления на колонне АР_гх [55]. Пусть система регулирования выходной концентрации предусматривает функциональный блок, в задачу которого входит вычисление с каждым новым скачком по расходу газа того перепада давления, который соответствует вовой нагрузке по газу и заданной концентрации на выходе. При этом задача регулирования состава газа на выходе из аппарата сводится к поиску такого управляющего воздействия по расходу жидкости L, которое после каждого нового скачка по расходу газа G приводило бы фактический перепад давления ДР к рассчитанному для новых условий перепаду давления ДР_9Х.

При решении задачи синтеза управления примем в качестве переменных состояний х_г=АР— ДР_зд, x₂=i₁. Тогда па основании соотношения (7.153) уравнения состояния объекта по каналу гидродинамики примут вид.

^{0 1} т

где А= __ij_T ~ матрица состояния; В = [О К₁/2Т₁] —.

матрица управления; С = [0 К₂12Т^—матрица возмущений; х=. = [^xi> ^хг]^Т — вектор состояния; u == L — (2ДР"/А₁) — управление; v = G₀ — возмущение.

Будем искать управление и на каждом интервале постоянства расхода по газу G, которому соответствует вычисленное на функциональном блоке значение ДР,_д, при технологических ограничениях на управление и возмущение: |L|<^L_tei; G₀^G_79X.

Синтез оптимального регулятора проведем на основе прямого метода Ляпунова. Из связи, существующей между прямым методом Ляпунова и методом динамического программирования следует, что если для замкнутой системы установлен факт асимптотической устойчивости с помощью некоторой функции Ляпунова V (х), то аналитически сконструированный регулятор по этой функции будет в известном смысле оптимальным 156, 57]. Будем искать функцию V (х), которая сообщала бы системе.

сильную практическую устойчивость при указанных выше ограничениях на возмущения и управление. В общем случае достаточными условиями сильной практической устойчивости системы являются 157, 58).

1. Функция V (х) непрерывно дифференцируема по аргументам #1″ • • •" х_я,

4. F (x)^7(z), х?/?₀, z?/?, где И₀ — область начала движения; R — ограниченная область, содержащая положение равновесия, причем R₀ с Л.

Поиск функции Ляпунова, удовлетворяющей перечисленным условиям, обычно производится путем выбора в качестве V (х) положительно определенной квадратичной формы V (х)=, где Q — положительно определенная симметричная матрица, удовлетворяющая равенству.

причем S — тоже положительно определенная симметричная матрица; тогда производная.

есть отрицательно определенная функция. Для нашего случая получим.

Г¹ °1.

В качестве S выберем единичную матрицу: S= ^^. При этом из соотношения (7.165) определяется матрица Q:

Подставляя (7.164) и (7.166) в выражение для производной (7.165) и пользуясь симметричностью матрицы Q, получим.

Первое слагаемое в выражении (7.167) представляет собой отрицательно определенную функцию, что обусловлено выбором матрицы S. Остается подобрать такое управление и, чтобы производная dVIdt была отрицательной. Это достигается выбором каждой координаты и, максимальной по модулю и по знаку противоположной соответствующим координатам произведения B^rQx, которое в пашем случае равно.

Из последнего выражения следует, что для достижения асимптотической устойчивости в большом достаточно выбрать управляющее воздействие в виде.

где.

Нетрудно видеть, что при этом система управления обладает сильной практической устойчивостью. В самом деле, если V= — Vmbx=G_JCX — максимальная величина возмущения по расходу газовой фазы, то производная dVfdt задается выражением:

и все достаточные условия сильной практической устойчивости выполняются [59].

Структурная схема синтезированного релейного регулятора представлена на рис. 7.26. Этот тип регулятора положен в основу разработки системы автоматического регулирования промышленными насадочными абсорберами, функционирующими при значительных возмущениях по нагрузкам и небольших возмущениях.

Рис. 7.26. Блок-схема оптимального регулятора.

Рис. 7.27. Схема системы автоматического регулирования работы промышленного насадочного абсорбера.

1 — регулятор перепада давления; 2,3 — функциональные блоки; 4 —блок линеаризации; S — измеритель расхода газа; б — регулирующий клапан; 7 —блок обратного пред варения по составу фаз. Блок-схема системы регулирования представлена на рис. 7.27. На рис. 7.28 показаны кривые переходных процессов по перепаду давления и составу газа на выходе из аппарата с системой регулирования. Из рис. 7.28 видно, что использование.

Рис. 7.28. Переходные процессы по перепаду давления (ДР) и составу газа (у_ВН1) насадочного абсорбера в контуре регулирования релейного регулятора перепада давления на колонне приводит к удовлетворительному качеству переходных процессов. В настоящее время разработанная схема регулирования прошла промышленные испытания и реализована на ряде химических комбинатов страны [60].

*.

* *.

В этой главе рассмотрен ряд характерных примеров использования методов идентификации линейных систем для описания гидродинамической структуры потоков в технологических аппаратах на основе модельных представлений. При описании ФХС с помощью типовых моделей функциональный оператор ФХС обычно состоит из двух частей: части, отражающей гидродинамическую структуру потоков в аппарате (как правило, линейна? составляющая оператора), и части, отражающей собственно физико-химические превращения в системе (как правило, нелинейная составляющая оператора). Линейная составляющая оператора ФХС, соответствующая так называемому «холодному» объекту (т. е. объекту без физико-химических превращений), допускает эффективное решение задач идентификации линейными методами. При этом поведение ФХС отождествляется с поведением такой динамической системы, весовая функция которой совпадает с функцией РВП исследуемого объекта. Такой подход открывает возможность при описании гидродинамической обстановки в технологических аппаратах широко применять метод нанесения пробных возмущений, который в сочетании с общими методами структурного анализа ФХС представляет эффективное средство решения задач системного анализа процессов химической технологии.

Как следует из материала рассмотренной главы, применение указанной методики позволило решить ряд важных практических задач в области расчета процессов, протекающих в химико-технологической аппаратуре. Так, развит прямой метод исследования гидродинамической структуры потоков в аппаратах на основе специфических свойств нсустановившихся течений жидкостей и газов в насадке и пористой среде; установлен характерный для насадочных колонн гидродинамический эффект, проявляющийся в наличии экстремальной зависимости статической удерживающей способности от нагрузок по фазам на аппарат; созданы методики и получены расчетные формулы для определения важнейших гидродинамических параметров структур потоков — коэффициентов продольного перемешивания, относительных объемов проточных и застойных зон, коэффициентов обмена между проточными и застойными зонами. Результаты исследования гидродинамической структуры потоков в насадке положены в основу анализа динамики процесса абсорбции в насадочных колоннах, оценки управляемости по каналам гидродинамики и массообмена и синтеза оптимального управления этими аппаратами.