Примеры решения задач

Задача 6.1. Мощность моторов самолета массой 4 т при отрыве от земли N = 600 кВт. Разгоняясь равноускоренно, самолет достигает скорости о = 30 м/с. Принимая, что коэффициент сопротивления р = 0,04 не зависит от скорости, определите длину пробега самолета перед взлетом. Дано: СИ Решение. Выбрав направление оси jc в.

_т = 4 т 41 о³ кг горизонтальном направлении в сторону дви;

N=600 кВт 610⁵ Вт жения самолета (см. рис.), запишем II закон и = 30 м/с Ньютона в проекции на эту ось при движении р = 0,04 самолета по взлетной полосе:

/-?

та = Fj — рN,

где F_T — сила тяги моторов. Так как N = mg, то отсюда сила тяги моторов

Мощность двигателя N = F_Ti), следовательно Исходя из этого получаем:

Так как движение равноускоренное, а начальная скорость не дана, это уравнение можно записать в следующем виде:

отсюда длина пробега самолета перед взлетом.

Ответ: / = 97,7 м.

Задача 6.2. На край тележки массой М = 5 кг, равномерно движущейся по рельсам, опускают с небольшой высоты короткий брусок массой т = 1 кг. Коэффициент трения бруска о тележку р. = 0,5, между тележкой и рельсами трение отсутствует. На какое расстояние s переместится брусок по тележке, если её длина / = 0,5 м, а скорость тележки постоянна и равна Di = 2 м/с? При какой минимальной скорости тележки брусок соскользнет с неё? Какое количество тепловой энергии выделится при этом?

Дано:

М = 5 кг ^вы

т = 1 кг го].

р = 0,5 ву:

/ = 0,5 м им.

i)i = 2 м/с S-? гд<

^Imin ^— ?

Q-1

Решение. При взаимодействии бруска и тележки выполняется закон сохранения импульса. Поскольку в горизонтальном направлении внешние силы не действуют, го в проекции на ось х (рис.) закон сохранения импульса можно записать в виде:

М)| = (Л/+/и)ц,

где и — скорость тележки после остановки бруска. Отсюда:

В системе брусок — тележка действует сила трения, поэтому закон сохранения энергии можно представить в виде.

где Е|_К, /?2к — кинетическая энергия системы в момент времени сразу после опускания бруска и в момент остановки бруска, соответственно.

Используя это выражение и работу силы трения скольжения, получим:

Исходя из этого получим искомое расстояние:

Ответ: s = 0,339 м; o_lmjn =5,42м/с; Q = 1,67 Дж. Задача 6.3. С вершины идеально гладкой полусферы радиусом R = 60 см без трения соскальзывает небольшое тело. Определите, на каком расстоянии от вершины тело оторвется от полусферы.

По условиям задачи брусок должен соскользнуть с тележки, это случится, если s > I, т. е.

Искомая минимальная скорость, при которой брусок соскользнет с неё:

Количество теплоты, выделившееся за время движения бруска относительно тележки:

используя это выражение и выражение для скорости тележки, получим:

Дано:

R = 60 см_.

/*1 -?

Решение. Тело вплоть до момента отрыва движется по полусфере под действием силы тяжести mg и силы нормальной реакции N полусферы. Запишем второй закон Ньютона для тела в проекциях на ось Y, направленную вдоль радиуса к центру окружности. Согласно рис.

где cosa = h/R₄ h — высота, на которой тело оторвется от полусферы.

В момент отрыва сила реакции опоры N = 0. Тогда.

Согласно закону сохранения механической энергии.

Подставив (I) в (2), найдем:

Искомое расстояние тогда

Ответ: h = 20 см.

Задача 6.4. Два свинцовых шара массами т = 2 кг и т₂ = 3 кг подвешены на нитях длиной / = 70 см так, что касаются друг друга. Меньший шар отклонили на угол a =.

60° и отпустили. Считая удар центральным и неупругим, определите высоту /7, на которую поднимутся шары после удара. Найдите энергию АЕ_К, израсходованную на деформацию шаров при ударе.

Дано:

/721 =2 КГ /772 = 3 КГ.

/ = 70 СМ «= 60°.

Решение: Удар неупругий, поэтому после удара шары движутся вместе со скоростью и, которую найдем из закона сохранения импульса:

где i>i и 1)2 — скорости шаров до удара. Скорость)| малого шара найдем из закона сохранения механической энергии:

/7-?

