Круг сходимости. 
Введение в теорию функций комплексного переменного

Пользуясь данной в предыдущем пункте теоремой Абеля, можно выяснить структуру области сходимости произвольного степенного ряда. Во-первых, как мы уже знаем, существуют степенные ряды, область сходимости которых состоит из одной нулевой точки. Во-вторых, существуют степенные ряды, сходящиеся во всякой точке плоскости, т. е. имеющие областями сходимости всю плоскость. На основании теоремы Абеля такие ряды должны абсолютно сходиться во всякой точке плоскости. Возьмём, например, ряд.

I I.

Каково бы ни было z_} модуль общего члена этого ряда — =.

/ М^я * / ^п г^

будет меньше, чем, начиная с //, для которого^-<�С.

Итак, все члены нашего ряда, кроме конечного числа первых членов, по модулям меньше соответствующих членов бесконечно убы еающей прогрессии.

следовательно, рассматриваемый ряд абсолютно сходится при всяком Z.

Фиг. 19.

Наконец, к третьему типу мы отнесём всякий степенной ряд, не принадлежащий ни к первому, ни ко второму типу. Исследуем область сходимости ряда последнего вида. Такой ряд имеет, с одной стороны, точки сходимости, отличные от нулевой точки, а с другой стороны, он имеет точки расходимости. Проведём из нулевой точки произвольную полупрямую и отметим на ней какую-нибудь точку сходимости А ряда, отличную от нулевой точки, и какую-нибудь точку расходимости В нашего ряда. Так как наш ряд принадлежит к третьему типу, то точки А и В существуют на полупрямой на основании теоремы Абеля и образуют отрезок АВ, который мы обозначим 1_Х. Разделим отрезок 1_Х пополам, и пусть А, есть его середина. Возможно одно из двух^ либо в точке А_х ряд сходится, либо расходится. В первом случае за второй отрезок /₂ примем А_ХВ, во втором случае АА_Х. Подобно отрезку 1_Х отрезок /₂ имеет левым своим концом точку сходимости ряда, а правым — точку расходимости ряда. Затем снова делим пополам отрезок /₂, ^и если его середина есть точка сходимости ряда, то за отрезок /₈ принимаем правую его половину, а если середина отрезка /₂ есть точка расходимости ряда, то за отрезок /₃ принимаем левую половину отрезка* /₂. Продолжая этот процесс неограниченно, получим бесконечную последовательность отрезков /|, /₂, Лр • • •, таких, что • каждый отрезок принадлежит предыдущему, причём длина отрезка /_л, равная «стремится к нулю, когда п неограниченно возрастает. Кроме того, отметим, что всякий отрезок 1_п имеет своим левым концом точку сходимости ряда, а правым — точку расходимости ряда. На основании принципа вложенных отрезков (гл. I, § 3, п. 1) существует точка, общая всем отрезкам 1_п обозначим её через М.

Проведя через точку М окружность с центром в нулевой точке (фиг. 19), мы видим, что данный ряд абсолютно сходится во всякой точке, лежащей внутри этой окружности. Действительно, пусть z'— любая точка, расположенная внутри проведённой окружности. Выберем на радиусе ОМ внутреннюю точку М служащую левым концом отрезка /_я, так, чтобы Oz' <^ОМ'. Так как в точке М' данный ряд сходится, то по теореме Абеля он будет абсолютно сходящимся в точке z*. Во всякой точке *?*, лежащей вне построеннрй окружности, данный ряд расходится. В самом деле, выберем вне радиуса ОМ

на луче ОМ точку ЛГ, служащую правым концом отрезка /_я, так, чтобы Oz'^> O/VT. Так как в точке М^п ряд расходится, то по теореме Абеля он будет расходящимся и в точке z" . Полагая OM = R_y мы можем всё сказанное резюмировать в таких словах:

Существует круг с центром в нулевой точке радиуса R такой, что данный степенной ряд сходится (и притом 'абсолютно) внутри этого круга и расходится вне этого круга.

Чтобы это предложение было верным для любого степенного ряда, остаётся включить сюда ряды двух первых типов. В первом случае (область сходимости состоит из одной нулевой точки) нужно, очевидно, положить R= 0, а во втором случае (ряд сходится во всей плоскости) нужно положить R — -(-оо.

Этот круг радиуса R называют кругом сходимости степенного ряда, а число R — его радиусом сходимости. Согласно изложенному всякий степенной ряд имеет определённый радиус сходимости R, причём 0 R оо. Что касается точек, лежащих на окружности круга сходимости (0 <�С Ч" ^{то в} одних из этих точек ряд может сходиться, в других расходиться.

В предыдущем мы показали, что всякий степенной ряд (14) имеет круг сходимости определённого радиуса R. Задача, которую мы теперь поставим, состоит в том, чтобы определить радиус сходимости степенного ряда в зависимости от его коэффициентов. Полное решение этой задачи может быть дано с помощью понятия о наибольшем пределе последовательности действительных неотрицательных чисел, каковое мы и должны предварительно выяснить.