—? тогда.

где /?, = /(1 — cos а).

Из выражений (1) и (2), при условии, что )j = 0, получим Из закона сохранения механической энергии имеем: отсюда, с учетом (3), искомая высота.

Энергия, израсходованная на деформацию шаров при ударе,.

Подставив (2) в (4), получаем:

Ответ: И = 5,6 см; ДЕ_к= 4, 12 Дж.

Задача 6.5. Полет на ядре. Артиллеристы стреляют так, чтобы ядро попало в неприятельский лагерь, находящийся в /₀ = 7,2 км от пушки. В момент вылета ядра из дула на него вскакивает барон Мюнхаузен (абсолютно нсупругий удар), масса которого в /; = 5 раз больше массы ядра. Из-за этого ядро падает, не долетев до цели. Какое расстояние барону придется пройти пешком, чтобы добраться до неприятельского лагеря? Сопротивлением воздуха пренебречь.

Решение. Если ядро вылетело из дула со скоростью и_у, то после^[1]

т — масса ядра, а М — масса Мюнхаузена. Артиллеристы рассчитывали и²

угол возвышения, а орудия по формуле /₀=— sin 2а. Поскольку ско;

Z

рость изменилась, а угол остался прежним, дальность полета составит Поэтому барону надо будет пройти расстояние.

Иными словами, барону удалось пролететь на ядре только 200 м.

Задача^[2] 6.6. Ракета движется, выбрасывая струю газа с постоянной скоростью и, = 900 м/с. Расход газа q = 0,25 кг/с, начальная масса ракеты то = 1,5 кг. Какую скорость относительно Земли приобретет ракета через / = 2 с после начала движения?

д_ано. Решение: На основании закона сохранения импуль;

о_г = 900 м/с ^са Д^ля системы «ракета — струя газа» запишем: q = 0,25 кг/с.

w₀ =1,5 кг _{4 i}

t = 2 с где бр_й и dp_a — изменение импульса ракеты и газа, соот;

Подставив выражения (3) и (4) в (2), получим: (ш₀ — qt)dv — qv_vdt — 0 или dx> =

*о. ,. .

Щ ~ Я*

Интегрировав эти уравнения при начальной скорости ракеты, равной нулю, получим:

Размерность: [о] = м/с.

Проведем расчеты: о = 900Inf-—-] = 365 м/с.

11,5−0,25−2 J.

V 1,5−0,25 •.

Ответ: о = 365 м/с.

Задача 6.7. Гибкая однородная цепь длиной L может двигаться по желобу, имеющему в сечении форму равнобедренного треугольника с углом 2а при вершине и расположенному в вертикальной плоскости. Трение отсутствует, предполагается, что цепь прилегает к желобу. Найти наименьшую начальную скорость цепи, необходимую для преодоления такой горки. В начальный момент времени расстояние между горизонтальными прямыми, проходящими через центр тяжести цепи и вершины желоба, равно Я.

Решение. Цепь перевалит через горку, если в тот момент времени, когда середина цепи достигнет вершины желоба, скорость цепи обратится в нуль. Выберем в качестве нулевого уровня потенциальной энергии горизонтальную прямую, проходящую через вершину желоба. Тогда в начальном состоянии полная энергия цепи равна.

В конечном состоянии центр тяжести цепи находится на расстоянии (L/4)cosaoT вершины треугольника; полная энергия.

Заметим, что для точечного тела наименьшая скорость равна yf2gff. В нашем примере и < ftgif.

Этот пример поясняет, почему прыгун в высоту, использующий технику «форсбери-флоп», может достичь большей высоты, чем при прыжке перекатом. Совершая прыжок, Дик Форсбери перенес через планку сначала корпус, голову и ноги, при этом центр тяжести оставался ниже уровня планки.

• [1] ~ г ю)0 вскакивания на него барона его скорость стала равной и =-, где М + т
• [2] ^? ветствснно, за промежуток времени dt. В проекции на ось оу уравнение (1) примет вид: Если в момент времени / ракета имела массу т = т0 — qt, то за время dt скорость ракеты за счет реактивного действия газовой струи изменится на du, а импульс ракеты — на величину 1 Порция газа qdty двигаясь вместе с ракетой, обладает скоростью и. Покинув ракету, эта же масса газа за время d/ приобретает относительноЗемли скорость и + о. Таким образом, импульс порции газа, выброшенной из ракеты, изменится на величину